何 光，盧小麗

0 引言

灰色系統(tǒng)解決了小樣本及信息不全的問題，大量應(yīng)用于生產(chǎn)生活領(lǐng)域，引起了廣泛的關(guān)注?；疑Ｐ图蠢秒x散隨機數(shù)，生成為較有規(guī)律的生成數(shù)，進而建立起的微分方程模型。提高灰色模型的可靠性及預(yù)測精度一直處于不斷的實踐和探索中。目前，已有文獻通過殘差修正模型[1]、對初始數(shù)列的變換[2-5]及建立背景值修正的不等時距模型[6]等方式改進模型預(yù)測的精度。然而在已有結(jié)論中，大多數(shù)只側(cè)重于分析某一方面（如殘差修正、初始數(shù)列的變換或背景值修正等）的改進，而對于多方面的融合探討少有涉及。

在文[1]中提出的殘差修正模型基礎(chǔ)上，本文將結(jié)合函數(shù)變換的思想，建立新的GM(1,1)殘差優(yōu)化模型，以提高預(yù)測的精度和可靠性。

1 GM(1,1)模型及預(yù)測

設(shè)n個元素的初始數(shù)列x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))的AGO生成數(shù)列為

其中，a稱為發(fā)展系數(shù)，b稱為灰作用量，z1(k)稱為白化背景值。

如果將x(0)(k)各時刻k視為連續(xù)變量t，則x(1)就可視為t的函數(shù)。記x(1)=x(1)(t)，x(0)(k)對應(yīng)于導(dǎo)數(shù)dx(1)/dt，背景值z(1)(k)對應(yīng)于x(1)(t)，則有GM(1,1)灰微分方程對應(yīng)的白微分方程：

該方程稱為GM(1,1)的白化型。如果白化型模型的精度高，則表示所建立的GM(1,1)與真正的微分方程擬合較好。

結(jié)合GM(1,1)模型進行灰色預(yù)測，步驟如下。

第一步：由初始序列x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))，得一次累加生成序列x(1)。

第二步：求x(1)的白化微分方程中的待定參數(shù)a和b，即[a ,b]T=[BTB]-1BTyn。

其中

第三步：將參數(shù)a,b代入還原后的模型，得到x(1)的估計值：

進而計算出 x(0)(k)的估計值 x?(0)(k+1)=x?(1)(k+1)-x?(1)(k)。

第四步：模型檢驗。分別計算殘差檢驗、關(guān)聯(lián)度檢驗和后驗差檢驗的相應(yīng)指標(biāo)，如符合精度要求，則可用于預(yù)測；否則，運用殘差修正模型加以改進。

2 已有的GM(1,1)殘差修正模型

2.1 傳統(tǒng)的GM(1,1)殘差修正模型

在灰色預(yù)測的模型檢驗中，若殘差檢驗不合格時，需建立殘差修正模型。設(shè)殘差q(0)(k)= | x(1)(k)-x?(1)(k)| ，得殘差列

對q(0)建立GM(1,1)模型，將得到的預(yù)測值處理后，加入原模型得殘差修正模型：

根據(jù)i的取值差異得到不同的殘差修正模型。

2.2 改進的殘差修正模型

文[1]中提出了兩種改進的殘差修正模型：模型I和模型II。

模型 I：設(shè)殘差為 q(0)(k)=x(0)(k)-x?(0)(k)，對 q(0)建立GM(1,1)模型，將得到的預(yù)測值，加入原模型得修正模型：

模型II：設(shè)殘差為q(0)(k)= | x(0)(k)-x?(0)(k)| ，對 q(0)建立GM(1,1)模型，將得到的預(yù)測值，加入原模型得修正模型：

3 兩類新的GM(1,1)殘差修正模型

鄧聚龍教授指出建立GM(1,1)模型的前提是初始數(shù)列x(0)為光滑離散函數(shù)[7]。x(0)的光滑性決定了模型預(yù)測的可靠性和精確度。于是結(jié)合已有的殘差修正模型，通過對預(yù)測數(shù)列先進行光滑度的處理，然后作灰色建模和預(yù)測。

殘差優(yōu)化模型1的具體步驟如下：

第一步：對初始序列x(0)進行光滑度處理，得到序列w(0)。可選用以下方案：

(1)對數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化T1:ln x(0)(k)；

(2)冪函數(shù)轉(zhuǎn)化T2:(x(0)(k))t,t∈(0,1]；

另外，還可以考慮負指數(shù)函數(shù)、負指數(shù)函數(shù)-冪函數(shù)轉(zhuǎn)化等方法。

第二步：對w(0)建立GM(1,1)模型，然后利用函數(shù)轉(zhuǎn)化的逆運算，將其預(yù)測值 w?(0)還原為 x?(0)。

第三步：設(shè)殘差為q(0)(k)= | x(0)(k)-x?(0)(k)| ，對 q(0)建立GM(1,1)模型，將得到的預(yù)測值，加入原模型進行修正。

在優(yōu)化模型1的基礎(chǔ)上，還可以進一步改善殘差，得到優(yōu)化模型2。具體步驟如下：

第一步：對初始序列x(0)進行光滑度處理，得到序列w(0)。

第二步：對w(0)建立GM(1,1)模型，然后將其預(yù)測值w?(0)還原為 x?(0)。

第三步：設(shè)殘差為q(0)(k)= | x(0)(k)-x?(0)(k)| ，對殘差序列作光滑度處理后，再建立GM(1,1)模型；最后將得到的結(jié)果還原處理后，加入原模型予以修正。

