許 勇，董文才，歐勇鵬

（海軍工程大學 船舶與海洋工程系，武漢 430033）

1 引 言

在耐波性系列模型試驗（如滑行艇艉底斜升角變化對船模運動響應影響的試驗研究）及一些非常規(guī)試驗（如氣泡高速艇噴氣后形成的氣層對其運動響應影響的試驗研究）中常常需要捕捉研究對象參數(shù)的細微變化對運動響應的影響，但由于試驗測量信號中存在很多干擾（如測量設備本身的高頻電噪聲、儀器調(diào)零誤差帶來的低頻趨勢項、拖車在行進時本身的抖動、二次試驗間隔時間不夠而殘留的小波的干擾等），使得所研究對象參數(shù)變化對運動響應的影響往往淹沒在這些干擾因素中，要識別這些細微變化則必須采用高精度的信號分析方法。而船模對波浪的運動響應是低頻的且是窄頻帶[1]，所以對該窄帶頻段進行頻譜細化處理則可望得到這些細微的變化。

FFT分析是一種使用最為廣泛的頻域分析方法。該方法能得到整個頻段上的頻譜信息，但是其受到頻率分辨率的限制。所謂頻率分辨率[2]Δf即為采樣頻率fs與FFT變換點數(shù)N1的比值，根據(jù)頻率與圓頻率的關系則可得圓頻率分辨率為Δω=2πΔf。而FFT變換點數(shù)N1又與采樣點數(shù)N存在如下?lián)Q算關系[3]

其中[]為取整符號。因此頻率分辨率和信號的采樣點數(shù)及傳感器采樣頻率有關，實質(zhì)上與采樣時間有關。而船模的耐波性試驗一般都在拖曳水池中進行，水池長度有限導致總的采樣時間不長，所以若采用FFT分析則頻率分辨率受到限制，這也將影響其它表征信號頻域特征量（如幅值、相位、功率譜密度等）的分析精度。當然，可以采用補零的方法來增加數(shù)據(jù)的長度以提高FFT分析的頻率分辨率，但頻率分辨率每縮小一倍則數(shù)據(jù)長度要增加一倍，這會引起運算量和存儲量的急劇增加，而FFT也將失去其快速性算法的意義。所以一種頻率分辨率高、運算速度快且具有局部分析功能的頻域方法將有助于船模耐波性試驗測量數(shù)據(jù)的處理和分析。

為了提高頻率分辨率，捕捉信號更詳細和精確的頻幅特性，出現(xiàn)了不少的頻譜細化方法[2,4-5]，如復調(diào)制ZFFT，相位補償細化，AR譜局部表示法等。復調(diào)制ZFFT以及相位補償細化[4]在一定程度上能提高頻率分辨率，但所需的數(shù)據(jù)量也成倍地增加，對于原始數(shù)據(jù)長度恒定或瞬變信號進行細化分析時，上述方法顯然無能為力，并且分析前要先對信號進行頻移和低通濾波[4]，這不僅增加了信號處理的難度，而且降低了信號分析的效率，不利于實現(xiàn)信號的實時處理。AR譜等現(xiàn)代譜分析方法[5]，由于是連續(xù)譜圖，故不受采樣點數(shù)的影響，在理論上頻率分辨率可以達到無窮小，但由于建模方法和模型階次確定的差異會產(chǎn)生譜線偏移和譜線分裂現(xiàn)象，得不到非常準確的頻率值。FFT-FS頻譜細化技術(shù)[2]，在不增加數(shù)據(jù)長度的前提下利用傅立葉級數(shù)的原理得到連續(xù)的頻譜曲線，不僅可以消除頻率分辨率的限制，還能克服上述方法的不足。本文嘗試采用該方法來獲得船模運動響應信號的細化譜。

2 FFT-FS算法原理

FFT-FS實際上是一種聯(lián)合采用快速傅立葉變換（FFT）及傅立葉級數(shù)展開（FS）的信號處理方法。其原理是在不增加數(shù)據(jù)長度N的前提下對信號先進行N1點（見（1））式FFT，初步確定信號的頻幅特性，然后對FFT的離散頻率通過變量代換獲得連續(xù)頻率，并對感興趣的局部頻段進行傅立葉級數(shù)展開獲得連續(xù)的頻譜曲線。關于頻率的變量代換、FFT-FS、FFT更詳?shù)慕榻B可參考文獻[2-3]。對于船模實測耐波性運動響應信號來說，感興趣的頻段是遭遇圓頻率ωf附近的局部頻段，該頻段內(nèi)的傅立葉級數(shù)展開式（細化譜）為

