郭 爽，張 玲，于 健

(大慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 黑龍江 大慶 163712 )

0 引言

近年來，人們發(fā)現(xiàn)許多生物現(xiàn)象的發(fā)生以及人們對(duì)某些生命現(xiàn)象的優(yōu)化控制，并非是一個(gè)連續(xù)的過程，不能單純地用微分方程或者是差分方程來進(jìn)行描述。例如在藥物動(dòng)力學(xué)中，藥物在人身體內(nèi)的吸收，代謝和排泄等是一個(gè)連續(xù)過程，可以用一個(gè)脈沖微分方程模型進(jìn)行描述,同時(shí)應(yīng)用脈沖微分方程的理論和方法來研究制訂合理用藥的最佳方案。

脈沖微分方程對(duì)在瞬時(shí)干擾下狀態(tài)發(fā)生突然變化的演變過程提供了一種自然的描述。在數(shù)學(xué)處理上，脈沖的出現(xiàn)使得系統(tǒng)具有混合性，既是連續(xù)的，又是離散的。相應(yīng)的脈沖微分方程理論也比無脈沖的情形要豐富的多。如在不同的脈沖條件下可導(dǎo)致Lorenz系統(tǒng)吸引子的軌道發(fā)生本質(zhì)變化[1], 脈沖也會(huì)對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生很大的影響[2]，在脈沖作用下具有時(shí)滯的生態(tài)模型解的有界性和持久性以及一致持久性都有了一些新的結(jié)論[3-4]。脈沖微分方程的研究在生物數(shù)學(xué)等許多方面的研究中有著廣泛的應(yīng)用。

例1：具有脈沖出生的SIS傳染病模型[5]

由于動(dòng)物的出生率并不是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，多數(shù)是以脈沖的形式出現(xiàn)。2004年，文獻(xiàn)[5]中刻畫了這樣的物種遭受傳染病的性態(tài)而提出該模型。其中N為種群的人口最大容量，S為易患病的種群數(shù)量，I為已染病的種群數(shù)量，研究他們的基本再生數(shù)及其有關(guān)的閾值參數(shù)，對(duì)平衡點(diǎn)的周期解的穩(wěn)定性進(jìn)行討論，而且方法涉及到重合度理論及Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造方法，這都是非常有意義的工作。

例2：具有脈沖效應(yīng)的兩個(gè)食餌一個(gè)捕食者系統(tǒng)模型[6]

種群模型的一個(gè)基本問題是研究物種的長期進(jìn)化行為。自然界中往往是多個(gè)種群互相作用而存在的，它們之間的關(guān)系就比兩個(gè)種群時(shí)復(fù)雜的多。對(duì)n維系統(tǒng)的奇點(diǎn)及空間周期解等都是相當(dāng)復(fù)雜的，有可能出現(xiàn)較為復(fù)雜的分支現(xiàn)象，也可能有混沌出現(xiàn)。對(duì)于具有脈沖效應(yīng)的種群模型平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性和極限環(huán)方面已經(jīng)有了很多較好的工作[7-8]。對(duì)于帶有擴(kuò)散系數(shù)的脈沖非自治捕食-被捕食系統(tǒng)，通常采用非自治半流的方法來給出一致持久的充分條件和全局存在性條件，同時(shí)利用構(gòu)造Liapunov 函數(shù)的方法來證明正周期解的全局穩(wěn)定性。

我們考慮如下非線性脈沖微分方程解析解和數(shù)值解的穩(wěn)定性：

(1)

0<θ1≤τk-τk-1≤θ2<∞

下面給出研究問題的Lipchitz條件：

假設(shè)滿足Lipchitz條件，也就是，存在常數(shù)對(duì) ，有

|f(t，x)-f(t，y)|≤L|x-y|

(2)

|Ik(t，x)-Ik(t，y)|≤βk|x-y|

(3)

定義1[7]：如果函數(shù)滿足下列條件：

(iii) 函數(shù)x(t)在區(qū)間(0，+∞)上左連續(xù)，且當(dāng)，t∈(0，+∞)，t≠τk時(shí)，x(t+)=Ik(x(t))。則稱函數(shù)x(t)為方程 (1) 的解。

