賀暢達，齊佩金，王志強

(東北財經(jīng)大學(xué) a.應(yīng)用金融研究中心;b.金融學(xué)院，遼寧 大連 116025)

一、引 言

傳統(tǒng)的利率期限結(jié)構(gòu)估計主要從兩個方面進行:一方面是依據(jù)經(jīng)濟理論推導(dǎo)得出，包括均衡模型(或稱為仿射模型)和無套利模型;另一方面是利用統(tǒng)計方法對利率曲線進行擬合，再通過參數(shù)的變化過程來預(yù)測未來的利率期限結(jié)構(gòu)。均衡模型以不同到期期限的利率基于短期瞬時利率為條件，假設(shè)風(fēng)險溢價服從某種形式隨機過程(一般采用仿射函數(shù)形式)，求解債券價格滿足的隨機微分方程的參數(shù)，得到利率期限結(jié)構(gòu)模型。主要包括Merton模型［1］、Vasicek模型［2］和一般均衡 CIR 模型［3］等。Duffie等(1996)［4］則證明了上述均衡模型都屬于一類仿射模型。無套利模型假設(shè)不同到期期限的利率之間不存在套利機會，通過風(fēng)險中性求解債券價格校準利率期限結(jié)構(gòu)模型。HJM模型［5］是無套利模型的一般框架。均衡模型可以用來為債券及其衍生物進行定價，屬于傳統(tǒng)的動態(tài)模型，但是Duffee(2002)［6］的研究認為仿射模型的樣本外預(yù)測能力甚至不如隨機游走過程對利率期限結(jié)構(gòu)動態(tài)的預(yù)測。無套利模型則更關(guān)注利率期限結(jié)構(gòu)的橫截面的擬合，而非縱列的時間序列對利率的預(yù)測。

統(tǒng)計模型包括靜態(tài)模型和混合動態(tài)模型。靜態(tài)估計主要是構(gòu)建貼現(xiàn)函數(shù)，而后通過貼現(xiàn)率與即期利率關(guān)系擬合利率期限結(jié)構(gòu)。McCulloch(1971)［7］、Vasicek等(1982)［8］分別利用多項式樣條法和指數(shù)樣條法來估計利率期限結(jié)構(gòu)。Nelson等(1987)［9］構(gòu)建三因子的簡約模型，NS模型對利率曲線的擬合能力強，因而在實務(wù)中得到了廣泛的應(yīng)用。Svensson(1994)［10］推導(dǎo)出四因子的NS模型的擴展形式，提高了NS模型的擬合精度。然而，這些靜態(tài)模型只能擬合某一時點的利率曲線，不能描述利率曲線的動態(tài)變化，也不能對未來進行預(yù)測。Diebold等(2006)［11］結(jié)合靜態(tài)的NS模型，利用NS模型三因子的動態(tài)變化規(guī)律來動態(tài)估計和預(yù)測利率期限結(jié)構(gòu)，因此被稱為動態(tài)Nelson-Siegel模型(DNS)或DL模型，屬于混合動態(tài)模型。隨后學(xué)者利用DNS模型對不同國家的利率期限結(jié)構(gòu)進行估計和預(yù)測，發(fā)現(xiàn)模型的預(yù)測能力遠超過傳統(tǒng)的動態(tài)模型，但是DNS模型仍然屬于在統(tǒng)計意義上的建模，缺乏經(jīng)濟理論的支持。

考慮到均衡模型和無套利模型缺乏對利率期限結(jié)構(gòu)的預(yù)測能力，而統(tǒng)計模型又缺乏經(jīng)濟理論基礎(chǔ)，Christensen 等(2009，2011)［12－13］將屬于統(tǒng)計模型的NS模型與具有經(jīng)濟理論基礎(chǔ)的無套利和仿射模型相結(jié)合，提出了無套利NS模型，包括無套利DNS模型(簡稱AFDNS模型)和廣義無套利NS模型(簡稱AFGNS模型)。這類模型假設(shè)短期瞬時利率服從仿射形式，利用無套利約束推導(dǎo)出來具有NS因子形式的模型。經(jīng)驗結(jié)果顯示，AFDNS模型的樣本內(nèi)估計與樣本外預(yù)測能力都較強，AFGNS模型對樣本內(nèi)利率期限結(jié)構(gòu)的動態(tài)擬合度高。

