杜 娟， 閆獻國， 田錫天

（1. 太原科技大學(xué)機電工程學(xué)院，山西 太原 030024；2. 西北工業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，陜西 西安 710072）

局部干涉處理作為復(fù)雜曲面三軸和五軸數(shù)控加工中的關(guān)鍵問題之一，長期以來，得到了廣泛深入的研究。目前，已經(jīng)提出了很多有關(guān)的局部干涉判斷和處理方法。其中最常見的方法之一是距離法，即通過計算加工表面與刀具表面的距離，來判斷是否有干涉發(fā)生[1-5]，在計算兩者之間距離時，提出了通過計算三角片面與刀具表面的距離來代替工件表面與刀具表面之間距離的方法，這種方法需要事先將加工表面離散成三角片面。該方法不但處理和計算較復(fù)雜，而且在這些文獻中，大都主要側(cè)重于干涉檢測和處理技術(shù)的研究，而對三角片面的離散，尤其是檢測區(qū)域和檢測點的自動生成卻沒有進行深入研究，僅僅給出了檢測區(qū)域和檢測點的一個定性描述。Ahmet[5]提出了基于參數(shù)區(qū)域的檢測區(qū)域和檢測點的確定方法，并通過計算切觸點與檢測點連線的最大傾角來判斷是否有干涉發(fā)生，這種方法雖然技術(shù)上可行，但計算量過大。Jensen and Anderson[6]提出了通過多項式來判斷刀具表面與加工表面的下偏差等距面之間是否相交，假如相交，則說明有干涉產(chǎn)生。局部干涉處理的另一類主要方法是微分幾何法，即通過刀具和被加工零件切觸點處的曲率分析來對刀具的局部干涉進行檢查和修正。Stanislav S[7]、Cha-Soo[8]和 Rao A[9]等人研究了垂直于刀具進給方向的法截面內(nèi)刀具同加工曲面的幾何嚙合狀態(tài)，通過檢測刀具和切觸點處的曲面曲率是否匹配來進行局部干涉的判斷，并通過調(diào)整刀具尺寸或刀具姿態(tài)來消除干涉現(xiàn)象；文獻[10][11]提出了密切曲率法，即根據(jù)在密切面內(nèi)刀具與曲面曲率的吻合狀態(tài)來進行局部干涉的檢測和處理；Lee[12]和Than Lin[13]等人則在切觸點處平行于刀具進給方向和垂直于進給方向的兩個法截面內(nèi)，分別將刀具的有效切削曲率和曲面的有效曲率半徑進行比較，從而進行局部干涉的判斷和處理。由于目前基于微分幾何法的局部干涉判斷和處理方法大都只限于在進給方向和垂直于進給方向的法截面內(nèi)進行曲率比較，而沒有考慮到刀具和曲面在各個方向上的曲率變化，同時也沒有考慮到切觸點處鄰近區(qū)域的干涉問題。因此，基于法截面的二維分析方法實際上無法真實描述刀具與被加工曲面之間的相對運動[14]。

環(huán)形刀由于其具有良好的切削性能，且不易磨損等優(yōu)點，因此被廣泛應(yīng)用在復(fù)雜曲面的五軸數(shù)控加工中。與平底刀不同，環(huán)形刀的切削部位是圓環(huán)面，因此，在切觸點處的切平面上，沿著各個切線方向刀具都有可能和被加工曲面發(fā)生過切。為此，本文提出了一種基于全曲率匹配的局部干涉檢測方法，該方法將用于切觸點處由于刀具曲率和被加工曲面曲率不匹配的而引起的局部干涉問題。此外除了考察切觸點處的過切干涉外，還對切觸點鄰近區(qū)域的過切問題（通常也稱為后跟過切）進行了研究，提出了一種基于方形點陣的檢測區(qū)域及檢測點的自動生成方法，詳細內(nèi)容見下文所述。

1 五軸數(shù)控加工模型及局部干涉

圖1 曲面五軸加工模型及各坐標(biāo)系

2 局部干涉的判斷和處理

本文中，局部干涉的判斷和處理主要分兩步進行，首先對切觸點處的局部干涉進行判斷和處理，采用全曲率匹配原則確定該點處無干涉加工時的初始傾角λ1，然后再考察其鄰近區(qū)域內(nèi)的局部干涉問題，并由此確定最終的無局部干涉的刀具傾角λ2。

2.1 基于全曲率匹配的（切觸點處）干涉判斷和處理

為了實現(xiàn)在切觸點處刀具曲面與被加工曲面在各個切向方向上的曲率匹配，首先需要確定其各自的主曲率，其計算方法如下所示。

2.1.1 加工曲面及刀具切削曲面的主曲率計算

根據(jù)微分幾何知識，對于復(fù)雜曲面上非臍點的任意點P處其主曲率（最大法曲率及最小主曲率）可由下列方程得出[15]

