張 玲

(大慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 黑龍江 大慶 163712 )

1 引言與預(yù)備

在這篇文章不做特別的說(shuō)明，我們令|x|是歐幾里得范數(shù)，令(Ω,F,P)是完備的概率空間，并具有滿足通常條件的代數(shù)流{Ft}t≥0。

引理1[2]：對(duì)于t≥0，令A(yù)(t),U(t)是兩個(gè)Ft可測(cè)的增過(guò)程，并且A(0)=U(0)=0 a.s.，令M(t)是實(shí)值的局部鞅，并且M(0)=0a.s.，令ζ是非負(fù)F0可測(cè)的隨機(jī)變量。假設(shè)X(t)是非負(fù)并且對(duì)于t≥0有X(t)=ζ+A(t)-U(t)+M(t)。如果limt→∞A(t) <∞a.s.，那么對(duì)于幾乎所有的ω∈Ω,有

limt→∞X(t) <∞和limt→∞U(t) <∞

也就是，X(t)和U(t)都收斂到有限的隨機(jī)變量。

引理2[3]：對(duì)于i=1,2，…，令{Ai},{Ui}是兩個(gè)非負(fù)的隨機(jī)變量序列，使得Ai和Ui是Fi-1可測(cè)的并且A0=U0=0a.s.，令Mi是實(shí)值的局部鞅并且M(0)=0a.s. ，令ζ是非負(fù)F0可測(cè)的隨機(jī)變量。假設(shè){Xi} 是一個(gè)非負(fù)半鞅并且有分解

Xi=ζ+Ai-Ui+Mi

如果limi→∞Ai<∞a.s.，那么對(duì)于幾乎所有ω∈Ω, limi→∞Xi<∞ 和limi→∞Ui<∞,也就是，Xi和Ui都收斂到有限的隨機(jī)變量。

我們考慮n維的隨機(jī)延遲微分方程

(1)

其中f,g:C(Rn×Rn;Rn)，并且w(t)是一個(gè)維納過(guò)程。為了研究穩(wěn)定性，我們假設(shè)f(0,0)=g(0,0)=0。下面給出研究問(wèn)題的條件局部Lipchitz條件：

(2)

下面是本篇文章的主要結(jié)果，首先給出解析解的穩(wěn)定性結(jié)果，之后給出方程(1)的隨機(jī)θ方法，并且應(yīng)用半鞅收斂定理來(lái)證明這個(gè)方法得到的數(shù)值解是幾乎處處指數(shù)穩(wěn)定的。

2 解析解和數(shù)值解的穩(wěn)定性

我們首先給出方程(1)的隨機(jī)θ方法

(3)

(4)

定義2[5]稱離散的方程(3)的數(shù)值解xk是幾乎處處指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在一個(gè)常數(shù)η>0，對(duì)于有界隨機(jī)變量ξ(kh),k=-m,-m+1，…0，使得

(5)

下面的定理給出了隨機(jī)微分方程(1)解析解的幾乎處處穩(wěn)定。

定理1：在假設(shè)3滿足的情況下，假設(shè)有四個(gè)非負(fù)常數(shù)λ1,λ2,λ3,λ4，對(duì)于所有的x,y∈Rn和t≥0，使得

2xTf(x,0)≤-λ1|x|2

(6)

|f(x,y)-f(x,0)|≤λ2|y|

(7)

|g(x,y)|2≤λ3|x|+λ4|y|

(8)

成立，如果

λ1>2λ2+λ3+λ4

(9)

其中γ>0是下面式子唯一的根

λ1-λ2-λ3-γ=(λ2+λ4)eγτ

下面讓我們討論隨機(jī)延遲微分方程隨機(jī)θ方法數(shù)值解的穩(wěn)定性，假設(shè)f滿足線性增長(zhǎng)條件，也就是，存在一個(gè)K>0，使得

|f(x,y)|2≤K(|x|2+|y|2)

(10)

(11)

證明：由(3)得

(12)

對(duì)于任意的整數(shù)C>1，我們有

C(k+1)h|xk+1|2-Ckh|xk|2=C(k+1)h(|xk+1|2-|xk|2)+(C(k+1)h-Ckh)|xk|2

(13)

把(12)代入(13)，并且由條件(6)-(10)我們得到

(14)

其中

我們把(14)不等式兩側(cè)進(jìn)行求和得

(15)

因?yàn)?/p>

把上面三個(gè)式子代入(15)，當(dāng)1-a2>0時(shí)，

其中

讓我們先討論下面這個(gè)函數(shù)

φ(C)=(a1+λ3h)Ch+a2+a4Cmh+(a3+λ4h)C(m+1)h

因此，對(duì)于任意的C≥1，我們得到φ'(C)>0。得到

φ(1)=-(λ1-2λ2-λ3-λ4-2Kh)h

選擇μ使得C=eμ并且1-C-h=1-e-μh。下面定義函數(shù)

(16)

(17)

通過(guò)γ的定義，(16)和(17)得到

進(jìn)一步有

3 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，本文給出了隨機(jī)延遲微分方程解析解和數(shù)值解的幾乎處處指數(shù)穩(wěn)定，我們應(yīng)用的是隨機(jī)θ方法，證明的方法建立在連續(xù)和離散鞅收斂定理上，以往別人做的技巧是應(yīng)用了切比雪夫不等式和大數(shù)定律，在這篇文章中主要應(yīng)用鞅收斂定理，直接給出了隨機(jī)延遲微分方程數(shù)值解的幾乎處處指數(shù)穩(wěn)定的性質(zhì)，這為以后繼續(xù)研究隨機(jī)微分方程解析解和數(shù)值解的性質(zhì)奠定了一定基礎(chǔ)，并提供理論根據(jù)。

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