近幾年，國內(nèi)學(xué)者也采用多種方法來估計以及預(yù)測中國的利率期限結(jié)構(gòu)。姚長輝等(1998)［14］用回歸插補法和三次樣條插值法構(gòu)造國債到期收益率曲線。朱世武等(2003)［15］運用 Nelson-Siegel模型和Nelson-Siegel-Svensson模型對我國利率期限結(jié)構(gòu)進行估計，他們認為Nelson-Siegel-Svensson模型的近端擬合效果好，但遠端擬合不夠靈活。范龍振等(2005)［16］利用卡爾曼濾波法，以及仿射模型和廣義高斯仿射模型對上交所利率期限結(jié)構(gòu)進行估計和預(yù)測，實證研究結(jié)果表明，廣義高斯仿射模型的樣本內(nèi)估計與樣本外預(yù)測效果更好。宋福鐵等(2006)［17］利用CIR模型，采用卡爾曼濾波法估計和預(yù)測上交所的國債期限結(jié)構(gòu)。葉振軍等(2009)［18］構(gòu)建時變參數(shù)的NS模型，利用主微分方法對滬市國債利率期限結(jié)構(gòu)進行估計和預(yù)測等分析。康書隆等(2010)［19］以及康書隆(2010)［20］利用面板數(shù)據(jù)兩步法對DNS模型進行估計，并且與樣條法的擬合精度進行對比，發(fā)現(xiàn)DNS模型具有較大優(yōu)勢。余文龍等(2010)［21］利用銀行間國債數(shù)據(jù)，考察卡爾曼濾波法對DNS模型的樣本內(nèi)估計能力，并比較DNS模型與隨機游走、主成分預(yù)測等方法對利率期限結(jié)構(gòu)的預(yù)測能力，研究發(fā)現(xiàn)DNS模型的樣本內(nèi)估計和樣本外預(yù)測能力都較強。

但是，到目前還沒有學(xué)者利用AFGNS模型對中國利率期限結(jié)構(gòu)進行估計，不知道與傳統(tǒng)動態(tài)模型相比該模型的解釋能力和預(yù)測能力是否具有優(yōu)勢。有鑒于此，本文利用AFGNS模型對我國的國債利率期限結(jié)構(gòu)進行估計，與其他學(xué)者利用傳統(tǒng)模型對利率期限結(jié)構(gòu)的估計結(jié)果進行比較，考察該模型對我國利率期限結(jié)構(gòu)動態(tài)變化的樣本內(nèi)解釋能力和樣本外預(yù)測能力。

二、模型構(gòu)建

Christensen等(2009)［12］的研究證明在無套利約束下，在風(fēng)險中性Q-測度下，從仿射形式短期瞬時利率，可以推導(dǎo)出具有NS模型的五因子擴展形式的AFGNS模型。對美國國債利率期限結(jié)構(gòu)的動態(tài)估計經(jīng)驗結(jié)果表明:AFGNS模型對樣本內(nèi)的動態(tài)估計能力強于DNS等模型，說明AFGNS模型能夠較好地刻畫利率期限結(jié)構(gòu)動態(tài)變化特征，但是他們的研究并沒有對AFGNS模型的樣本外預(yù)測能力進行檢驗。本文采用AFGNS來估計和預(yù)測我國國債的利率期限結(jié)構(gòu)。AFGNS模型可以表示為信號方程

(1)式和狀態(tài)方程(2)式組成的狀態(tài)空間形式:

式中，yt(τ)表示t時刻到期期限為τ的零息債券利率，五個因子的狀態(tài)變量分別表示水平、兩個斜率和兩個曲度因子。在風(fēng)險中性Q-測度下五因子的動態(tài)變化過程服從式(2)，－Π(τ)/τ是模型的無套利調(diào)整項，λ1和 λ2分別代表不同的指數(shù)衰減率。五因子模型可以擬合出駝峰、雙峰等有兩極值點的曲線，這都是三因子模型所不能的。因此，這個模型會大大增加利率曲線擬合時的靈活性，更接近實際利率曲線的形態(tài)，而且這種形式在理論的推導(dǎo)及證明時易于引入無套利條件。

