崔建斌，付桐林

(隴東學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 甘肅 慶陽 745000)

0 引言

文獻[1][2]曾討論了沒有Markov轉(zhuǎn)換的非自治的隨機Logistic方程

dN(t)=N(t)[a(t)-b(t)N(t)dt+α(t)dB(t)]，t≥0

并給出了依概率全局穩(wěn)定和隨機持久的條件。帶有白噪聲和Markov轉(zhuǎn)換的Logistic方程：

(1)

其初值條件為X(0)=x和ξ(0)=i∈S，其中ξ(t)為右連續(xù)的在有限狀態(tài)空間S={1，2，…，N}中取值的Markov鏈，是一維Brown運動。設(shè)Markov鏈ξ(t)是Ft適應的，并且與Brown運動Bt獨立。方程(1)可以看成是系統(tǒng)按照Markov鏈的規(guī)律在下面N個方程中由一個到另一個轉(zhuǎn)換：

注意到方程(1)雖然滿足局部Logistic條件，但不滿足線性增長條件。

1 隨機Logistic方程的隨機持久性和全局吸引性

令ξi(t)是0時刻由i∈S出發(fā)的Markov鏈。記方程(1)滿足初始條件X(0)=x>0，ξ(0)=i∈S的初值解為Xx，i(t)(t≥0)。

令

并假設(shè)：

(H1)r(i)>0，K(i)>0，i∈S；

(H2)r*-(σ*)2>0。

定理1：設(shè)條件(H1)成立，則方程(1)存在滿足初始條件X(0)=x>0，ξ(0)=i∈S的唯一連續(xù)正解Xx，i(t)，其表達式為

(2)

證明： 設(shè)τ1>0是ξi(t)的第一個跳躍時刻，設(shè)在時刻τ1，ξi(t)由狀態(tài)i轉(zhuǎn)到狀態(tài)j，設(shè)τ2>τ1是第二個轉(zhuǎn)換時刻。不失一般性，只考慮t∈[τ1，τ2)的情況。下面來證明此時有

Xx，i(t)=XXx，t(τ1)，j(t)，t∈[τ1，τ2)

(3)

當t∈[0，τ1]時，由文獻[2]中的定理2.2，式(2)成立。于是有

(4)

對t∈[τ1，τ2)，由式(4)得到

=(XXx，i(τ1)，j(t))-1

這就是所需要的結(jié)論。

定理2：設(shè)條件(H1)和(H2)成立，Xx，i(t)和Xy，i(t)分別是方程(1)滿足初始條件X(0)=x>0，ξ(0)=i∈S和X(0)=y>0，ξ(0)=i的解，則有

證明：考慮liapunov函數(shù)V(t)=|logXx，i(t)-logXy，i(t)|，t≥0。由推廣的Ito公式[3]得到

沿著系統(tǒng)解的正向V(t)的右導數(shù)滿足

(5)

由式(5)，0到t積分得到

由定理2可以看出方程(1)的解互相吸引，事實上，任意的正解都可以看成是系統(tǒng)的吸引子。

引理3：設(shè)條件ξ(t)是右連續(xù)的并在有限狀態(tài)空間S={1，2，…，N}中取值的Markov鏈，則

證明：由推廣的Ito公式[7，8]得

在上式兩端取均值有

應用Gronwall不等式[4]就得到

證明完成。

定理4：設(shè)條件(H1)和(H2)成立，則具有初始條件X(0)=x>0，ξ(0)=i∈S的解Xx，i(t)有如下性質(zhì)：

證明：把方程(1)寫成積分形式為

兩端取均值得到

即

(6)

根據(jù)Jensen不等式[5]有

考慮下面的輔助常微分方程：

(7)

方程(7)是一個Logistic方程[6]，其解顯然滿足

應用比較定理得到

即

兩端取均值得到

即

由比較定理[7，8]，得到

根據(jù)Jensen不等式有

證明完成。

2 結(jié)語

在滿足線性增長的條件下，我們考慮給出了具有markov轉(zhuǎn)換的隨機Logistic方程的解的存在唯一性和解的上、下界，得到了解的隨機持久性和全局吸引性。從而推廣了以往非線性增長條件下的情形。

[參考文獻]

[1] Jiang D Q，Shi N Z，A note on non-autonomous logidtic equation with random perturbation[J].J.Math.Anal.Appl.,2005,303: 164-172

[2] Jiang D Q，Shi N Z，Li X Y,Global stability and stochastic permanence of a non-autonomous logidtic equation with random perturbation[J].J.Math.Anal.Appl.,2006,340: 588-597.

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