其中:x（n）為實測時間序列，N為采樣點數(shù)，fs為采樣頻率，ω 為圓頻率，dω 為細化頻段的半寬，[ωf-dω,ωf+d ω ]為離散的頻段；ω 處幅值譜矢量表達式為a（ω）+jb（ω），幅值大小為A（ω）=（ω）+b2（ω）。因此根據(jù)（2）式則可以得到頻段 [ωf-dω,ωf+dω ]內(nèi)的連續(xù)的細化幅值譜。

但在程序?qū)崿F(xiàn)時，仍需對ω進行離散，設N3為頻段 [ωf-dω,ωf+dω ]內(nèi)離散的點數(shù)（一般稱N2為離散的譜線數(shù)），此時頻率分辨率為Δω=2dω/N2。故通過上述方法可以得到分辨率為Δω的頻幅特性曲線，且調(diào)節(jié)譜線數(shù)目N′可獲到不同分辨率時的幅值譜。

3 FFT-FS算法的運算量分析及與FFT的比較

對采樣點數(shù)為N的實測序列采用FFT-FS分析時，其運算量包括進行N1點FFT的運算量和進行傅立葉級數(shù)展開求N2條細化譜的運算量。

對采樣點數(shù)為N的實測時間序列x（n）采用FFT-FS分析時，其運算量包括進行N1點FFT的運算量和進行傅立葉級數(shù)展開求N2條細化譜的運算量:由文獻[3]給出的估算公式并根據(jù)復數(shù)運算和實數(shù)運算之間的關系可得進行N1點FFT需要進行實數(shù)加法為2.5N1log2（N1）次，實數(shù)乘法為N1log2（N1）次；根據(jù)（2）式可知計算N2條細化譜需要進行的實數(shù)加法為2NN2次，實數(shù)乘法為2NN2次，因此FFT-FS的實數(shù)加法為Sa=2NN2+2.5N1log2（N1）次，實數(shù)乘法為Sm=2NN2+N1log2（N1）次。若采用FFT分析要得到和FFTFS同樣分辨率Δω的幅值譜，則需要進行FFT變換的數(shù)據(jù)長度為M=πfsN1/dω，根據(jù)（1）式可求得進行FFT 的點數(shù)為 M′=2[log2（M）]次，則需要進行的實數(shù)加法為Sa=2.5M′log2（M′）次，實數(shù)乘法為Sm=M′log2（M′）次。

圖1給出了采樣點數(shù)N不同時FFT-FS、FFT乘法運算量隨分辨率的變化關系（加法運算量變化規(guī)律和此類似），其中采樣頻率為200Hz，細化頻段的半寬為1。從圖中可以看出:（1）在分辨率相同時，F(xiàn)FT-FS的運算效率要高于FFT算法，尤其是在高分辨率時FFT-FS的運算效率明顯要高于FFT運算效率；（2）當實測信號的采樣點數(shù)N增加時，F(xiàn)FT-FS運算量的優(yōu)勢逐漸減弱，也就是說當采樣數(shù)據(jù)較多時，兩者的運算量相當，而當采樣點數(shù)較少時，F(xiàn)FT-FS的運算速度比FFT更有優(yōu)勢。第1節(jié)指出船模耐波性試驗測量數(shù)據(jù)受采樣時間的限制而導致采樣點數(shù)有限，因此采用FFT-FS對這些信號進行分析則能發(fā)揮其運算速度快的優(yōu)勢。

4 FFT-FS算法的精度分析

圖1 FFT-FS、FFT的乘法運算次數(shù)隨分辨率的變化Fig.1 Multiplicaiton operation number curves of FFT and FFT-FS at different frequency

