季路成，田 勇，李偉偉，伊衛(wèi)林

（1.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081；2.中國(guó)科學(xué)院工程熱物理研究所，北京 100190；3.中國(guó)科學(xué)院研究生院，北京 100190）

0 引言

葉輪機(jī)內(nèi)普遍存在復(fù)雜角區(qū)流動(dòng)，其引起的性能惡化是葉輪機(jī)氣動(dòng)問(wèn)題的主要部分。類比外流領(lǐng)域，葉輪機(jī)內(nèi)并未選擇“翼身融合”以消除這種影響，而是在不同指導(dǎo)思想下展開(kāi)了實(shí)踐探索，其中1類是采用彎葉片[1]，利用彎葉片產(chǎn)生葉片體力特殊分布以實(shí)現(xiàn)二次流動(dòng)控制、改善性能。但同時(shí)也產(chǎn)生了“正彎好還是反彎好”的疑惑和缺乏實(shí)施準(zhǔn)則的問(wèn)題。葉輪機(jī)中另1類受重視的角區(qū)問(wèn)題發(fā)生在葉片前緣與端壁相交區(qū)域，不過(guò)，相關(guān)研究一直將此視為壁面上障礙物繞流問(wèn)題而孤立地關(guān)注馬蹄渦的產(chǎn)生、發(fā)展和影響、控制問(wèn)題。一些研究者將前緣處修型為凸包，用于增強(qiáng)前緣馬蹄渦的吸力側(cè)分支以削弱通道渦，如2000年Sauer等[2]的工作；Zess等[3]的研究則關(guān)注修改前緣形狀以直接削弱馬蹄渦。此外，研究者還更多孤立關(guān)注端壁附面層內(nèi)橫向二次流影響，提出了非軸對(duì)稱端壁技術(shù)[4-7]。

本文基于二面角原理，借鑒外流翼身融合，以及綜合葉輪機(jī)非軸對(duì)稱端壁技術(shù)，提出了葉輪機(jī)葉片(身)/端壁融合技術(shù)（BBEW）[8]。以NASA 67號(hào)轉(zhuǎn)子葉片為例，采用數(shù)值方法驗(yàn)證該技術(shù)在減弱或消除角區(qū)分離方面的有效性。研究不包含已經(jīng)廣為研究的非軸對(duì)稱端壁，僅局限于葉片與端壁連接處以光滑曲面過(guò)渡，而其特殊情況——以適當(dāng)大倒圓過(guò)渡，與通常工藝倒圓并不相同，倒圓半徑一般沿流向保持不變，僅僅是出于避免應(yīng)力集中等純結(jié)構(gòu)工藝方面的考量。

1 二面角原理

二面角概念最早由Smith[9]在1963年與掠概念同時(shí)提出，Lewis[10]進(jìn)行了2者在葉輪機(jī)應(yīng)用的研究，但是，關(guān)于二面角對(duì)流動(dòng)影響機(jī)理與使用規(guī)律，相關(guān)文獻(xiàn)一直未給出深入明確闡釋。在以后的發(fā)展歷程中，掠葉片技術(shù)在20世紀(jì)90年代中后期取得突破性進(jìn)展，盡管有關(guān)聯(lián)，彎葉片技術(shù)關(guān)注點(diǎn)卻與二面角漸行漸遠(yuǎn)，由此產(chǎn)生“正彎好還是反彎好”的疑問(wèn)，導(dǎo)致公開(kāi)文獻(xiàn)中二面角尚未直接應(yīng)用于指導(dǎo)設(shè)計(jì)的局面。

2006年，從二面角決定相交固壁附面層形態(tài)這一認(rèn)識(shí)出發(fā)，基于流動(dòng)堵塞和損失厚度的幾何假設(shè)，Ji[11]給出描述角區(qū)3維附面層的等效2維附面層模型，并結(jié)合2維附面層分離準(zhǔn)則，建立了固壁交匯角區(qū)分離判定準(zhǔn)則，繼而提出了以二面角視角控制角區(qū)流動(dòng)的規(guī)律。

事實(shí)上，在Ji[11]所述二面角原理中，固壁交匯角區(qū)流動(dòng)形態(tài)經(jīng)由綜合3個(gè)附面層方程來(lái)描述，即