三、實證分析

1.數(shù)據(jù)

本文選用2002年1月至2012年6月銀行間債券市場的國債交易月度數(shù)據(jù)(剔除異常價格的債券)作為本文的樣本數(shù)據(jù)，所有數(shù)據(jù)都來自Wind資訊和中債信息網(wǎng)。首先，用Fama-Bliss方法［22］從國債價格中剝離得到離散的即期利率作為模型估計的先驗數(shù)據(jù)［19］，得到 Fama-Bliss樣本數(shù)據(jù)后，再將數(shù)據(jù)分為兩部分:第一個子樣本從2002年1月至2009年12月，用來估計參數(shù)做樣本內(nèi)擬合;第二個子樣本區(qū)間為2010年1月至2012年6月，作為利用第一個子樣本得到的參數(shù)進行模型的樣本外預(yù)測的基準數(shù)據(jù)。

2.模型參數(shù)估計與樣本內(nèi)誤差

利用Kalman濾波法對表示成狀態(tài)空間形式的AFGNS模型進行參數(shù)估計，得到模型參數(shù)估計值(見表1)。AFGNS模型有兩對斜率與曲率因子，也有對應(yīng)的兩個指數(shù)衰減率λ1和λ2，估計值分別是1.8796和0.2343，分別對應(yīng)曲率極值出現(xiàn)的位置0.9年和 7.9 年。

表1 AFGNS模型參數(shù)估計結(jié)果

利用估計AFGNS模型得到的參數(shù)進行Kalman平滑，確定狀態(tài)因子的動態(tài)過程，用來考察AFGNS模型對到期期限從1年到10年的利率期限結(jié)構(gòu)樣本內(nèi)擬合能力。利用平均誤差、平均絕對誤差MAE、均方根誤差RMSE等三個指標(biāo)判斷模型的擬合優(yōu)度。表2為AFGNS模型樣本內(nèi)擬合度判別的誤差統(tǒng)計。

表2 AFGNS模型樣本內(nèi)擬合度判別的誤差統(tǒng)計 BP

表2中數(shù)據(jù)顯示，AFGNS模型樣本內(nèi)擬合的平均誤差均不到1 BP，平均絕對誤差也都小于26 BP，均方根誤差都在40 BP以內(nèi)?？禃〉?2010)［19－20］的研究顯示，三次樣條法的平均誤差都在20 BP以上，非線性方法估計NS的平均誤差基本大于100 BP，利用面板數(shù)據(jù)兩步法估計動態(tài)NS模型的平均誤差除了短期外都在10 BP以下。通過比較可以看出，統(tǒng)計模型和DNS模型的擬合優(yōu)度較三次樣條的擬合優(yōu)度高，但都低于本文采用的AFGNS模型。另外，范龍振等(2005)［16］采用的仿射模型(均衡模型)及其擴展形式對樣本內(nèi)擬合的平均誤差多在20 BP左右;宋福鐵等(2006)［17］采用Kalman濾波估計多因素(從1因素到5因素)的CIR模型，所有模型在不同期限的均方根誤差RMSE均在50 BP以上，這都表明AFGNS模型較傳統(tǒng)的理論模型的樣本內(nèi)擬合也具有優(yōu)勢。

3.利率期限結(jié)構(gòu)預(yù)測

利用第一個子樣本的數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計，再利用Kalman預(yù)測法對AFGNS模型進行樣本外預(yù)測，以第二個子樣本的數(shù)據(jù)作為樣本外預(yù)測的參照數(shù)據(jù)，判斷模型的預(yù)測能力。由于數(shù)據(jù)為月數(shù)據(jù)，因此選取向前1，6，12步的預(yù)測，即是對未來1個月、6個月和12個月的到期期限為1到10年的利率期限結(jié)構(gòu)的預(yù)測。通過預(yù)測的平均絕對誤差FMAE和預(yù)測的均方根誤差FRMSE等指標(biāo)來評價AFGNS模型的樣本外預(yù)測能力。

