李建民， 董 鵬， 孟慶霞

（1.武漢大學(xué) 系統(tǒng)工程研究所，武漢 430072；2.海軍工程大學(xué) 管理工程系，武漢 430033；3.荊楚理工學(xué)院 經(jīng)濟管理學(xué)院，荊門 448000）

生活中經(jīng)常會遇到諸如需求變化、物價上漲、承制商不能及時或中斷供應(yīng)原材料、自然災(zāi)害以及局部戰(zhàn)爭等突發(fā)性事件，不僅會造成艦艇部隊物資需求規(guī)模變化，也會使軍事物資采購中心的采購成本（包括緊急采購增加的運輸成本、儲存成本和人工成本等）發(fā)生變化，這將會直接影響供應(yīng)鏈成員的管理決策，進而影響承制商的生產(chǎn)計劃，導(dǎo)致整個軍事物流系統(tǒng)運作失常或供應(yīng)鏈不再協(xié)調(diào).對于軍事物流系統(tǒng)中的決策者而言，當(dāng)面臨需求規(guī)模和采購中心的采購成本同時擾動時，至今還沒有一個相對量化的標準.在供應(yīng)鏈領(lǐng)域，Xu等［1－2］研究了非線性需求函數(shù)和生產(chǎn)成本為凸函數(shù)的情形下，需求發(fā)生擾動時，由一個供應(yīng)商和一個零售商構(gòu)成的供應(yīng)鏈擾動管理問題及其協(xié)調(diào)機制.Yang等［3］考慮了生產(chǎn)函數(shù)為凸函數(shù)，當(dāng)生產(chǎn)費用出現(xiàn)變動時，如何用擾動管理的方法修改原來的計劃，使系統(tǒng)能夠平穩(wěn)運行且對生產(chǎn)存儲造成的影響最小.Tomlin［4］考慮了一個零售商和兩個供應(yīng)商組成的供應(yīng)鏈系統(tǒng)，其中一個供應(yīng)商具有穩(wěn)定的生產(chǎn)能力，另一個生產(chǎn)不穩(wěn)定，當(dāng)供應(yīng)商的供應(yīng)出現(xiàn)擾動時，給出了各種情況下的應(yīng)急策略.Qi等［5］首次對需求擾動下的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題進行了分析，在假設(shè)零售商面對的市場需求關(guān)于零售價格是線性函數(shù)的情形下，研究了當(dāng)市場需求擾動時，供應(yīng)鏈如何利用全單位數(shù)量折扣契約來協(xié)調(diào)應(yīng)對.上述文獻考慮的都是單因素發(fā)生擾動，比如需求規(guī)模、生產(chǎn)成本等，而管理實踐中，突發(fā)性事件往往造成軍事物流系統(tǒng)兩個或兩個以上因素同時發(fā)生擾動，對于這種情況，目前來看文獻很少，而且也沒有進行系統(tǒng)的研究.本文在此基礎(chǔ)上，研究戰(zhàn)場形勢變化導(dǎo)致軍事物流需求規(guī)模和采購中心采購成本同時擾動的博弈問題，為決策者進行決策提供支持.

1 軍事物流需求規(guī)模和采購成本雙擾動模型

1.1 問題描述和假設(shè)

考慮一個承制商、一個軍事物資采購中心和n個艦艇部隊構(gòu)成的供應(yīng)鏈系統(tǒng)，它們之間的行為決策可用Stackelberg博弈來描述.在該博弈中采購中心占主導(dǎo)地位，決定著供應(yīng)價格和供應(yīng)量，艦艇部隊是跟隨者；承制商和采購中心基于對艦艇部隊的需求預(yù)測制定相應(yīng)的生產(chǎn)計劃和采購計劃，如圖1所示［6－8］.當(dāng)戰(zhàn)場形勢急劇變化后，艦艇部隊的物資需求規(guī)模發(fā)生變化，采購中心的采購成本也會變化.模型假設(shè)如下：

a.采購中心必須滿足艦艇部隊的需求量，承制商必須滿足軍事物資采購中心的采購量.

b.艦艇部隊i（i＝1，2，…，n）的實際物資需求量為qi，軍事物資供應(yīng)價格為pi，qi為pi的線性遞減函數(shù)，設(shè)qi＝di－kpi.其中，di＞0為需求規(guī)模，k＞0為價格敏感系數(shù)（設(shè)為常數(shù)）.

