朱堅民， 周冬兒， 翟東婷

（上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093）

應(yīng)力環(huán)境是影響骨折修復(fù)的重要因素，應(yīng)力調(diào)整骨的生長和吸收，適宜的應(yīng)力環(huán)境可以促進(jìn)骨折愈合朝著最佳水平發(fā)展，相反則可導(dǎo)致不良后果.因此，對于骨折創(chuàng)傷斷面的刺激應(yīng)力，存在著一個最佳的應(yīng)力范圍，控制骨折愈合過程中創(chuàng)傷斷面上的生理刺激應(yīng)力按最佳應(yīng)力發(fā)展，可以有效地保證骨折愈合的速度和質(zhì)量.

Jorgensen于1979年通過應(yīng)變片技術(shù)對固定器固定后骨折區(qū)進(jìn)行生物力學(xué)測定，提出外固定器固定后理想的骨折愈合曲線應(yīng)呈雙曲線變化［1－5］.文獻(xiàn)［1－2］研制了一種帶微型力傳感器和自動施力機(jī)構(gòu)的骨外固定器，并對活體山羊骨折愈合中創(chuàng)傷斷面的應(yīng)力進(jìn)行了實時測量，獲得了山羊骨折創(chuàng)傷斷面的應(yīng)力變化曲線.這些應(yīng)力變化曲線間接反映了骨折創(chuàng)傷斷面的應(yīng)力響應(yīng)特性，但如何根據(jù)實測應(yīng)力曲線通過相應(yīng)的尋優(yōu)算法探索骨折愈合各階段的最佳生理刺激應(yīng)力一直是難以解決的問題［3－5］.

遺傳算法是目前發(fā)展最快的優(yōu)化算法之一，它對優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)要求低，可以是線性或非線性、離散或連續(xù)優(yōu)化問題，能進(jìn)行概率意義上的全局搜索，已被廣泛應(yīng)用于各種優(yōu)化問題.標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法是由密歇根大學(xué)Holland教授1975年首先提出，是模擬達(dá)爾文生物進(jìn)化論的自然選擇和遺傳學(xué)機(jī)理的生物進(jìn)化過程的計算模型，并通過模擬自然進(jìn)化過程搜索最優(yōu)解.近年來，遺傳算法被廣泛用來解決許多復(fù)雜的搜索及優(yōu)化問題.標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法過于注重對搜索空間中新區(qū)域的探索，忽略對現(xiàn)有解空間開發(fā)，存在局部搜索能力差、易“早熟”及后期進(jìn)化效率低等問題［6－11］.針對標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法存在的問題，有學(xué)者借鑒免疫系統(tǒng)中抗體多樣性、抗體濃度調(diào)節(jié)及免疫記憶的特征提出了免疫遺傳算法.與標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法相比，免疫遺傳算法重視對解空間的開發(fā)，能夠保證解空間搜索區(qū)域的寬度，已在生產(chǎn)調(diào)度、自動控制、函數(shù)優(yōu)化等領(lǐng)域得到了成功的應(yīng)用［12－19］.但普通免疫遺傳算法依然存在以下問題：a.算法中的抗體更新方法影響了抗體種群基因模式的多樣性，限制了算法優(yōu)化性能的進(jìn)一步提高；b.算法的變異概率不能隨著種群模式的動態(tài)變化而進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整，使算法的收斂速度有待進(jìn)一步提高.

針對以上問題，本文建立了骨折愈合中創(chuàng)傷斷面生理刺激應(yīng)力的尋優(yōu)模型，對普通免疫遺傳算法的抗體更新方法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了變異概率的動態(tài)確定方法，利用骨折愈合實測應(yīng)力曲線族，進(jìn)行了骨折創(chuàng)傷斷面最佳生理刺激應(yīng)力的尋優(yōu)，得到了理想的尋優(yōu)結(jié)果.

1 骨折創(chuàng)傷斷面生理刺激應(yīng)力的尋優(yōu)模型

骨折治療的Jorgensen理論表明，采用骨外固定器固定后理想的骨折愈合曲線應(yīng)呈雙曲線變化，如圖1所示.在此曲線中，骨折部位愈合組織的剛度隨著外固定時間增長而迅速增加，以后呈持續(xù)緩慢增加，最后成漸進(jìn)線而接近正常.