表3列出利用AFGNS模型進行樣本外數(shù)據(jù)預(yù)測的誤差指標(biāo)。

表3 AFGNS模型樣本外預(yù)測的誤差統(tǒng)計 BP

通過與其他研究中對利率期限結(jié)構(gòu)的預(yù)測來判斷模型的預(yù)測效力。國內(nèi)學(xué)者利用傳統(tǒng)模型對未來我國的國債利率期限結(jié)構(gòu)進行預(yù)測的研究較少，因為傳統(tǒng)的仿射模型的預(yù)測能力較差，如 Duffee(2002)［6］的研究證實均衡模型的預(yù)測能力甚至弱于隨機游走模型，而且靜態(tài)模型和無套利模型又不具備時間序列上的預(yù)測能力。因此，近年來利用DNS模型對利率期限結(jié)構(gòu)進行預(yù)測成為利率預(yù)測的主要方法。余文龍等(2010)［21］比較了隨機游走模型(比照隨機游走模型的預(yù)測能力就可以判斷相應(yīng)的模型與仿射模型的預(yù)測能力)、斜率預(yù)測、遠期利率預(yù)測和主成分預(yù)測方法與DNS模型的樣本外預(yù)測能力，經(jīng)驗研究結(jié)果表明DNS模型短期預(yù)測效果與其他模型差別不大，但DNS模型表現(xiàn)出較強的長期預(yù)測能力。其中，對于1個月的預(yù)測，各模型的均方根誤差均在20 BP到30 BP之間，各模型的預(yù)測能力相當(dāng)，與本文采用的AFGNS模型的預(yù)測能力基本持平;對于6個月的預(yù)測，DNS模型的均方根誤差在70 BP以上，其他模型都在80 BP以上，本文的AFGNS模型的預(yù)測誤差則都小于70 BP;對未來12個月的預(yù)測中，DNS的預(yù)測均方根誤差位于80 BP到110 BP之間，其他模型都在100 BP以上，而本文的AFGNS模型的預(yù)測均方根誤差基本位于70 BP到100 BP之間。類似地，利用預(yù)測的平均絕對誤差FMAE的比較也可以得到AFGNS模型在較長期預(yù)測方面優(yōu)于其他傳統(tǒng)模型。

綜上，可以看出AFGNS模型的預(yù)測能力在短期的優(yōu)勢不明顯，但對于多步較長期預(yù)測的能力較強，優(yōu)于傳統(tǒng)模型以及DNS模型。

四、結(jié) 論

本文利用結(jié)合無套利理論基礎(chǔ)與NS模型數(shù)據(jù)擬合優(yōu)勢的AFGNS模型，對我國銀行間債券市場的國債利率期限結(jié)構(gòu)進行動態(tài)估計和預(yù)測。對比康書隆等(2010)［19－20］、范龍振等(2005)［16］以及宋福鐵等(2006)［17］利用靜態(tài)模型(三次樣條法)、傳統(tǒng)動態(tài)模型(多因子CIR仿射模型)和混合動態(tài)模型(DNS模型)對我國的國債利率期限結(jié)構(gòu)曲線的擬合能力和樣本內(nèi)動態(tài)估計能力，AFGNS模型由于加入兩對斜率與曲率因子，可以描述利率曲線變化的多峰形態(tài)，因此可以更好地擬合利率期限結(jié)構(gòu)。還利用AFGNS模型進行樣本外預(yù)測，并與余文龍等(2010)［21］得出的隨機游走模型、斜率預(yù)測和 DNS模型等方法的樣本外預(yù)測能力進行對比，結(jié)果發(fā)現(xiàn)AFGNS模型的短期預(yù)測能力與其他模型相近，但對于長期預(yù)測，AFGNS模型則顯示出較大的優(yōu)勢。這一方面是由于五因子的加入使得模型可以對利率曲線進行更精確的擬合，另一方面無套利約束的加入也提高了模型的預(yù)測能力。因此，通過實證研究以及與其他模型的比較，本文所采用的廣義無套利NS模型的動態(tài)估計效率優(yōu)于傳統(tǒng)模型以及被廣泛使用的DNS模型，可以為進一步的微觀金融及宏觀金融的研究提供基礎(chǔ)參考模型。

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