上式中，E、F、G分別為曲面的第1類基本量，L、M、N為曲面的第2類基本量，其計算公式如下

在公式（2）中，n為曲面的單位法矢量，下角標(biāo)符號表示曲面r(u,v)對該符號的偏導(dǎo)數(shù)。當(dāng)給定曲面上一個確定的點時，其對應(yīng)的第1類基本量E、F、G和第2類基本量L、M、N便可由上式求出，將其帶入方程（1）中，便可求得該方程兩個不同的實根，其分別為該點處的最大法曲率Kmax和最小法曲率Kmin。

由于環(huán)形銑刀是一個典型的回轉(zhuǎn)曲面，根據(jù)微分幾何理論可知其最大主方向和最小主方向分別為刀具曲面經(jīng)線（子午線）和緯線的切線方向[15]，由 Meusnier定理及其主方向便可求出當(dāng)?shù)毒邇A角為λ時環(huán)形銑刀圓環(huán)曲面的最大法曲率和最小法曲率為

2.1.2 刀具半徑的選擇

當(dāng)在切觸點CC處的任意方向上，刀具曲面的法曲率小于被加工曲面的法曲率時，就會產(chǎn)生局部干涉（過切）現(xiàn)象，因此，為了保證在切觸點處沿任意方向上不發(fā)生過切現(xiàn)象，可以通過使刀具曲面的最小法曲率大于或等于切觸點處被加工曲面的最大法曲率來避免干涉的產(chǎn)生。在每一個切觸點處，被加工曲面的最大法曲率Kmax是確定值，而刀具曲面的最小法曲率kmin由公式（3）可知，其不但取決于刀具傾角λ，而且還與刀具半徑R1和R2有關(guān)，因此在加工之前首先應(yīng)選擇合理的刀具半徑。

在選擇刀具半徑之前，首先要對被加工曲面的形狀進行判別，即判斷是凸面還是凹面。曲面的凸凹可根據(jù)該點處的兩個主曲率Kmax和Kmin符號來進行判斷，這里規(guī)定曲面法矢向量n的正方向為Z軸的正方向，則當(dāng)Kmax＜0且Kmin＜0時，說明是凸橢圓點，在本文中規(guī)定，當(dāng)兩個主曲率的符號都為負值時，認為曲面為凸面，其余都統(tǒng)稱為凹面。當(dāng)加工曲面為凸面時，不存在局部干涉問題，而當(dāng)曲面為凹面時，則有可能發(fā)生局部干涉，因此，刀具半徑的選擇主要根據(jù)被加工曲面凹面最小法曲率半徑來確定，即在被加工曲面凹面上對應(yīng)最大法曲率的切觸點處，使得刀具最小法曲率大于等于凹面的最大法曲率。由公式（3）可知，隨著刀具傾角λ的增大，刀具最小法曲率也跟著增大，但在實際加工中，盡可能取較小的刀具傾角，因為其值越小，加工帶越寬，加工效率越高[16]。但是，若傾角取得過小，由公式（3）可知刀具最小法曲率也變得很小，這樣在切觸點處很容易發(fā)生過切，因此，應(yīng)當(dāng)根據(jù)表面形狀選擇一個合適的傾角來選擇刀具。假設(shè)選擇傾角為λ0，則刀具的半徑值R1和R2可由下列公式得出

上式中KΣmax為加工曲面凹面上最大的法曲率。由于方程（4）中有兩個未知數(shù)R1和R2，為了求解R1和R2的值，本文采用迭代的方法來尋求適合解，刀具半徑的選擇過程見圖2所示。由于刀具半徑是由被加工曲面凹面的最大法曲率決定的，因此在凹面上其它切觸點處，如果該點處最大法曲率小于凹面的最大法曲率時，由公式（3）可知，其對應(yīng)的傾角λ＜0λ，即在這些切觸點處，只需要較小的刀具傾角就可實現(xiàn)無局部干涉的加工。

圖2 刀具半徑的選擇過程

2.1.3 切觸點處干涉的判斷與處理

傾角λ直接關(guān)系到零件的加工效率，而擺角ω主要是影響切削帶寬的對稱性，對加工效率影響較小，且當(dāng)ω=0o，可得到最大的切削帶寬，因此在實際加工中，一般取ω= 0o[7,13,17-19]，本文中亦設(shè)ω= 0o。在加工之前首先設(shè)置初始傾角λ=5o，如果被加工曲面是凸面，則不存在干涉問題，可取λ=5o進行加工，以獲得盡可能高的加工效率。當(dāng)被加工曲面為凹面時，則需要對干涉進行判斷和處理。在切觸點處，首先根據(jù)給定的初始傾角計算刀具的最小法曲率，并判斷其是否大于等于該點處曲面的最大法曲率，如果是，則以初始傾角進行加工，否則增大傾角，直到其等于或大于加工曲面最大法曲率為止。