圖1 骨折創(chuàng)傷斷面應(yīng)力變化的Jorgensen曲線Fig.1 Jorgensen curve of fracture traumatic section stress

根據(jù)骨折愈合的Jorgensen理論，為了保障骨折愈合的質(zhì)量，提高骨折愈合的速度，骨折愈合過程中創(chuàng)傷斷面的生理刺激應(yīng)力必須符合Jorgensen曲線的變化趨勢，理論上應(yīng)滿足雙曲線變化規(guī)律.因此，本文提出骨折愈合中創(chuàng)傷斷面的最優(yōu)生理刺激應(yīng)力的解析表達(dá)式為

式中，q，h，k為尋優(yōu)模型的待定常數(shù)；x為愈合時間；f（x）為愈合過程中創(chuàng)傷斷面的應(yīng)力.

在獲得骨折愈合過程中創(chuàng)傷斷面實測應(yīng)力變化曲線族的條件下，可通過優(yōu)化算法對q，h，k進(jìn)行尋優(yōu)，確定出創(chuàng)傷斷面的最優(yōu)生理刺激應(yīng)力曲線.定義應(yīng)力尋優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)

式中，Yi（j）為骨折創(chuàng)傷斷面的實測應(yīng)力數(shù)據(jù)序列；n為實測應(yīng)力變化曲線的個數(shù)，即曲線族中應(yīng)力曲線的個數(shù)；m為每條實測應(yīng)力曲線中應(yīng)力采樣點的個數(shù).

尋優(yōu)的目標(biāo)是使式（2）的目標(biāo)函數(shù)最小.

2 改進(jìn)的免疫遺傳算法

2.1 免疫遺傳算法的改進(jìn)

本文提出的改進(jìn)免疫遺傳算法，主要針對普通免疫遺傳算法中的抗體更新及交叉變異這兩個重要步驟中的相關(guān)問題進(jìn)行改進(jìn).

a.抗體更新.普通免疫遺傳算法是借鑒生物免疫系統(tǒng)中抗體濃度控制原理提出的一種進(jìn)化算法，它通過引入生物免疫系統(tǒng)中的抗體多樣性、自我調(diào)節(jié)能力及免疫記憶能力等免疫特征之后，使算法吸納了全局搜索能力、局部搜索能力及搜索速度等方面的優(yōu)點.在普通免疫遺傳算法中，抗原對應(yīng)為優(yōu)化目標(biāo)，抗體對應(yīng)為最優(yōu)解集，抗體與抗原之間的親和力對應(yīng)為最優(yōu)解集與優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)之間的結(jié)合度.普通免疫遺傳算法在抗體更新中通過計算每個抗體的相似度和濃度，判斷抗體濃度是否超過設(shè)定閾值ε，計算超過閾值ε的抗體親和力，再根據(jù)親和力大小的排序來進(jìn)行抗體更新.這種抗體更新方法保留了相似抗體中親和力最大的抗體到下一代，它雖然可以防止優(yōu)化過程陷入局部最小值，但會大大減少相似抗體中親和力較低但基因模式較好的抗體，影響了優(yōu)化算法對全局最優(yōu)解的挖掘.針對該問題，本文提出在抗體更新步驟中通過計算種群總體相似度，判斷其是否超過設(shè)定閾值θ，在超過閾值θ的種群中計算抗體濃度和親和力，最終根據(jù)親和力大小的排序來進(jìn)行抗體更新.這種改進(jìn)不再簡單地通過判斷某個抗體的濃度，而是從總體上判斷種群總體的相似度來調(diào)節(jié)種群的多樣性.抗體種群總體相似度大，說明此時種群中的模式種類較少；反之，相似度較小時，說明種群中具有多種模式，滿足種群在進(jìn)化過程中種群模式的多樣性要求.

本文采用信息熵作為評價抗體相似度的指標(biāo).

定義1 假設(shè)種群中包含N個抗體，每個抗體具有M個基因，每個基因有s個字符可供選擇.對于十進(jìn)制編碼，s＝0，1，…，9，即采用0～9的字符；對于二進(jìn)制編碼，s＝0，1，即采用0，1字符.根據(jù)信息熵理論，第j個基因的信息熵可表示為

式中，pij為第j個基因座上出現(xiàn)第i個字符的概率，整個群體的平均信息熵可定義為

式中，Hj（N）為第j個基因座的信息熵；H（N）為抗體在種群中的平均信息熵.

兩抗體v，w的相似度可以表示為

式中，Hv，w（2）為抗體v，w的信息熵；Av，w∈［0，1］.

Hv，w（2）＝0，說明抗體v，w的所有基因完全一致，相似度Av，w＝1.

定義2 抗體濃度表示的是相似抗體的個數(shù)占抗體總數(shù)的比例，任意抗體v的濃度Cv可表示為

式中，sign（·）為符號函數(shù)；μ為相似度系數(shù)，μ值范圍為［0.9，1］.