式中：H為形狀因子；Mae為主流馬赫數(shù)；Cf為摩擦系數(shù)；α為葉表與端壁相交的二面角；x為流動(dòng)方向。

對(duì)上述角區(qū)所涉及的3類附面層引用文獻(xiàn)[12]中的準(zhǔn)則進(jìn)行分離預(yù)測(cè)，即

任何1類附面層被判別為分離都意味著角區(qū)流動(dòng)將發(fā)生分離，而分離點(diǎn)后的預(yù)測(cè)將由于嚴(yán)重偏離實(shí)際而不再被采納。針對(duì)葉表附面層和端壁附面層，上述即是傳統(tǒng)的葉輪機(jī)設(shè)計(jì)判據(jù)，而針對(duì)新建立的角區(qū)等效附面層，體現(xiàn)為上述分離準(zhǔn)則式直接相關(guān)于二面角α，這將帶來(lái)新的葉輪機(jī)設(shè)計(jì)判據(jù)。為此，將式（3）代入式（4）、（5）中，由考察角區(qū)內(nèi)分離判據(jù)參數(shù)-（θef/ue）（due/dx）和 dθef/dx 沿葉表與端壁交線的變化規(guī)律得出

除了是主流速度ue、速度流向梯度due/dx、葉表和端壁附面層動(dòng)量損失厚度(θsuc，θew)的顯函數(shù)，分離判據(jù)參數(shù)還是二面角α及其流向梯度dα/dx的函數(shù)。也就意味著，可能通過(guò)調(diào)節(jié)二面角α及其流向梯度分布而避免分離

可以證明，對(duì)所有情況，df1/dα＜0，因而表明，二面角α越小，等效2維附面層越容易分離，角區(qū)越容易分離。所以為避免角區(qū)分離，應(yīng)使二面角α盡可能大。

由上式可看出，dθef/dx與dα/dx間存在準(zhǔn)線性關(guān)系，且比例系數(shù)始終為負(fù)數(shù)，因此，只有當(dāng)dα/dx為負(fù)，即二面角α沿流向遞減才有可能發(fā)生角區(qū)分離，而α變化梯度絕對(duì)值越大，角區(qū)也就越容易分離。因而，為避免角區(qū)分離，應(yīng)使α沿流向逐漸增大，或者使α沿流向逐漸減小過(guò)程盡量平緩，尤其在α較小的區(qū)域更應(yīng)如此。

2 二面角原理與葉身/端壁融合

二面角原理表明，在設(shè)計(jì)中通過(guò)監(jiān)控和調(diào)整二面角大小及其流向變化率可以規(guī)避分離，而控制規(guī)律是增大和減小二面角流向變化梯度的絕對(duì)值。據(jù)此，二面角原理有以下3種應(yīng)用方式。

2.1 增大二面角

根據(jù)二面角原理，增大二面角可以改善角區(qū)流動(dòng)、抑制分離。為此，葉輪機(jī)設(shè)計(jì)中應(yīng)在端區(qū)盡可能增大葉片與端壁相交二面角（如圖1所示），這與流行的彎葉片技術(shù)具有某種程度的相近性，但彎葉片技術(shù)更強(qiáng)調(diào)通過(guò)彎改變?nèi)~片壓力分布，繼而改變二面角，減小損失，未能特殊關(guān)注角區(qū)流動(dòng)，體現(xiàn)為尚未形成有關(guān)近端區(qū)葉片彎和尺度范圍的經(jīng)驗(yàn)。而根據(jù)二面角原理，增大二面角的展高區(qū)間尺度與當(dāng)?shù)馗矫鎸雍穸瘸叨认喈?dāng)——這是難得的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。

圖1 增大二面角方式

2.2 增大過(guò)渡曲線(面)的最小曲率半徑

在一些場(chǎng)合，葉片二面角增大便對(duì)應(yīng)著其背面二面角減小，而且增加二面角自身就可能受到其他外在因素限制，如高負(fù)荷風(fēng)扇根部。在這種局面下，將葉片表面與端壁以任意光滑曲線(面)過(guò)渡連接（這時(shí)相當(dāng)于二面角變?yōu)?80°），如圖2所示，并置光滑曲線(面)最小曲率半徑至少與當(dāng)?shù)馗矫鎸幼畲蠛穸瘸叨认喈?dāng)，同樣可能達(dá)到改善流動(dòng)效果。應(yīng)該注意，這與通常的工藝倒圓在用途上完全不同，盡管有時(shí)由于過(guò)渡光滑曲線選為圓而形態(tài)相似，但沿環(huán)繞葉片與端區(qū)的交線，倒圓半徑通常不變或簡(jiǎn)單線性變化，其用途主要是避免應(yīng)力集中、提高葉片強(qiáng)度。

