李 岳 ，姜忻良

(1. 天津大學建筑工程學院，天津 300072；2. 濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點實驗室(天津大學)，天津 300072；3. 中國民航大學機場學院，天津 300300)

近年來，結(jié)構(gòu)與土相互作用(structure-soil interaction，SSI)問題一直是學術(shù)界和工程界關(guān)注的重點．歷次震害研究表明，SSI效應對上部結(jié)構(gòu)的自振特性與振動反應有明顯的影響，地震作用下土體的變形反應不容忽視[1]．為了模擬相互作用條件、克服邊界效應影響，SSI分析模型通常需要在地基深度和寬(長)度方向上截取較大的范圍，模型體量通常較為龐大．一般認為，動態(tài)子結(jié)構(gòu)方法是解決此類大型復雜結(jié)構(gòu)體系動力分析的有效方法[2]．就SSI問題研究而言，通常是將上部結(jié)構(gòu)與地基土劃分為不同的子結(jié)構(gòu)．地基子結(jié)構(gòu)由于包含有大量連續(xù)分布的實體單元(或平面單元)，計算規(guī)模較上部結(jié)構(gòu)高得多．因而，如何從數(shù)量眾多的特征值結(jié)果中高效地提取地基主振型(主模態(tài))成為研究的難點．

Ritz向量法由于在求解過程中考察了外部動荷載的空間分布與結(jié)構(gòu)自身振動特性的對應關(guān)系，因而可濾除對荷載沒有響應或貢獻極小的低階振動模態(tài)[3]．由此特性，有研究工作者將其應用于大跨度空間結(jié)構(gòu)和高層結(jié)構(gòu)的動力分析中，計算效率可明顯提高[4-5]．文獻[6-9]對 Ritz向量法在子結(jié)構(gòu)層次中的應用有系統(tǒng)地探討．

對于SSI問題研究，由于地基模型通常占據(jù)了相互作用體系中相當多的自由度，提高地基主模態(tài)分析效率對于縮減問題總體計算規(guī)模有著重要的意義．為此，本文通過一組算例分析了應用 Ritz向量法求解SSI體系地基子結(jié)構(gòu)主模態(tài)，以及進行地震反應計算的適用性與有效性．

1 結(jié)構(gòu)與土相互作用體系

圖 1給出了結(jié)構(gòu)與土相互作用體系三維分析模型．地上部分為3層框架結(jié)構(gòu)體系，平面尺寸10,m×10,m，層高 5,m，樓層質(zhì)量 3×105,kg，樓層抗側(cè)剛度1.5×107,N/m．筏形基礎(chǔ)位于場地表面幾何中心，幾何尺寸與樓板相同，為簡化分析條件，假定基礎(chǔ)板為剛性．地基總體尺寸 40,m×40,m×20,m(長×寬×深)，土體基本物理參數(shù)描述如下：土體密度1,800,kg/m3，彈性模量 162.0,MPa，泊松比 0.3，阻尼比 0.17；地基土采有限元模型模擬，單元網(wǎng)格尺寸為2.5,m×2.5,m×2.5,m，劃分網(wǎng)格后地基模型單元總數(shù)為2,049個；地震作用假定沿x軸方向單向輸入.

根據(jù)分支模態(tài)法基本原理[10]，現(xiàn)將相互作用體系劃分為兩部分子結(jié)構(gòu)：地基分支(彈性地基上的剛性結(jié)構(gòu)，以腳標d表示)和結(jié)構(gòu)分支(剛性地基上的彈性結(jié)構(gòu)，以腳標s表示)．

對各分支求解特征值問題，形成模態(tài)變換矩陣βi，并按式(1)對剛度 Ki、質(zhì)量 Mi、阻尼 Ci和附加力fi矩陣進行模態(tài)坐標變換(以結(jié)構(gòu)分支為例)，即

相互作用體系幾何坐標自由度δi與模態(tài)坐標自由度 qi(i =d,s)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

整理得到經(jīng)模態(tài)變換后的體系動力方程

式中R為上部結(jié)構(gòu)剛體模態(tài)矩陣，描述了結(jié)構(gòu)分支與地基分支間的位移協(xié)調(diào)關(guān)系，可由基點法求得．

2 Ritz向量的求解與應用

當求解βi時需要從全體特征值計算結(jié)果中提取與分析問題相關(guān)的主振型(或主模態(tài))．對于結(jié)構(gòu)分支，一般認為結(jié)構(gòu)前 10～20階振型包含了主要的振動能量，截取這部分振型參與計算即可滿足其分析要求[8]．對于地基分支，試算結(jié)果表明地基主模態(tài)往往是分散地分布于全部地基振型中，主模態(tài)截取范圍難以確定，因此，采用 Ritz向量法求解地基主模態(tài)問題，以Ritz向量作為傳統(tǒng)模態(tài)向量的替代．第1個初始Ritz向量α1可由式(4)求解得到．