4.1 FFT-FS、FFT計算精度的比較

根據(jù)文獻[1]提供的數(shù)學模型，可以用單個或若干個正弦波的迭加來模擬船模在規(guī)則波和不規(guī)則波中的運動響應。而實測船舶耐波性運動響應信號中往往包含著噪聲，可用高斯白噪聲gwn（white Gaussian noise）來模擬，其中高斯白噪聲對正弦信號的影響程度則可以通過信噪比snr（signal-to-noise ratio）來調(diào)節(jié)。關于信噪比和高斯白噪聲更詳細的介紹可以參見文獻[6-8]。下面以兩個仿真信號S1和S2來模擬船模的運動響應，S1和S2的表達形式如下:

其中時間t=0～20.48 s，采樣頻率為200 Hz，信噪比snr為1，幅值Ai、圓頻率 ωi及相位 εi（i=1～6）的值如表1所示。S1模擬規(guī)則波激勵時的垂蕩響應，S2則模擬不規(guī)則波激勵時的垂蕩響應，兩個仿真信號的時歷過程如圖2所示。

表1 仿真信號各正弦波特征參數(shù)Tab.1 Characteristic parameters of the simulation signals S1 and S2

圖2 仿真信號的時歷過程Fig.2 History curves of the two simulation signals

采用FFT-FS方法對S1和S2的遭遇頻率ωf附近頻段進行頻譜細化處理，其中S1的細化頻段半寬為1，細化譜線數(shù)為50，S2的細化頻段半寬為2，細化譜線數(shù)為100，同時還對兩個仿真信號進行了4096點的FFT分析，兩種分析方法所得結(jié)果如圖3所示:對比FFT和FFT-FS的幅頻曲線可以看出FFT-FS的幅頻曲線反映的幅頻信息更豐富和細致，如S2的FFT-FS幅頻曲線中可以清晰地看到5個子波的幅值譜（圖中阿拉伯數(shù)字1～6標出了各子波對應的幅值譜），這和事實是相符的，而S2的FFT幅頻曲線中只能看到4條這樣的幅值譜，子波2和子波3的幅值譜線在圖中無法分辨出來，其原因在于FFT受頻率分辨率的限制，而子波2和子波3的頻率又比較接近，所以FFT分析無法分辨出來。

圖3 仿真信號的FFT幅值譜及FFT-FS幅值譜Fig.3 Amplitude-frequency curves of FFT and FFT-FS about the signals

為進一步比較FFT-FS、FFT的分析精度，表2統(tǒng)計了圖3中各子波的幅頻參數(shù)值。FFT分析結(jié)果中關于子波2的數(shù)據(jù)由于該方法分析失效，用“-”表示。對比表2和表1中的理論值可以知道:（1）由FFT分析得到的四個子波的頻率誤差分別在5%左右、而對應的幅值誤差和相位誤差卻很大（如子波3的幅值誤差達到34.519%，相位誤差達到了132.486%），其原因在于采用FFT分析時計算的僅是頻率為整數(shù)倍頻率分辨率時的幅值，而兩相鄰整數(shù)倍頻率分辨率之間的幅值無法求得，但兩相鄰整數(shù)倍頻率分辨率之間存在著豐富的信息細節(jié)，因此出現(xiàn)頻率的一點偏差將會帶來幅值上很大的誤差；（2）采用FFT-FS的頻譜細化技術(shù)所得頻率、幅值及相位和理論值相當接近，且誤差都在3%之內(nèi)，這也驗證了該方法的有效性。綜合上述的分析可以知道FFT-FS方法能夠準確而且細致地描述信號的幅頻特性，且是一種比FFT更有效的頻域方法。

表2 仿真信號各子波的FFT、FFT-FS頻幅參數(shù)統(tǒng)計Tab.2 Amplitudes,frequencies and phases of the two signals calculated by FFT and FFT-FS

4.2 細化譜線數(shù)對FFT-FS分析精度的影響

在同樣寬度的頻段內(nèi)對信號進行頻譜細化時，細化譜線的數(shù)目N2不僅決定了FFT-FS的運算量，而且還決定著細化譜的分辨率，從而也就決定了對信號分析的精度,因此選擇合適的細化譜線數(shù)既能確保FFT-FS有好的分析精度又有高的運算效率。仍以S1為例，采用FFT-FS算法對該仿真信號的ωf附近dω為1的頻段分別進行譜線數(shù)目為10、20、50、100及500的細化處理，其中仿真信號的信噪比snr為1，所得細化譜如圖4所示。由圖可知細化譜線數(shù)為50、100和500時的細化譜基本上是重合的，這說明當頻段半寬dω1時選擇譜線數(shù)為50就能得到滿意的精度。