圖2 增大最小曲率半徑方式

2.3 減小二面角流向變化梯度

還有些情況，不是二面角不夠大，而是其流向減小的梯度太大。例如高負(fù)荷風(fēng)扇根部，根區(qū)葉片在弦長(zhǎng)中點(diǎn)以后通常是二面角迅速減小而導(dǎo)致分離。針對(duì)這種情況，減小二面角變化梯度會(huì)大大改善流動(dòng)。極端情況發(fā)生在與固壁相交鈍體繞流上，如圖3（a）所示，這時(shí)端壁附面層可看成為二面角為180°的交匯附面層，在遇到鈍體障礙物時(shí)，這個(gè)附面層迅速分為交角之和為180°的2股角區(qū)流動(dòng)，角區(qū)二面角由180°在極短距離內(nèi)變?yōu)榛パa(bǔ)的鈍角和銳角，二面角變化梯度趨近無(wú)窮大，導(dǎo)致流動(dòng)分離卷起，即形成馬蹄渦。根據(jù)該認(rèn)識(shí)，改造鈍體與端壁相交過(guò)渡形式，使二面角流向變化梯度為有限值，結(jié)果是馬蹄渦被大大削弱甚至消除，如圖3（b）所示。

圖3 控制二面角流向梯度方式

除繼承非軸對(duì)稱端壁以部分控制橫向二次流外，從內(nèi)涵看，葉身/端壁融合技術(shù)主要包含上述二面角原理的3種應(yīng)用方式：（1）針對(duì)第1種方式，主要依靠調(diào)整葉片積疊軸使葉片吸力面與端壁盡可能成鈍角相交；（2）如果受外在條件限制而使得第1種方式不可為時(shí)，則采用第2種方式，用光滑曲線（面）過(guò)渡連接吸力面和端壁；（3）針對(duì)前緣與端壁交匯處，則采用第3種方式，對(duì)葉片前緣采取前伸光滑曲面方式，使二面角隨流梯度由無(wú)窮大減為有限小值。3種處理方式的幾何特征尺度均與當(dāng)?shù)馗矫鎸雍穸瘸叨戎苯雨P(guān)聯(lián)。

限于篇幅，本文僅研究葉身/端壁融合的第2種方式，即增大過(guò)渡曲線（面）的最小曲率半徑。

3 數(shù)值研究

3.1 數(shù)值模型選擇

據(jù)負(fù)荷與葉片折轉(zhuǎn)內(nèi)在關(guān)聯(lián)，在端區(qū)負(fù)荷較高時(shí)更可能出現(xiàn)二面角較小或其沿流遞減梯度較大情形。由此，葉身/端壁融合更多會(huì)在高負(fù)荷葉片內(nèi)清楚展示其效益。為清晰證實(shí)葉身/端壁融合技術(shù)效果，選用合適的數(shù)值模型非常關(guān)鍵。

NASA 67轉(zhuǎn)子葉片是NASA設(shè)計(jì)并試驗(yàn)的低展弦比跨聲速軸流風(fēng)扇動(dòng)葉，已作為高負(fù)荷跨聲速風(fēng)扇/壓氣機(jī)流動(dòng)機(jī)理研究和CFD校驗(yàn)的典型案例使用。該轉(zhuǎn)子葉片根區(qū)近尾緣吸力面與端壁間存在的分離現(xiàn)象是其中重要特點(diǎn)，這已在研究中得到廣泛證實(shí)[13]，如圖4所示。參數(shù)化分析表明，轉(zhuǎn)子葉片根區(qū)表面與端壁所交二面角形成如圖5所示流向分布，在吸力面?zhèn)?，二面角從前緣附近約110°到中弦處開(kāi)始迅速降為尾緣處約60°，在逆壓梯度較大的后半部恰恰是二面角流向減小梯度較大的區(qū)域，按照前述準(zhǔn)則，這也是最傾向于分離的區(qū)域。因此，在67轉(zhuǎn)子葉片上實(shí)施葉身/端壁融合技術(shù)最有可能展現(xiàn)其應(yīng)用效果，這是以下選用67轉(zhuǎn)子葉片(原型)及其改型(實(shí)施葉片/端壁融合后簡(jiǎn)寫為BBEW改型)作為本研究數(shù)值模型的初衷。