式中df為地基分支外荷載分布向量．對于單向水平地震作用(x軸方向)，有

式中xm為質(zhì)量列陣，節(jié)點質(zhì)量僅分布在與外激勵方向?qū)淖杂啥壬希畬τ诙嗑S地震動情況，外荷載項形式 (以x向和z向組合振動情況為例)為

對α1關(guān)于質(zhì)量矩陣規(guī)一化，即

循環(huán)求解其他Ritz向量iα(i＝2，3，…，m)，方程組表達式為

對各向量作正交化處理，即

類似地，作關(guān)于質(zhì)量矩陣的歸一化處理，即

依式(11)求解與剛度矩陣正交的最終 Ritz向量βd，以其作為地基分支模態(tài)變換矩陣．

可以看出，Ritz向量計算過程由外荷載向量出發(fā)，考察了荷載的空間分布特性，可濾除df不能激發(fā)的地基振型．

3 算例分析與比較

3.1 地基自振特性分析

分別采用Ritz向量法和子空間迭代法求解地基子結(jié)構(gòu)自振特性，分析模型自振頻率分布如圖2所示，前10階Ritz向量自振頻率和振型圖如圖3所示(括號中依次為Ritz向量階數(shù)和對應模態(tài)向量階數(shù))．可以看出，各階Ritz向量對x方向振動參與程度較高，以x方向平動和繞y軸擺動為主要振動形式，與外激勵方向正交的振型未出現(xiàn)在結(jié)果中，計算效率較高．與之相比，模態(tài)向量自振頻率分布連續(xù)而密集，頻率增長速率低于Ritz向量結(jié)果；前10階向量中包含有部分主振方向振型(x方向)，后續(xù)地基主模態(tài)對應的向量階數(shù)逐步拉大；由于計算結(jié)果中存在大量與荷載方向正交的振型，對結(jié)構(gòu)振動實際貢獻很小，給模態(tài)截取范圍的選取帶來困難，計算規(guī)模較難控制．

圖2 Ritz向量與模態(tài)向量自振頻率分布Fig.2 Distribution of natural frequencies of Ritz vectors and mode vectors

圖3 前10階Ritz向量振型頻率及振型Fig.3 Natural frequencies and mode shapes of the first 10 Ritz vectors

3.2 Ritz向量的截取

式中：iη表征了各階Ritz向量的振動參與程度，定義為振型參與系數(shù)；當Δε＜(ε為極小值)時，可以認為截取的 Ritz向量數(shù)量足夠多．上述參數(shù)計算結(jié)果如圖4和圖5所示．

圖4 前10階Ritz向量振型參與系數(shù)Fig.4 Participation factors of the first 10 Ritz vectors

圖5 振型貢獻系數(shù)結(jié)果Fig.5 Results of contribution factors of Ritz vectors and mode vectors

從圖4和圖5中可以看出：振型參與系數(shù)iη隨階數(shù)的增加整體呈下降的趨勢，1階Ritz向量對x方向振動參與程度最高；前10階Ritz向量振型貢獻系數(shù)累計達到 98%以上；同條件下，截取的模態(tài)向量數(shù)量超過50階．

3.3 上部結(jié)構(gòu)振型分析

對于上部結(jié)構(gòu)模型，由于其分析過程與地基分支相互獨立，可依據(jù)模型規(guī)模和自由度數(shù)量選擇求解方法．表 1依次給出了采用傳統(tǒng)模態(tài)向量法和 Ritz向量法求得的結(jié)構(gòu)前5階自振頻率與振型結(jié)果．

從表1中可以看出，Ritz法計算結(jié)果與振型向量基本一致，因剔除了與主震方向正交的 y向振型，振型排序略有不同．對于結(jié)構(gòu)形式較為簡單的上部結(jié)構(gòu)模型，2種方法的計算效率相接近．值得注意的是，第3.2節(jié)中計算的地基Ritz向量結(jié)果應覆蓋結(jié)構(gòu)振型對應的頻率區(qū)間，以避免頻率缺失對動力計算與相互作用分析精度的影響．

表1 上部結(jié)構(gòu)振型結(jié)果Tab.1 Mode shapes of superstructure

3.4 地基動力響應及SSI效應影響分析

本算例中場地特征周期約為 0.57,s，屬抗震規(guī)范中Ⅲ類場地條件，故選取兩條地震波形(天津波和Taft波)進行地基動力響應分析，加速度峰值按小震階段考慮，均調(diào)整為 0.05g．提取剛性基礎(chǔ)中心點位移反應結(jié)果，對比采用不同地基向量條件下的分析精度．2組地震記錄時程曲線與傅氏譜曲線如圖 6所示．