4.3 信噪比對FFT-FS分析精度的影響

船模耐波性試驗測量的運動響應信號中含有噪聲的影響，有的運動響應測量信號信噪比較小，如在短波激勵時測得的加速度信號，而有的運動響應測量信號信噪比較大，如長波激勵時的位移信號。因此研究FFT-FS分析精度是否受信號本身信噪比的影響及受到的影響究竟有多大則能考察該方法的普遍適應性。仍以S1為例，設定其信噪比snr分別為1、5和100，得到3個不同的信號，對這3個信號進行FFT-FS頻譜細化，其中細化譜線數(shù)N′為50，細化的頻段仍為仿真信號的ωf附近dω為1的頻段，所得細化幅值譜如圖5所示，由圖可知這3條曲線基本上是一致的，這說明FFT-FS分析精度受信號本身信噪比snr的影響很小，即使是對強噪聲背景下的測量信號（如snr為1時的信號）進行分析也能確保精度，因此該方法可以用于對船模耐波性試驗數(shù)據(jù)的頻譜細化分析。

圖4 不同N2時的細化譜比較Fig.4 Amplitudes-frequency curves of different N2 calculated by FFT-FS

圖5 不同信噪比時的細化譜比較Fig.5 Amplitudes-frequency curves of different signal-noise ratio calculated by FFT-FS

5 船模耐波性實測信號的FFT-FS實例分析

在605所高速水動力試驗室水池中對氣泡高速艇模型sm8進行了耐波性試驗，激勵波為規(guī)則波、波長范圍為2～13 m、名義波高60 mm，航速為固定航速6.124 m/s。模型sm8的基本參數(shù)和sm7相同，關于sm7的基本參數(shù)可參見文獻[9]。試驗中每個波長進行一次拖車，一次拖車中采用兩個噴氣流量，一個為飽和流量，一個為零流量。試驗中對首部、中部和尾部的運動響應進行了測量。對測量的數(shù)據(jù)采用FFT-FS方法進行了分析，得到各運動響應在遭遇頻率附近頻段的細化幅值譜，并統(tǒng)計了遭遇頻率處的幅頻參數(shù)。圖6給出了波長9 m時重心處的垂蕩時歷曲線。圖7給出了兩個垂蕩響應信號在遭遇頻率附近頻段的FFT-FS細化譜及FFT頻幅曲線。分析圖7的兩條細化幅值譜在遭遇頻率處的幅值可以發(fā)現(xiàn)，噴氣時的幅值要小于噴氣后的幅值，這和事實是相符的，因為在長波激勵時，船模和波浪之間能形成較為穩(wěn)定的氣泡層，氣泡層的存在可以緩沖船舶的運動，所以噴氣后的船模對波浪的垂蕩響應會得到改善，但對比噴氣前后的FFT幅值譜在遭遇頻率處的幅值可知兩者相當接近，說明該方法無法識別氣泡層存在給運動響應帶來的影響。

圖6 實測垂蕩響應信號的時歷過程Fig.6 History curve of the heave

圖7 垂蕩響應的FFT、FFT-FS幅值譜比較Fig.7 Amplitude-frequency curves of the signals in evaluated by FFT and FFT-FS

表3 噴氣前后FFT-FS、FFT分析所得遭遇頻率、幅值統(tǒng)計Tab.3 The encounter frequency and its corresponding amplitude calculated by FFT and FFT-FS

5 結(jié) 論

（1）當采樣數(shù)據(jù)較少且頻率分辨率較高時FFT-FS運算效率要明顯高于FFT的運算效率；

（2）FFT-FS算法分析精度受信噪比的影響很小，是一種適應性廣的算法，即使是對強噪聲背景下的測量信號進行分析也能確保精度；

（3）當頻段半寬為1時譜線數(shù)選擇50對實測信號進行FFT-FS分析既能保證精度又能確保運算效率；

（4）該算法能有效用在船模耐波性試驗測量數(shù)據(jù)的定量分析中。

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