圖4 Chima[13]計(jì)算所得67轉(zhuǎn)子葉片根區(qū)分離情況

圖5 67轉(zhuǎn)子葉片根區(qū)葉表與輪轂端壁二面角分布

同時(shí)，盡管完整的葉片/端壁融合專利[8]技術(shù)在端壁形式方面可以繼承非軸對(duì)稱端壁，但鑒于相關(guān)研究已比較深入，且本文更關(guān)注葉身與端壁交匯角區(qū)，改型過(guò)程因而僅涉及用光滑曲線(面)連接吸力面和端壁以增大二面角。從圖5中可見(jiàn)67轉(zhuǎn)子葉片根區(qū)二面角流向分布，并考慮壓力面與吸力面?zhèn)炔顒e、前緣/尾緣處應(yīng)與原型一致等，按如圖6所示規(guī)律給定葉表與端壁過(guò)渡光滑曲線(面)最小曲率半徑沿流程分布，形成67改型葉片與端壁如圖7所示。本研究中尚未對(duì)葉表與端壁過(guò)渡光滑曲線(面)最小曲率半徑沿流程分布進(jìn)行優(yōu)化，這是后續(xù)深入研究和應(yīng)用努力的方向。

3.2 數(shù)值研究方法

針對(duì)67轉(zhuǎn)子葉片原型及其BBEW改型，采用ANSYS-ICEM生成結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，如圖8所示。為確保模擬質(zhì)量，網(wǎng)格生成過(guò)程既考慮了葉尖間隙，也保證了近壁網(wǎng)格間距Y+＜20～50以可靠描述附面層；同時(shí)為確保比對(duì)結(jié)果合理有效，對(duì)這2個(gè)算例均采用相同網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并保持網(wǎng)格疏密一致。根據(jù)單排單通道流動(dòng)模擬的網(wǎng)格依賴性研究結(jié)果，將計(jì)算總網(wǎng)格數(shù)控制在210萬(wàn)左右。

數(shù)值模擬基于N-S方程，并采用帶擴(kuò)展壁面函數(shù)k-ε模型對(duì)湍流相關(guān)項(xiàng)進(jìn)行封閉。為使數(shù)值研究結(jié)果可采信、結(jié)論可靠，數(shù)值模擬均采用CFD商業(yè)軟件ANSYS-CFX，并對(duì)原型進(jìn)行了詳細(xì)數(shù)值校驗(yàn)以獲得正確的使用和評(píng)估經(jīng)驗(yàn)。圖9、10分別給出了100%轉(zhuǎn)速下試驗(yàn)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，包括總性能和詳細(xì)的流動(dòng)參數(shù)展向分布。由此可見(jiàn)，無(wú)論是總體性能參數(shù)還是流動(dòng)參數(shù)的分布，計(jì)算值都與試驗(yàn)值符合很好，針對(duì)該軟件、該算例的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)得以建立。

圖8 計(jì)算網(wǎng)格

圖9 效率與壓比特性線的計(jì)算與試驗(yàn)對(duì)比（100%轉(zhuǎn)速）

圖10 峰值效率點(diǎn)與近失速點(diǎn)出口總溫、總壓、出口角展向分布的計(jì)算與試驗(yàn)對(duì)比（100%轉(zhuǎn)速）

4 結(jié)果分析

對(duì)原型和BBEW改型進(jìn)行了數(shù)值模擬。根據(jù)計(jì)算結(jié)果整理得到的壓比和效率特性分別如圖11、12所示。相對(duì)于原型，BBEW改型有略微的裕度優(yōu)勢(shì)但仍有待試驗(yàn)驗(yàn)證，在堵塞流量不變條件下壓比略有增大、效率整體提高0.2～0.3個(gè)百分點(diǎn)。峰值效率點(diǎn)和近失速點(diǎn)效率的展向分布對(duì)比分別如圖13、14所示。