圖1 三級供應(yīng)鏈結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Three grade supply chain structure mode

c.承制商生產(chǎn)加工該產(chǎn)品的成本C（qi）是其生產(chǎn)數(shù)量的凸函數(shù)，如生產(chǎn)更多的產(chǎn)品時，需要投入一些員工加班費、通訊費、人員調(diào)整費等；若是外購，則外購部分的費用要比自己生產(chǎn)的成本高些.

d.采購中心的單位采購成本為cr，如運輸、儲存、裝卸搬運費用等.

Δdi，Δcr分別表示艦艇部隊需求規(guī)模和采購中心采購成本的變化量，只有當(dāng)di＋Δdi＞0，cr＋Δcr＞0時才有意義.設(shè)為戰(zhàn)場形勢變化后艦艇部隊i的實際需求量為戰(zhàn)場形勢沒有發(fā)生變化時的最優(yōu)需求量為戰(zhàn)場形勢變化后的物資供應(yīng)價格，則

從式（2）可知，當(dāng)Δqi＞0時采購中心應(yīng)該采購更多的軍事物資來滿足新的需求，當(dāng)Δqi＜0時有剩余物資.設(shè)m1表示必須重新購買新材料來增加產(chǎn)量所產(chǎn)生的單位額外成本，m2表示必須將多余材料以低于成本價出售來減少產(chǎn)量而遭致的單位額外成本，且m1，m2均是大于0的，（x）＋＝max｛0，x｝，則供應(yīng)鏈渠道i收益函數(shù)可表示為

那么，整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)的收益函數(shù)可表示為

a.當(dāng)Δdi≥kΔcr時，有

b.當(dāng)Δdi≤kΔcr時，有

證明 假設(shè)當(dāng)Δdi≥kΔcr時，有為式（3）最優(yōu)解的充要條件是為式（4）的最優(yōu)解.

當(dāng)需求和采購成本不變時，供應(yīng)鏈渠道i收益為：易驗證∏i（qi）為凹函數(shù)，當(dāng)滿足下式時，供應(yīng)鏈渠道i收益取得最大.

因C（qi）為凸函數(shù)，則C″（qi）＞0，C′（qi）為增函數(shù)，而又假設(shè)于是有C′（）＜0；結(jié)合已知條件Δdi≥kΔcr，km2＞0，則這與假設(shè)相矛盾，因此假設(shè)不成立.故當(dāng)Δdi≥kΔcr時，有.同理可證引理1中的結(jié)論b.

引理1表明，當(dāng)艦艇部隊需求減少而采購中心采購成本增加時，條件Δdi≤kΔcr一定成立，此時承制商應(yīng)改變生產(chǎn)計劃，降低生產(chǎn)水平.當(dāng)艦艇部隊需求增加而采購中心采購成本降低，條件Δdi≥kΔcr一定成立，此時承制商應(yīng)增加生產(chǎn)水平來滿足艦艇部隊的需求，采購中心會為了保障供應(yīng)采購更多的物資.當(dāng)艦艇部隊需求和采購中心采購成本同時增加或同時降低時，承制商應(yīng)根據(jù)引理1給定的條件來判斷生產(chǎn)計劃，采購中心應(yīng)根據(jù)引理1給定的條件來決定其最優(yōu)采購量.

1.2 分析與求解

a.當(dāng)Δdi＝kΔcr時此時供應(yīng)鏈渠道i收益函數(shù)可表示為求導(dǎo)式（7），可求得滿足供應(yīng)鏈渠道i收益最大值時的最優(yōu)解

相應(yīng)的最優(yōu)供應(yīng)價格為

此時供應(yīng)鏈渠道i最大收益為

由式（6）和式（8）可知，采購中心的最優(yōu)訂貨量與需求規(guī)模正相關(guān)，與采購成本負相關(guān)，與承制商的邊際生產(chǎn)成本有關(guān).供應(yīng)價格與需求規(guī)模和采購成本正相關(guān)，需求量大，則價格上漲，同時如果采購成本增加，相應(yīng)的價格也會上漲.在取得收益最大化之后，還要確定供應(yīng)鏈收益的合理分配，一般可以通過各種契約和能力約束來實現(xiàn)整體利益的協(xié)調(diào)［9］.

b.當(dāng)Δdi＞kΔcr時，有q—＊i＞q＊i，此時供應(yīng)鏈渠道i的收益函數(shù)可簡化為

不考慮約束條件q—＊i＞q＊i，對式（10）進行分析可知道該函數(shù)存在唯一的最優(yōu)解使收益最大，求導(dǎo)可得

式（11）減式（6）可得由C（qi）為凸函數(shù)，可知C′（qi）為增函數(shù)，并且有：

情況1 Δdi－kΔcr－km1≥0，當(dāng)表明能最大化式（10），此時的最優(yōu)解記為

相應(yīng)的最優(yōu)供應(yīng)價格為

此時供應(yīng)鏈渠道i的最大收益為

從式（13）～（15）可以看出，當(dāng)Δdi－kΔcr－km1≥0時，艦艇部隊i的最優(yōu)需求量和最大收益都受到需求規(guī)模和采購成本變化量的影響.