圖6 地震輸入時程曲線和傅氏譜曲線Fig.6 Time-history curve and Fourier spectrum of earthquake input

文獻[5]曾指出應用 Ritz向量法進行結(jié)構(gòu)動力計算應考察外部荷載的頻譜特性．從以上傅氏譜曲線可以看出，兩組地震激勵的頻率成分主要集中在10,Hz以下．對比自振特性分析結(jié)果，前 10階 Ritz向量(1.75～16.11,Hz)處于地震波激發(fā)作用最為強烈的頻率范圍，基本可以覆蓋上述頻率區(qū)間．

以基礎(chǔ)中心反應為例，圖7給出了3種向量組合條件下大振幅階段位移時程結(jié)果．從圖中可以看出：相同振型數(shù)量時(前10階)，模態(tài)向量曲線與Ritz向量結(jié)果有明顯的差別，位移峰值相差在 15%～20%，且相位不完全對應；試算結(jié)果表明，當模態(tài)向量截取范圍放大至前者的7倍時，分析精度可以滿足分析要求，曲線規(guī)律基本一致．

圖7 基礎(chǔ)x方向位移反應時程曲線Fig.7 Time-history curve of displacement of foundation along x-axis

就結(jié)構(gòu)與土相互作用問題研究而言，主要關(guān)心的分析結(jié)果有2部分：一是SSI效應作用下上部結(jié)構(gòu)的位移反應與應變幅度；二是基礎(chǔ)底面的動土壓力水平．通過模態(tài)綜合將上下部分支自由度相對接，模擬相互作用過程．以結(jié)構(gòu)振動位移最大時刻為特征點，表2給出了輸入峰值為0.05g的天津波時上部結(jié)構(gòu)各層柱頂應變隨樓層的分布，同時列舉了剛性地基結(jié)果作為對照．

表2 上部結(jié)構(gòu)應變隨樓層分布結(jié)果Tab.2 Distribution results of strain response of superstructure versus height

從表2中可以看出，考慮SSI效應的上部結(jié)構(gòu)應變幅度均低于剛性地基結(jié)果，且隨樓層降低而呈現(xiàn)逐步增大的趨勢．表 3列舉了同一時刻基礎(chǔ)中心與激振方向基礎(chǔ)邊緣基底應力結(jié)果．

表3 基礎(chǔ)底面動土壓力Tab.3 Dynamic soil pressure on the bottom of foundationkPa

由表 3可以看出，基礎(chǔ)邊緣應力水平高于中心，反映了地基變形對基礎(chǔ)底邊應力分布的影響；基礎(chǔ)搖擺位移對上部結(jié)構(gòu)總振動反應有貢獻，結(jié)構(gòu)內(nèi)部各層應變反應水平隨之降低，Ritz法計算結(jié)果規(guī)律與傳統(tǒng)模態(tài)向量結(jié)果相一致．

上述計算結(jié)果均表明，Ritz向量法以較低的計算規(guī)模獲得了與傳統(tǒng)模態(tài)向量法相近的分析精度，當求解低階振型時計算效率可明顯提高．有研究表明，在某些動力問題分析中高階振型對結(jié)構(gòu)動力反應的貢獻同樣不容忽視[5]．從本文的算例分析可以看出，由于地基土的特殊性，阻尼比指標遠大于一般上部結(jié)構(gòu)(上部結(jié)構(gòu)為 0.05～0.07，地基土為 0.10～0.20)，地基土的材料阻尼和輻射阻尼特性對高頻振動成份有明顯的過濾作用，這些因素使得 Ritz向量法應用于地基土的主模態(tài)分析十分有效．

應當指出的是，本文的算例分析模型較為簡化，實際問題中模擬的地基自由度往往會達到數(shù)萬個，兩類向量求解方法截取的振型數(shù)量相差將進一步加大．

4 結(jié) 語

在結(jié)構(gòu)與土相互作用問題研究中，根據(jù)地基土主模態(tài)分散分布的特點，采用 Ritz向量替代傳統(tǒng)模態(tài)向量．算例分析結(jié)果表明：當所取Ritz向量階數(shù)覆蓋一般地震激勵頻譜成份分布集中的頻率區(qū)間時，Ritz向量法自振特性計算效率較傳統(tǒng)模態(tài)向量有明顯提高，同等動力反應分析精度條件下截取的模態(tài)數(shù)量僅為后者的 1/7，大大降低了地基子結(jié)構(gòu)的計算規(guī)模；由于一般地基土阻尼較上部結(jié)構(gòu)大得多，高階振動成份會被濾掉，對計算不產(chǎn)生什么影響，因而 Ritz向量法應用于地基土的主模態(tài)分析與地震反應分析十分有效．

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