定義2[8]：如果方程 (1) 對(duì)應(yīng)不同初值的解x1(t)和x2(t)，滿足

則稱方程 (1) 是漸近穩(wěn)定的。

定理1[8]： 如果存在實(shí)數(shù)α，使得對(duì)?x，y∈Rd，有

且存在一個(gè)常數(shù)q∈[0，1]，使得

βjeα(τj-τj-1)≤q<1，j=1，2，…

成立，則方程 (1) 是漸近穩(wěn)定的。

由定理1可得到下面的推論：

推論1：如果存在常數(shù)使得q∈[0，1)，使得

βjeL(τj-τj-1)≤q<1，j=1，2，…

成立，則方程 (1) 是漸近穩(wěn)定的。

下面是本篇文章的主要結(jié)果，給出了解析解和數(shù)值解的穩(wěn)定性結(jié)果。

1 數(shù)值解的穩(wěn)定性

我們首先給出方程(1) 的EM方法

(4)

接下來，我們討論方法(4)的穩(wěn)定性。為了討論穩(wěn)定性，我們考慮方程(1)具有初值擾動(dòng)的差分格式

(5)

記Xk=(xk，0，xk，1，…，xk，m)T，Zk=(zk，0，zk，1，…，zk，m)T。

我們下面給出方法(4)的穩(wěn)定性的定義：

定義3：EM方法(4)被稱為是漸近穩(wěn)定的，如果存在常數(shù)M，使得對(duì)任意給定的x0，z0及所有的正整數(shù)m>M，Xk和Zk滿足：當(dāng)k→∞時(shí)

|Xk-Zk|→0

(6)

證明：記

利用內(nèi)積的性質(zhì)，有

(7)

由條件(2)，可得

(8)

兩邊開方，得

|Wk，l|=(1+hkL)|Wk，l-1|

(9)

從而，我們得到

|Wk，l|=(1+hkL)l|Wk，0|

(10)

利用條件 (3) 得到

(11)

|Wk，l|≤((1+hkL)mβ)k(1+hL)l|W0，0|

(12)

觀察式(11)，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)(1+hkL)mβ<1時(shí)，|Wk，l|→0，k→∞。定理證完。

2 數(shù)值算例

下面給出一個(gè)例子來驗(yàn)證我們的結(jié)論

例 1：

(13)

可以驗(yàn)證方程 (13) 都滿足條件推論1的條件。運(yùn)用步長h =1/m (m=30)，我們用EM方法求方程 (13) 的數(shù)值解，得到圖1。從這個(gè)圖中可以看出，數(shù)值解是漸近穩(wěn)定的。

圖1 方程 (13) 的數(shù)值解

3 結(jié)語

綜上所述，我們主要研究了非線性脈沖微分方程解析解和數(shù)值解的穩(wěn)定性，在Lipchitz條件下得到了解析解的穩(wěn)定性和EM方法的數(shù)值解的穩(wěn)定性，最后給出一個(gè)例子來驗(yàn)證結(jié)果。從例子中可以看出，數(shù)值解是漸近穩(wěn)定的。這為以后我們繼續(xù)研究脈沖微分方程解析解和數(shù)值解的性質(zhì)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)并提供有力的理論根據(jù)。

[參考文獻(xiàn)]

[1] V. Lakshmikantham, D.D. Bainov. Theory of Impulsive Differential Equantions[M]. Singapore:World Scientific,1989.

[2] A. Michel, K. Wang. Qualitative Analysis of Cohen-Grossberg Neural Networks[J]. Neural Networks,2002，15: 415-422.

[3] Y.Kuang,Delay differential equations with applications in population dynamics[M].New York:cademic Press,1993.

[4] F.Zhang,Z.Ma ,J.Yan,Functions boundary value problem for first order impulsive differential equations at variable times[J].Indian J.pure Applied Math.,2003,34:733-742.

[5] 馬知恩.種群生態(tài)學(xué)的數(shù)學(xué)模型與研究[M].合肥:安徽教育出版社，1994.

[6] D.D. Bainov, P.S. Simeonov. Systems with Impulse Effect: Stability, Theory and Applications[M]. Ellis Horwood： Chichester, 1989.

[7] Y.J. Zhang, B. liu, L.S. Chen. Extinction and Permanence of a Two-Prey One-Predator System with Impulsive Effect[J]. Math. Med. Biol. 2003, 20: 309-325.

[8] Lakmeche A，Arino O..Bifurcation of non trivial periodic solutions of impulsive differential equations arising chemotherapeutio treatment,Dynam-ics of Continuous[J].Discrete and Impulsive system,2000,7:265-287.