定義3 親和力是指抗體與抗原之間的結(jié)合程度.對于實際優(yōu)化問題，如果優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為求最大值，則將親和力表示為目標(biāo)函數(shù)的值；反之，若優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為求最小值，則親和力表示為目標(biāo)函數(shù)的倒數(shù).對于式（2）所表示的優(yōu)化目標(biāo)，將親和力定義為

式中，F(xiàn)為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；Xv為解碼之后得到的實數(shù)解向量.

定義4 使用抗體種群總體相似度作為抗體更新的依據(jù)時，抗體種群總體相似度定義為

式中，H（N）由式（4）計算.

b.動態(tài)變異概率.普通免疫遺傳算法中，變異概率需預(yù)先設(shè)定，且在整個優(yōu)化過程中為定值.事實上，在尋優(yōu)過程中，免疫遺傳算法對變異概率的要求是不一樣的.若抗體種群總體相似度超過設(shè)定閾值θ，則在下一代進(jìn)化過程中需加大變異概率；反之，則應(yīng)采用初始設(shè)定的變異概率.變異概率的確定對遺傳算法的優(yōu)化性能和收斂速度至關(guān)重要.若變異概率過小，會導(dǎo)致算法對種群新模式的開發(fā)力度不夠，算法的優(yōu)化性能變差；變異概率過大，算法操作隨機(jī)性增大，會降低算法的收斂速度，甚至?xí)?dǎo)致優(yōu)化算法的發(fā)散.針對該問題，本文提出一種如式（9）所示的變異概率的動態(tài)確定方法.

式中，pm為免疫遺傳算法初始設(shè)定的變異概率；a為常數(shù)，其值對優(yōu)化結(jié)果影響不大；x為根據(jù)式（8）計算的抗體種群總體相似度A（N）與設(shè)定相似度閾值θ之差.

若x≤0，則變異概率為初始變異概率pm；若x＞0，則按式（9）確定動態(tài)變異概率.由式（9）表示的變異概率的動態(tài)變化過程如圖2所示.

圖2 動態(tài)變異概率變化曲線Fig.2 Curve of dynamic mutation probability

從圖2可以看出，當(dāng)x≤0時，動態(tài)變異概率S（x）＝pm；當(dāng)x＞0時，隨著x的增大，變異概率的增長率卻在逐漸減小，并逐漸趨于0，即變異概率增長到一定程度后將不再增大.按這種方法所確定的動態(tài)變異概率可以保證在抗體種群總體相似度超過設(shè)定閾值θ時的初期，能夠快速地加大變異概率，使得種群模式的多樣性得到快速的改善，減少陷入局部最小值的可能性.而當(dāng)變異概率增大到一定程度時則減小變異概率變化的幅度，以保證算法不會因變異概率過大而影響算法的收斂或?qū)е滤惴ǖ陌l(fā)散.

2.2 改進(jìn)免疫遺傳算法的步驟

改進(jìn)免疫遺傳算法分編碼、初始抗體生成、記憶池更新、交叉與變異、抗體更新等主要步驟.

a.編碼.在骨折愈合最優(yōu)應(yīng)力曲線的尋優(yōu)中，由式（1），需要優(yōu)化確定的參數(shù)為3個，即q，h，k.采用二進(jìn)制編碼方式，若參數(shù)編碼長度為l，長度l可以根據(jù)參數(shù)變化范圍與設(shè)定的優(yōu)化計算精度確定.

式中，x1，x2分別為優(yōu)化參數(shù)變化范圍的下限和上限；α為設(shè)定的求解精度.優(yōu)化時3個優(yōu)化參數(shù)的編碼結(jié)構(gòu)可以表示為其中，l1，l2，l3分別為根據(jù)式（11）計算出來的3個參數(shù)q，h，k對應(yīng)的編碼長度.

b.初始抗體生成.記憶池是有效抵抗抗原保留下來的免疫記憶細(xì)胞群，在免疫遺傳算法中相當(dāng)于此前優(yōu)化處理過的案例庫.當(dāng)記憶池受到抗原刺激后能產(chǎn)生相應(yīng)的抗體，抵抗抗原的入侵，因此，記憶池的存在能夠加快優(yōu)化算法的收斂速度.如果是對抗原的初次應(yīng)答，即沒有處理過相關(guān)的優(yōu)化問題，則根據(jù)給定的抗體數(shù)量N以及編碼總長度L＝l1＋l2＋l3，隨機(jī)產(chǎn)生全部初始抗體種群RN×L，此時記憶池為空集.如果不是對抗原的初次應(yīng)答，則初始抗體種群由隨機(jī)產(chǎn)生的部分抗體和由記憶池產(chǎn)生的抗體組成，且抗體種群的規(guī)模為N.

c.更新記憶池.計算抗體濃度與抗體親和力，按照親和力排序，選擇親和力較高的抗體補(bǔ)充到記憶池里.

d.交叉與變異操作.