情況2 0＜Δdi－kΔcr≤km1，當(dāng)≤q＊i不滿足約束條件≥q＊i時，由凹函數(shù)的性質(zhì)知，在區(qū)間，∞］內(nèi)，供應(yīng)鏈渠道i收益函數(shù)的最大值為

相應(yīng)的最優(yōu)供應(yīng)價格為

供應(yīng)鏈渠道i的整體收益函數(shù)為

從式（16）～（18）可得，當(dāng)0＜Δdi－kΔcr≤km1時，雖然需求規(guī)模和采購成本同時發(fā)生擾動，但是產(chǎn)品計劃產(chǎn)量并沒有發(fā)生變化，仍然是原來的q＊i，只是這時的供應(yīng)鏈收益增加了，這是由于形勢變化導(dǎo)致供應(yīng)價格上漲，從而帶來的收益增加，可以超過采購成本增加帶來的收益的減少；或者是采購成本減少帶來的收益的增加，可以超過因需求規(guī)?？s小、供應(yīng)價格下跌而導(dǎo)致收益的減少.采購中心的最優(yōu)訂貨量不受需求規(guī)模和采購成本的影響，仍保持原計劃采購量不變，即承制商在該情形下也不需要改變生產(chǎn)計劃.在該情形下，只要需求規(guī)模發(fā)生變化，其供應(yīng)價格總是要作出相應(yīng)的調(diào)整，且供應(yīng)價格與需求規(guī)模的變化量正線性相關(guān).由式（18）可知，在該情形下，供應(yīng)鏈渠道i收益比原計劃收益要大.當(dāng)Δdi≤kΔcr時，由引理1知，最優(yōu)訂購量小于q＊i，此時供應(yīng)鏈渠道i收益函數(shù)可表示為

在沒有任何約束的條件下，當(dāng)滿足下式（20）時為式（19）的最優(yōu)解.

式（20）減式（6），可得

同上，可分兩種情形來討論式（19）滿足約束條件q—＊i≤q＊i的最優(yōu)訂貨量.

情況3 當(dāng)－km2≤Δdi－kΔcr≤0時，

情 況 4 當(dāng) Δdi－kΔcr≤ －km2時，

現(xiàn)實中軍事物資的供應(yīng)價格是不可能小于承制商的生產(chǎn)成本和采購中心的采購成本之和的，即對于任意的需求量qi＞0，總有pi－C′（qi）－cr－Δcr＞0，等價于di＋Δdi－k［cr＋Δcr＋C′（qi）］＞0.

1.3 博弈分析

當(dāng)戰(zhàn)場形勢發(fā)生急劇變化，造成艦艇部隊需求規(guī)模變化了Δdi，采購中心的采購成本變化了Δcr，且承制商的生產(chǎn)成本是其生產(chǎn)數(shù)量的凸函數(shù)，為使整體收益達到最大，決策者需要適時調(diào)整最優(yōu)訂貨量和采購成本.根據(jù)擾動的不同變化情況，訂購數(shù)量和供應(yīng)價格分別為

決策者應(yīng)該采取的策略為：在艦艇部隊需求規(guī)模和采購中心采購成本同時發(fā)生擾動的情況下，對原生產(chǎn)計劃和采購計劃有一定的魯棒性，當(dāng)變化比較大時，超出了一定的范圍，才會調(diào)整計劃.當(dāng)變化比較小（滿足－km2≤Δdi－kΔcr≤km1）時，保持原計劃不變.此時，只需要通過調(diào)整供應(yīng)價格彌補擾動發(fā)生時帶來的偏差費用即可，此時供應(yīng)價格只受需求規(guī)模的影響，隨著需求規(guī)模的增大而增大，而與采購成本無關(guān).而對于供應(yīng)價格，不管變化大或小，只要需求量發(fā)生了變化，則供應(yīng)價格就要相應(yīng)地作出調(diào)整.需求規(guī)模增加，供應(yīng)價格上漲；需求規(guī)模減少，供應(yīng)價格降低［10－11］.

