佟 欣

(大慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 大慶 163712)

0 引言

物種的增長(zhǎng)都有一個(gè)完整的成長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程, 在發(fā)育過(guò)程中物種在各個(gè)生命階段的出生率、 死亡率、 擴(kuò)散率、 捕食能力等有著明顯差別，這些因素都在不同程度上影響著生物種群的持續(xù)生存和滅絕，因此, 我們建立了具有階段結(jié)構(gòu)的種群模型[1-5]。階段結(jié)構(gòu)的種群模型可以用微分方程組表示為：

(1)

1 模型建立

如果人類(lèi)對(duì)模型(1)中的成年種群進(jìn)行捕獲，研究人類(lèi)的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和捕獲行為對(duì)生物種群發(fā)展動(dòng)態(tài)的影響，從而建立廣義生物經(jīng)濟(jì)模型如下：

(2)

其中x1(t)、x2(t)、a、α、b、β的含義同式(1)，E(t) 表示t時(shí)刻對(duì)成年種群的捕獲量,p為單位成年種群價(jià)格,c為捕獲成本,m為經(jīng)濟(jì)利利潤(rùn)(剩余量) ,p、c均為大于零的常數(shù), 所以pE(t)x2(t)表示收益總量,cE(t)表示總成本。方程(2a) 、(2b) 分別表示幼年種群和成年種群的增長(zhǎng)率, 方程(2c) 表示收益總量, 總成本以及經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)(或剩余量) 之間的關(guān)系。 顯然，模型(2)是一個(gè)微分代數(shù)系統(tǒng)，x1(t) ，x2(t)是微分變量,E(t)是代數(shù)變量。

2 模型研究

2.1 奇異誘導(dǎo)分岔

當(dāng)建立的廣義生物經(jīng)濟(jì)模型(2)中的經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)為零時(shí)，即m=0時(shí)，會(huì)出現(xiàn) Cordon所提出的生物經(jīng)濟(jì)平衡現(xiàn)象，也稱(chēng)為“ 經(jīng)濟(jì)學(xué)過(guò)度捕撈”[1]現(xiàn)象，就是說(shuō)經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)被捕獲的強(qiáng)弱程度即努力量所制約著[2]，兩者之間處于水平消耗的關(guān)系，收益和成本就可能相等，所以可以得出模型(2)存在平衡點(diǎn)：

2.2 奇異誘導(dǎo)分岔的狀態(tài)反饋控制

綜合上述分析可知：當(dāng)分岔值m=0時(shí)，即經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)為零時(shí)，廣義生物經(jīng)濟(jì)模型(2)的克羅內(nèi)克(kronecker)指標(biāo)將增加，從而導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)奇異誘導(dǎo)分岔現(xiàn)象。為了消除這種分岔現(xiàn)象，我們需要在模型(2)中施加控制系統(tǒng)使模型(2)中的克羅內(nèi)克指標(biāo)減少。

接下來(lái)我們確定一個(gè)可執(zhí)行輸入v(t)來(lái)分析受控模型情況。

(3)

(4)

得到模型

(5)

綜上所述可以知道該狀態(tài)反饋控制器的生物意義為：當(dāng)我們對(duì)所捕獲的努力量給予制約時(shí)，此時(shí)反饋增益K的值可以了解到，當(dāng)增大捕獲量時(shí)，就可以把經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的奇異又到分岔消除，就可以使得系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

3 數(shù)值仿真

為了說(shuō)明狀態(tài)反饋控制器的有效性，我們現(xiàn)將廣義生物經(jīng)濟(jì)模型(2)中的各項(xiàng)參數(shù)取值，即a=4，b=8，α=4，其中b為幼年種群的死亡率和轉(zhuǎn)化為成年種群的轉(zhuǎn)化率之和，所以α

(6)

(7)

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)研究生態(tài)系統(tǒng)在受到外界因素干擾時(shí)，從而出現(xiàn)在廣義生物經(jīng)濟(jì)模型中的奇異誘導(dǎo)分岔現(xiàn)象，并研究其在經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)為零的條件下控制該現(xiàn)象的產(chǎn)生，設(shè)計(jì)狀態(tài)控制器和研究該狀態(tài)控制器的相關(guān)問(wèn)題。當(dāng)生物經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)出現(xiàn)奇異誘導(dǎo)分岔現(xiàn)象時(shí)，會(huì)使種群數(shù)量在短時(shí)間內(nèi)變化很大，即克羅內(nèi)克指標(biāo)發(fā)生變化。也就是說(shuō)，經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)為零時(shí)，當(dāng)克羅內(nèi)克指標(biāo)增加1時(shí)，就會(huì)使得生物種群的數(shù)量超過(guò)環(huán)境可以承受的量，而此時(shí)生態(tài)環(huán)境就會(huì)發(fā)生變化?？梢愿玫亟鉀Q奇異誘導(dǎo)分岔現(xiàn)象，從而使得種群達(dá)到平衡的狀態(tài)，這樣就會(huì)使得生態(tài)系統(tǒng)得到更好的保護(hù)。正因?yàn)槿绱?，建立了反饋控制器，通過(guò)控制器捕獲的努力量，來(lái)調(diào)整控制生態(tài)系統(tǒng)的相對(duì)平衡，從而達(dá)到保護(hù)生態(tài)資源和生態(tài)經(jīng)濟(jì)持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展的目的。最后根據(jù)所得到的真實(shí)數(shù)據(jù)說(shuō)明了狀態(tài)控制器的可行性。

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