（a）交叉.交叉操作是將父代中的特性基因遺傳給子代，使子代具有父代的優(yōu)良信息.本文采用單點交叉，根據(jù)交叉概率隨機(jī)從群體中選出兩抗體A和B進(jìn)行配對，在配對的抗體編碼串中隨機(jī)設(shè)置交叉點，交叉操作原理如圖3所示.在圖3中，A，B為父代抗體，A′，B′為交叉操作后生成的子代抗體.

圖3 單點交叉示意圖Fig.3 Diagram of single－point crossover

（b）變異.變異操作為優(yōu)化過程提供了額外的機(jī)會進(jìn)入未被探索的局部最優(yōu)解區(qū)域，此操作能夠加速優(yōu)化過程向最優(yōu)解收斂.根據(jù)變異概率，隨機(jī)選擇某個基因位進(jìn)行變異操作，采用二進(jìn)制編碼時，具體操作為：假設(shè)變異概率為S（x），則某個基因位變異的表達(dá)式為

e.抗體更新.根據(jù)式（8）計算抗體種群總體相似度，如果相似度小于設(shè)定閾值θ，即A（N）≤θ，則轉(zhuǎn)到步驟c；如果大于設(shè)定閾值θ，即A（N）＞θ，則隨機(jī)生成P個新抗體，與原有抗體種群組成新的抗體種群B，新種群B的規(guī)模為N＋P.此時根據(jù)式（9）計算出新的變異概率S（x），用于下一代變異操作，并計算B中抗體的濃度和親和力，按照親和力大小排序.如果每個抗體的濃度都小于設(shè)定閾值ε，則直接清除親和力排在最后的P個抗體；否則，在抗體濃度超過閾值ε的抗體中，清除親和力較小的抗體直至保證抗體總數(shù)為N.

f.終止條件判斷.本文的終止條件是迭代次數(shù)是否達(dá)到設(shè)定的最大值.如果迭代次數(shù)小于設(shè)定的最大迭代次數(shù)，則算法迭代繼續(xù)進(jìn)行；否則，迭代過程結(jié)束，輸出優(yōu)化結(jié)果.

3 骨折創(chuàng)傷斷面最佳生理刺激應(yīng)力尋優(yōu)

文獻(xiàn)［1－2］采用自行研制的帶微型力傳感器和施力機(jī)構(gòu)的骨外固定器，采用骨外固定方式，設(shè)計活體骨折模型，進(jìn)行活體山羊骨折愈合的動物實驗，獲得了多組活體山羊骨折愈合過程中創(chuàng)傷斷面的應(yīng)力－愈合時間變化關(guān)系曲線.基于這些應(yīng)力數(shù)據(jù)族，本文分別采用改進(jìn)免疫遺傳算法、普通免疫遺傳算法和標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法，根據(jù)式（1）的尋優(yōu)模型和式（2）的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，對骨折創(chuàng)傷斷面的最佳生理刺激應(yīng)力進(jìn)行尋優(yōu).為了驗證本文優(yōu)化算法的有效性，本文采用文獻(xiàn)［5］中第1組和第2組山羊股骨骨折創(chuàng)傷斷面的實測應(yīng)力曲線族，比較3種算法的尋優(yōu)性能.

優(yōu)化過程中優(yōu)化算法的相關(guān)參數(shù)設(shè)置為：種群規(guī)模50，交叉概率0.8，初始變異概率0.05，抗體種群總體相似度設(shè)定閾值0.1，抗體濃度設(shè)定閾值0.3，最大迭代次數(shù)100，式（11）中的α為200.圖4（a）、4（b）、4（c）為基于文獻(xiàn)［5］中第1組實測應(yīng)力數(shù)據(jù)族，分別采用本文優(yōu)化算法、普通免疫遺傳算法、標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的目標(biāo)函數(shù)變化曲線，圖4（d）、4（e）、4（f）分別為采用3種優(yōu)化算法的最佳生理刺激應(yīng)力的尋優(yōu)結(jié)果.圖5為采用本文優(yōu)化算法優(yōu)化過程中變異概率的動態(tài)變化曲線.