圖11 原型和BBEW改型的流量-壓比特性

圖12 原型和BBEW改型的流量-效率特性

圖13 峰值效率點(diǎn)的效率展向分布對(duì)比

圖14 近失速點(diǎn)的效率展向分布對(duì)比

從圖中可見(jiàn)，在峰值效率點(diǎn)，葉身/端壁融合使得轉(zhuǎn)葉根區(qū)效率較原型有顯著改善，甚至大部分展高的效率提高。需要解釋的是，由于較大效率改善主要發(fā)生在根區(qū)，而根區(qū)流量比率低且基準(zhǔn)效率已經(jīng)較高（95%以上），因此，整體上顯現(xiàn)的效率提升并不大。另外，未能優(yōu)化也是效率提升有限的原因之一。

峰值效率點(diǎn)和近失速點(diǎn)絕對(duì)切向速度分量的展向分布分別如圖15、16所示。從圖中可見(jiàn)，采用葉身/端壁融合以后，根區(qū)20%展高內(nèi)絕對(duì)切向速度分量大大增加（約10%），結(jié)合如圖17、18所示的峰值效率點(diǎn)和近失速點(diǎn)子午速度變化較小的總體情況看，說(shuō)明根區(qū)20%展高范圍內(nèi)流動(dòng)落后角減小，在葉型未經(jīng)改變情況下，葉身/端壁融合削弱附面層分離是產(chǎn)生這一效果的根本原因。

圖15 峰值效率點(diǎn)的切向速度展向分布

圖16 近失速點(diǎn)的切向速度展向分布

圖17 峰值效率點(diǎn)的子午速度展向分布

圖18 近失速點(diǎn)的子午速度展向分布

峰值效率點(diǎn)和近失速點(diǎn)時(shí)葉片根部吸力面與輪轂端壁摩擦力線的分布對(duì)比分別如圖19、20所示。從圖中可見(jiàn)，在原型中，輪轂端壁附面層在沖向吸力面時(shí)與已經(jīng)處于分離邊緣的葉表附面層交匯，在靠近尾緣時(shí)已經(jīng)無(wú)法自持，形成角區(qū)分離，表現(xiàn)為摩擦力線并未到達(dá)吸力面，而是匯聚形成分離線；與此形成鮮明對(duì)比，在BBEW改型中，近尾緣附近輪轂壁面上的摩擦力線光滑地移向葉表吸力面，而吸力面上附面層分離甚至角區(qū)分離已消失殆盡，表明端壁附面層沖向葉表吸力面時(shí)，順帶移除了葉表吸力面附面層中的低能流團(tuán)，避免了已處于分離邊緣的吸力面附面層繼續(xù)走向失穩(wěn)。從總體看，無(wú)論是在峰值效率點(diǎn)還是近失速點(diǎn)，BBEW改型均明顯地削弱了近尾緣處根部角區(qū)分離，葉片后尾跡寬度明顯減小。整個(gè)特性線上各工況點(diǎn)的流場(chǎng)檢驗(yàn)均顯現(xiàn)了這樣的規(guī)律。

圖19 葉片根部吸力面與輪轂端壁摩擦力線分布對(duì)比(峰值效率點(diǎn))

圖20 葉片根部吸力面與輪轂端壁摩擦力線分布對(duì)比（近失速點(diǎn)）

為更清晰認(rèn)識(shí)葉身/端壁融合效果的機(jī)制，選擇如圖21所示S3-4和S3-6的2個(gè)流向位置的S3截面，觀察其馬赫數(shù)以及熵分布情況。原型和BBEW改型在S3-4、S3-6截面處等馬赫線對(duì)比分別如圖22、23所示。由圖中可見(jiàn)，在S3-4截面，BBEW改型使吸力面與輪轂角區(qū)流動(dòng)速度大大提高，到了S3-6截面，已經(jīng)可以清晰看到，由于前面流速提高后，根部角區(qū)分離大大減小，體現(xiàn)為低速區(qū)范圍顯著減小。原型和BBEW改型在S3-4、S3-6截面處?kù)氐戎稻€進(jìn)一步對(duì)比分別如圖24、25所示。從圖中明顯可見(jiàn)，盡管原型和BBEW改型在S3-4截面處的熵分布幾乎一致，但BBEW的作用在近尾緣處顯露無(wú)遺：在S3-6截面處，不但根部高熵區(qū)(通常被稱為尾跡區(qū))厚度明顯減小，熵的最大值也有所減小。