2 算例分析

用一個簡單的例子說明上述結(jié)論.當(dāng)戰(zhàn)場形勢變化導(dǎo)致di和cr同時擾動時，通過算例計算分析它們對供應(yīng)鏈系統(tǒng)、采購中心和承制商收益的影響.設(shè)di＝200，cr＝20，k＝4，m1＝5、m2＝5，承制商的生產(chǎn)成本是需求量的凸函數(shù)，C（qi）＝q2i，可以根據(jù)價格需求關(guān)系算出q＊i＝12和p＊i＝47.但實際中往往是需求和采購成本同時增大或同時減小，因此僅對這兩種情況進行分析.對擾動情況按上文的情況1～4分類，結(jié)果如表1.

表1 di和cr的擾動對軍事供應(yīng)鏈的影響Tab.1 Effect of diand crdisturbance on military supply chain

從表1中可以看出：

a.當(dāng)需求和采購成本同時發(fā)生同方向的擾動時，在一定的條件下，并不會對原有的生產(chǎn)計劃和采購計劃產(chǎn)生影響，兩者之間存在著一種相互抗衡和制約的作用，即一者變化帶來的不利影響可以被另一者變化帶來的有利影響抵消或部分抵消，此時供應(yīng)鏈的生產(chǎn)計劃保持不變，如表1中情況2和情況3的4種擾動情況.在該情形下，只需要適當(dāng)?shù)卣{(diào)整供應(yīng)價格即可達到供應(yīng)鏈的最優(yōu)，且此時只有當(dāng)需求規(guī)模發(fā)生變化時，才需要調(diào)整供應(yīng)價格，供應(yīng)價格隨需求規(guī)模的增大（減少）而上漲（減低）.

b.當(dāng)需求和采購成本同時發(fā)生同方向的擾動時，并且兩者之間的關(guān)系超過一定的條件，如表1中情況1和情況4的4種擾動情況時，承制商的生產(chǎn)計劃和采購中心的采購計劃都要隨之進行調(diào)整，可通過增加訂購量且提高供應(yīng)價格，或者減少訂購量且降低供應(yīng)價格來達到供應(yīng)鏈的最優(yōu).同時在情況1下，供應(yīng)鏈的生產(chǎn)計劃必須作出調(diào)整，并且供應(yīng)鏈的最優(yōu)生產(chǎn)量、最優(yōu)價格和最優(yōu)利潤隨著需求規(guī)模的增大而增大，隨著采購成本的增加而增加.

c.從表1還可以看出，如果在需求和采購成本同時發(fā)生擾動時，策略不作調(diào)整，即使整個供應(yīng)鏈的收益為正，承制商和采購中心可能也會因為自己單方面無利可圖（得到負的收益）退出供應(yīng)鏈，從而使得雙方都失去盈利機會.

通過研究還發(fā)現(xiàn)，在不同的擾動情形下，供應(yīng)鏈的最優(yōu)訂購量、最優(yōu)供應(yīng)價格和供應(yīng)鏈的最優(yōu)利潤，與采購成本、需求規(guī)模及它們的擾動存在著一定的關(guān)系.當(dāng)突發(fā)事件導(dǎo)致需求和采購成本同時發(fā)生不同方向的擾動，并且兩者之間的關(guān)系超過一定的條件時，如當(dāng)采購成本增加和需求減少時，與穩(wěn)定狀態(tài)時相比，承制商會通過減少生產(chǎn)來應(yīng)對突發(fā)事件；當(dāng)采購成本減少和需求增加時，承制商會通過增加生產(chǎn)來應(yīng)對突發(fā)事件，引理1已證明之.

3 結(jié) 論

對其動態(tài)模型進行分析并得出在艦艇部隊需求規(guī)模和采購成本同時發(fā)生擾動時，原來生產(chǎn)計劃和采購計劃仍有一定的魯棒性，變化比較小時，保持原計劃不變，若超出一定范圍，才會調(diào)整計劃.計劃的改變?nèi)Q于需求和采購成本兩種擾動的綜合作用.本文僅對單承制商、單采購中心、多艦艇部隊組成的三級供應(yīng)鏈進行了研究，后續(xù)將考慮多承制商、多采購中心、多艦艇部隊時的情形，或者考慮需求函數(shù)為非線性需求或隨機需求時，研究多種擾動因素對供應(yīng)鏈的影響；這些擾動因素之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系及相互影響、變動的機理也是今后研究的方向.

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