本文優(yōu)化算法得到的q，h，k值分別為0，0.261 4，0.506 8，根據(jù)式（2）計算得到的誤差平方和為0.522 54；采用普通免疫遺傳算法得到的q，h，k值分別為0.000 1，0.260 7，0.512 3，根據(jù)式（2）計算得到的誤差平方和為0.528 18；采用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法計算得到的q，h，k值分別為 0.004 15，0.261 37，0.544 51，根據(jù)式（2）計算得到的誤差平方和為0.556 03.

從圖4及優(yōu)化結(jié)果可知，使用本文提出的改進(jìn)免疫遺傳算法時，尋優(yōu)在20～30代時算法幾乎已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)值，而普通免疫遺傳算法在40～50代時才能接近最優(yōu)值，采用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法則需要在60～80代才能接近最優(yōu)值，且采用本文優(yōu)化算法獲得的優(yōu)化曲線最接近于實際應(yīng)力變化曲線族.

圖4 第1組應(yīng)力變化曲線族的優(yōu)化過程及其優(yōu)化結(jié)果Fig.4 Optimization process and results of the first group of stress curve family

圖6（a）、6（b）、6（c）為基于文獻(xiàn)［5］中第2組實測應(yīng)力數(shù)據(jù)族，分別采用本文優(yōu)化算法、普通免疫遺傳算法、標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的目標(biāo)函數(shù)變化曲線，圖6（d）、6（e）、6（f）分別為采用3種優(yōu)化算法的最佳生理刺激應(yīng)力尋優(yōu)結(jié)果.圖7為采用本文優(yōu)化算法優(yōu)化過程中變異概率的動態(tài)變化曲線.

圖5 第1組優(yōu)化過程中變異概率的動態(tài)變化曲線Fig.5 Curve of dynamic mutation probability in the first group optimization

本文優(yōu)化算法得到的q，h，k值分別為0，0.328 4，0.930 9，根據(jù)式（2）計算得到的誤差平方和為0.302 53；采用普通免疫遺傳算法得到的q，h，k值分別為0.000 1，0.312 5，1.025 3，根據(jù)式（2）計算得到的誤差平方和為0.308 18；采用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法計算得到的q，h，k值分別為0.041 5，0.375 2，0.761 0，根據(jù)式（2）計算得到的誤差平方和為0.318 03.

從圖6及優(yōu)化結(jié)果可知，使用本文提出的改進(jìn)免疫遺傳算法時，尋優(yōu)在10～20代時算法幾乎已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)值，而普通免疫遺傳算法在20～30代時才能接近最優(yōu)值，采用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法則需要 在3 0～4 0代才能接近最優(yōu)值，且采用本文優(yōu)獲得的優(yōu)獲得的優(yōu)化曲線最接近于實際應(yīng)力變化曲線族.

圖6 第2組應(yīng)力變化曲線族的優(yōu)化過程及其優(yōu)化結(jié)果Fig.6 Optimization process and results of the second group of stress curve family

從圖5和圖7中變異概率的變化曲線可以看出，本文提出的優(yōu)化算法中變異概率能根據(jù)優(yōu)化要求進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，可防止優(yōu)化初期算法陷入“早熟”，并能保證優(yōu)化后期種群的多樣性，提高了算法的收斂速度和優(yōu)化精度.

綜合以上優(yōu)化實例，與普通免疫遺傳算法、標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法相比，本文提出的改進(jìn)免疫遺傳算法具有更快的尋優(yōu)速度和更高的尋優(yōu)精度，由其確定的骨折創(chuàng)傷斷面生理刺激應(yīng)力具有較高的臨床應(yīng)用價值.

圖7 第2組優(yōu)化過程中變異概率的動態(tài)變化曲線Fig.7 Curve of dynamic mutation probability in the second group optimization

4 結(jié) 論

a.針對普通免疫遺傳算法存在的問題，提出了改進(jìn)的抗體更新方法及動態(tài)變異概率的確定方法，提高了普通免疫遺傳算法的優(yōu)化性能.

b.基于山羊骨折創(chuàng)傷斷面的實測應(yīng)力變化曲線族，以骨折愈合的Jorgensen曲線為優(yōu)化目標(biāo)，提出了基于改進(jìn)免疫遺傳算法的骨折愈合過程中創(chuàng)傷斷面最佳生理刺激應(yīng)力的尋優(yōu)方法，以提高骨折愈合的質(zhì)量和速度.

c.基于實測應(yīng)力數(shù)據(jù)的山羊骨折最佳生理刺激應(yīng)力尋優(yōu)結(jié)果表明，與普通免疫遺傳算法和標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法相比，本文方法的尋優(yōu)時間最短、尋優(yōu)精度最高，獲得了理想的尋優(yōu)結(jié)果.

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