上述分析清楚表明：采用BBEW技術(shù)能夠消除或削弱角區(qū)分離，是繼續(xù)提高葉輪機(jī)負(fù)荷能力的重要技術(shù)途徑。

圖21 S3-4和S3-6截面定義

圖22 S3-4截面等馬赫數(shù)線對(duì)比（峰值效率點(diǎn)）

圖23 S3-6截面等馬赫數(shù)線對(duì)比（峰值效率點(diǎn)）

圖24 S3-4截面熵等值線對(duì)比（峰值效率點(diǎn)）

圖25 S3-6截面熵等值線對(duì)比（峰值效率點(diǎn)）

5 結(jié)束語(yǔ)

本文首先回顧了二面角原理，繼承了但不在本文討論范圍的非軸對(duì)稱端壁技術(shù)，葉身/端壁融合技術(shù)包含了二面角原理的3種應(yīng)用方式，其中第2種方式作為本文研究重點(diǎn)。為此，選擇NASA67號(hào)轉(zhuǎn)子葉片作為研究對(duì)象，實(shí)施了吸力面與輪轂端壁的光滑過(guò)渡。數(shù)值模擬結(jié)果表明：僅采用葉身/端壁融合技術(shù)中第2種二面角原理應(yīng)用方式，即便還未經(jīng)過(guò)詳細(xì)優(yōu)化，葉身/端壁融合已經(jīng)能在幾乎全部工況下消除根區(qū)吸力面?zhèn)冉菂^(qū)分離，能夠改善效率和壓比等性能參數(shù)，是1種有前景的葉輪機(jī)負(fù)荷能力最大化技術(shù)途徑之一，未來(lái)可能廣泛應(yīng)用于軸流/混流/徑向壓氣機(jī)、渦輪、泵和風(fēng)機(jī)等葉輪機(jī)械。

[1]Filippow G A,WANG Zhong-qi.The effect of flow twisting on the characteristics of guide rows[J].Teploenergetika，1964,11（5）：54-57.

[2]Sauer H,Muller R,Vogeler K.Reduction of secondary flow losses in turbine cascades by leading edge modifications at the endwall[J].Journal of Turbomachinery,2001,123（2）：207-213.

[3]Zess G A,Thole K A.Computational design and experimental evaluation of using a leading edge fillet on a gas turbine vane[J].Journal of Turbomachinery,2002,124（2）：167-175.

[4]Deich ME,Zaryankin A E.Methods of increasing the efficiency of turbine stages[J].Teploenergetica,1960,7（2）：18-24.

[5]Morris A W H,Hoare R G.Secondary loss measurements in a cascade of turbine blades with meridional wall profiling[R].ASME 75-WA/GT-13.

[6]Kopper F C,Milano R,Vanco M.Experimental investigation of endwall profiling in a turbine vane cascade[J].AIAA Journal,1981,19：1033-1040.

[7]Rose M G.Non-axisymmetric endwall profiling in the HP NGVs of an axial flow gas turbine[R].ASME 94-GT-249.

[8]季路成,伊衛(wèi)林,田勇，等.一種葉輪機(jī)械葉片與端壁融合設(shè)計(jì)方法：中國(guó),CN102094847A[P].2010-06-15.

[9]Smith L H,Yeh H.Sweep and dihedral effect in axial flow turbomachinery[J].ASME Journal of Basic Engineering,1963,85（3）：401-416.

[10]Lewis R I,Hill J M.The influence of sweep and dihedral in turbomachinery blade rows[J].JournalofMechanical Engineering Science,1971,13（4）：266-285.

[11]JI Lu-cheng,SHAO Wei-wei,YI Wei-lin,et al.A model for describing the influences of SUC-EW dihedral angle oncorner separation[R].ASME 2007-GT-27618.

[12]Nash J F,Macdonald A G J.The calculation of momentum thickness in a turbulent boundary layer at mach numbers up to unity[M].London：Aeronautical Research Council Current Papers,1967：963.

[13]Chima R V.Viscous three-dimensional calculations of transonic fan performance[C]//AGARD Conference proceedings CP-510，London:HerMajesty's Stationery Office，1991:80-103.