4 應(yīng)用實例

以文[1]中Fibonacci數(shù)列為例，初始數(shù)列為：x(0)={x(0)(k)}={1,1,2,3,5,8,13}，其中 k=0,1,2,…,6。易知該數(shù)列為光滑的[8]，可用灰色模型進行預(yù)測和分析。根據(jù)文[1]的結(jié)論，作者提出了兩種改進的誤差修正模型對數(shù)列x(0)做出預(yù)測，其結(jié)果在精度上要優(yōu)于傳統(tǒng)的殘差修正模型，其中第二種改進模型效果更好。這里我們將運用優(yōu)化模型1對數(shù)列x(0)進行預(yù)測，并與文[1]中的結(jié)果進行比較。

首先，分別運用T1、T2和T3對 x(0)進行光滑度處理。運用T1和T3時，為使運算有意義，需先將原數(shù)列化為 y(0)(k)=x(0)(k)+3后，再進行灰色預(yù)測，最后用x(0)(k)=y(0)(k)-3還原；運用T2和T3時，取t為0.5。

然后通過優(yōu)化模型1，可分別得出三種處理方式的預(yù)測情況，見表1。

表1 三種光滑度處理方法的預(yù)測結(jié)果

從表1中數(shù)據(jù)可看出，選用T2處理后，除x(0)(1)=1的預(yù)測值誤差過大外，對其余各項x(0)(k)(k=2,3,…,9)的擬合情況明顯優(yōu)于T1和T3；并且這種精度優(yōu)勢從預(yù)測項k=7開始，表現(xiàn)的尤為突出，體現(xiàn)出預(yù)測結(jié)果的可靠性高。綜合比較下，選擇T2作為初始數(shù)列x(0)的光滑度轉(zhuǎn)換方式，并將結(jié)果與文[1]中預(yù)測效果最好的模型II比較，見表2。

由表2中的比較結(jié)果可知，本文所建立的優(yōu)化模型1的平均相對誤差為4.38%，與文[1]中模型II的5.13%相比，有明顯的改進。同時從圖1中可看出，當(dāng)k＞2時，優(yōu)化模型1的殘差絕對值均小于或等于文[1]中的模型II的結(jié)果，其擬合精度更高。而且對于k=7的預(yù)測項，優(yōu)化模型1的相對誤差絕對值僅為0.05%，遠小于1%，與文[1]中模型II的3.16%相比，其預(yù)測的可靠性更強。

表2 兩種改進模型的預(yù)測結(jié)果比較

圖1 兩類模型的殘差比較

綜上所述，經(jīng)過一次光滑度處理得到的優(yōu)化模型1無論從整體的誤差率方面，還是在預(yù)測前景上，均優(yōu)于文[1]中的模型II。最后，考慮優(yōu)化模型2，模型2的兩次光滑度處理均采用冪函數(shù)轉(zhuǎn)化。通過實驗分析得，在初始數(shù)列的處理中取t=0.5，以及在殘差序列的處理中取t接近1（如t=0.05）時，擬合效果較好。其預(yù)測情況與優(yōu)化模型1比較，見表3。

表3 優(yōu)化模型1和2的預(yù)測情況比較

表3中，從整體情況分析，由前7項的擬合值，可計算出優(yōu)化模型1和2的平均相對誤差分別為4.38%和4.15%，模型2的誤差率較低；而由前9項擬合效果看，模型2的誤差率也低于模型1。表明經(jīng)過兩次光滑化處理后，模型2的精度比模型1有一定的提高，略優(yōu)于模型1。當(dāng)3＜k≤9時，兩類模型相對誤差的絕對值均控制在1%以內(nèi)，精度很高；特別是在k＞6以后的預(yù)測值，結(jié)果令人滿意。

圖2 優(yōu)化模型1和2的殘差比較

另外，從兩類模型的殘差絕對值（圖2）情況可看出，隨著預(yù)測項數(shù)的增大，當(dāng)k＞5時，兩者的預(yù)測數(shù)據(jù)差異不大。表明優(yōu)化模型2在預(yù)測方面比模型1的優(yōu)勢并不明顯，仍有值得改善和思考的地方。

5 結(jié)論

在文[1]提出的改進殘差修正模型的背景下，運用函數(shù)轉(zhuǎn)化先對初始數(shù)列進行光滑度處理，得到優(yōu)化模型1；然后在模型I的基礎(chǔ)上，進一步對殘差序列也作光滑度處理，得到優(yōu)化模型2。然后通過實例，將優(yōu)化模型1和2與文[1]中的模型II比較，結(jié)果分析如下。

第一，與文[1]中的改進模型相比，優(yōu)化模型1不僅在平均相對誤差上更低，而且其優(yōu)勢在預(yù)測值方面體現(xiàn)得更明顯，未來預(yù)測值的精度和可靠性均優(yōu)于文[1]的模型II；

第二，優(yōu)化模型2比優(yōu)化模型1的平均相對誤差有進一步的改進，特別在預(yù)測方面，模型2的結(jié)果優(yōu)于模型1；

第三，在實例中，優(yōu)化模型1和2中的光滑度處理均選擇了冪函數(shù)進行轉(zhuǎn)換，當(dāng)面對不同問題時，需要根據(jù)具體情況選擇合適的函數(shù)轉(zhuǎn)換。

[1]王明禮.三種灰色系統(tǒng)模型的預(yù)測比較[J].統(tǒng)計與決策，2011,(8)．

[2]何斌,蒙清.灰色預(yù)測模型拓廣方法研究[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2002,22(9)．

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