展丙軍

(大慶師范學院 數(shù)學科學學院，黑龍江 大慶 163712)

1 問題的提出

約束最優(yōu)化問題的局部最優(yōu)解是滿足K-T條件。要想很好地回答這個問題并非易事，在絕大多數(shù)的教材、資料的論述中，都要做很多前期工作，給出若干個引理或定理，然后才能推證結(jié)論，整個過程篇幅過大，不僅繁瑣，而且對“高難度”知識過分地依賴。因此，有些教材、資料只給出結(jié)論，而略去了證明，這些都給讀者帶來很大的不便。目標函數(shù)、約束函數(shù)的條件的不同，可以得到不同形式的K-T條件，證明方法也就不盡相同，找到論證約束最優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件(即K-T條件)的新方法有著重要的意義。在運籌學的教學中，發(fā)現(xiàn)K-T條件與用拉格朗日乘數(shù)法所確定的極值條件很相似，受此啟發(fā)得到解決上述問題的便于理解、掌握的新方法。

2 約束最優(yōu)化條件(K-T條件)的證明

其中，x=(x1，…，xn)T∈Rn，f：Rn→R1

gi：Rn，→R1，i=1，…，P，hj：Rn→R1，j=1，…，q

下面給出上述問題的最優(yōu)解的必要條件，即約束最優(yōu)化條件：K-T條件。

定理1 設(shè)f：Rn→R1和gi：Rn→R1，i∈I(x*)，在點x*的某鄰域內(nèi)連續(xù)可微，gi∈II(x*)，在點x*處連續(xù)，hj：Rn→R1，j∈J，在點x*的某鄰域內(nèi)連續(xù)可微，并且各gi(x*)，i∈I(x*)，hj(x*)，j∈J(x*)，線性無關(guān)。若x*是(MP)的局部最優(yōu)解，則存在兩組實數(shù)和使得

(1)

將(1)式稱為(MP)的Kuhn-Tucker條件，簡稱為K-T條件。

證明：

Φ的穩(wěn)定點(也稱駐點)xk，k=1，2，…，它們都是可能的極值點，特別地，x*也滿足個列條件：

(2)

hj(x*)=0

上式恰為K-T條件(1)的第一個式子。

綜上所述，命題成立。

下面補充說明定理的條件的確定。一方面，對f，gi，hj的可微性、連續(xù)性的要求是為了保證能用微積分的方法進行研究。另一方面，如果，gi(x*)，i∈I(x*)，hj(x*)，j∈J，線性相關(guān)，必然存在一組非零的常數(shù)和使hj(x*)=0，又因為hj(x*)=0，所以f(x*)=0，這樣x*相當于無約束問題z=f(x)的極值點，原有的約束失去了作用，這不是我們要討論的(MP)問題。所以，要求gi(x*)，i∈I(x*)，hj(x*)，j∈J線性無關(guān)。

將定理1中的條件稍加改變，有如下的定理：

定理2 設(shè)f∶Rn→R1，gi∶Rn→R1(i∈I)和hj∶Rn→R1(j∈J) 都在點x*的某鄰域內(nèi)連續(xù)可微，并且各gi(x*)，i∈I，hj(x*)，j∈J，線性無關(guān)。若x*是(MP)的局部最優(yōu)解，則存在兩組實數(shù)和使得

(2)

值得說明的是，定理1的條件中，設(shè)f∶Rn→R1和gi∶Rn→R1，i∈I(x*)，在點x*的某鄰域內(nèi)連續(xù)可微，hj∶Rn→R1，(j∈J) ，在點x*的某鄰域內(nèi)連續(xù)可微，改為設(shè)f∶Rn→R1和gi∶Rn→R1，i∈I(x*)，在點x*處可微，hj∶Rn→R1，(j∈J) ，在點x*處連續(xù)可微，結(jié)論仍然成立，但改后定理的證明方法不能用上述的方法，因為上述證明方法中，用到了拉格朗日乘數(shù)法，拉格朗日乘數(shù)法要求給定的函數(shù)在點x*的某鄰域內(nèi)連續(xù)可微；另一方面，在實際計算中，即在用K-T條件求K-T點時，要做求f(x)，gi(x)，hj(x)的運算，也是要求在點x*的某鄰域內(nèi)連續(xù)可微的，幾乎不會只在一點x*處連續(xù)可微的條件下討論問題，況且，定理中點x*是假設(shè)的點，不知道在哪。所以，在實際應用中，按本文定理1、定理2給出f，gi，hj的條件是更有實際意義。

3 結(jié)語

本文給出了f，gi，hj滿足兩種不同情況下約束最優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件(即K-T條件)，并用新的方法論證了這兩種情況下的K-T條件，這種方法便于理解和掌握。定理中，f，gi，hj的條件要求強了些，正如前述，它的應用價值不但不受影響，反而提高了。將此成果應用于教學，起到了很好的效果，有利于激發(fā)學生的學習積極性和探索精神。

[參考文獻]

[1] 刁在筠，劉桂真，宿潔，等.運籌學[M].3版.北京:高等教育出版社， 2007:131-136.

[2] 解可新，韓立興，林友聯(lián). 最優(yōu)化方法[M].天津：天津大學出版社，2002：139-152.

[3] 劉玉璉，傅沛仁，林玎，等.數(shù)學分析講義：下冊[M].4版.北京:高等教育出版社，2003:231-232.

[4] 吳祈宗. 運籌學[M].北京：機械工業(yè)出版社， 2002.

[5] 寧宣熙. 運籌學實用教程[M].北京：科學出版社，2002.