當(dāng)確定出滿足切觸點處不干涉的初始傾角λ1后，還需要對切觸點鄰近區(qū)域的局部干涉進行判斷和處理。若該區(qū)域無干涉產(chǎn)生，則以初始傾角λ1進行加工，否則通過增大傾角λ值來消除鄰近區(qū)域的局部干涉，如圖3所示。

圖3 切觸點鄰近區(qū)域局部干涉及處理

2.2 切觸點鄰近區(qū)域的局部干涉判斷和處理

2.2.1 檢測區(qū)域及初始檢測點的確定

在對切觸點鄰近區(qū)域進行干涉檢查之前，首先應(yīng)建立檢測區(qū)域及確定檢測點。為了保證刀具底端在加工曲面上投影區(qū)域內(nèi)的點都位于檢測區(qū)域內(nèi)，本文提出了一種基于正方形網(wǎng)格劃分的方形點陣檢測區(qū)域和檢測點的確立方法。首先根據(jù)刀具半徑R1和R2確定出正方形邊長為2(R1+R2)，然后在刀具切觸點CC處，即圖 4中P0,0點，從該點出發(fā)沿著刀具進給方向的反方向依次計算出點P0,j(j=1,2,…,m)，即圖4中帶叉形符號的點。假設(shè)正方形劃分間隔為Δl，則m=2(R1+R2)/Δl。當(dāng)所有的P0,j點確定之后，再分別以P0，j點為基點，沿垂直于刀具進給方向，即圖4中的列向方向，分別確定出P0,j點所在列上其它所有點Pi,j(i=±1, ±2, …, ±n)的坐標(biāo)值，這里n=(R1+R2)/Δl。Δl取值越小，則檢測精度越高。

假設(shè)切觸點P0,0處對應(yīng)的徑矢為r(u0,v0)，點P0,j(j=1,2,…,m)處的徑矢為r0,j(u,v)，則其可由下列式子得出

圖4 檢測區(qū)域及檢測點

通過公式(5)和(6)計算出的點集即為圖 4中方形網(wǎng)格中的實心黑點，在本文中，這些網(wǎng)格黑點即作為初始的候選檢測點。刀具在有傾角的情況下實際投影為一個橢圓，橢圓的長徑為刀具半徑(R1+R2)，而在本文中是以長徑為半徑確立了一個圓形投影區(qū)域，如圖4種所示虛線圓，這樣就能充分保證實際橢圓形投影區(qū)域內(nèi)的點都落在了圓形投影區(qū)域內(nèi)。從圖4中可以看出，大部分網(wǎng)格黑點落在圓形區(qū)域內(nèi)，少數(shù)落在圓形區(qū)域外，由于我們只對落于圓形區(qū)域內(nèi)的點進行干涉檢驗，因此在進行干涉檢查之前，還需要從初始檢測點中選出有效檢測點。

2.2.2 有效檢測點的篩選

當(dāng)確定出初始檢測點之后，接著需要進行有效檢測點的選擇，即只對落于刀具投影區(qū)內(nèi)的黑點進行干涉檢查。為了判斷初始檢測點是否落于刀具投影區(qū)域內(nèi)，首先將方形檢測區(qū)域內(nèi)的初始檢測點轉(zhuǎn)換為刀具坐標(biāo)系中的點，然后再對其進行有效點的判斷。由曲面坐標(biāo)系向刀具坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的矩陣公式如下

上式中，TMM表示從工件坐標(biāo)系到刀具坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，TLM和LMM則分別表示從切觸點處的局部坐標(biāo)系到刀具坐標(biāo)系以及工件坐標(biāo)系到局部坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。由圖1所示的坐標(biāo)系關(guān)系，可以得出其轉(zhuǎn)換矩陣為

若在切觸點CC處，其確定的初始傾角λ=λ1，擺角ω=0，將其代入式（9）可得

當(dāng)將檢測區(qū)域內(nèi)的初始檢測點轉(zhuǎn)變?yōu)榈毒咦鴺?biāo)系中的點后，首先要判斷該點是否落在刀具的投影區(qū)域內(nèi)。假設(shè)刀具坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)值為(xt，yt，zt)，則當(dāng)點的坐標(biāo)值滿足下列式子時，說明該點位于刀具投影區(qū)域內(nèi)

在本文中，主要對投影區(qū)域內(nèi)除切觸點外其鄰近區(qū)域的點進行干涉判斷，即有效干涉檢測點既要滿足式(12)，還要滿足下列式子

將式(10)中的坐標(biāo)值分別代入上式(12)和(13)得

公式(14)即為判斷初始檢測點是否為有效檢測點的檢驗公式。為了提高檢測效率，本文只對滿足式(14)的有效檢測點進行干涉的判斷和處理。

2.2.3 干涉的檢查及處理

當(dāng)有效檢測點位于刀具底平面的下方時，則刀具與加工曲面不發(fā)生干涉，因此可以通過檢測有效點是否位于刀具底平面下方來判斷是否有干涉發(fā)生，其判斷公式如式(15)所示。若zt＞0，說明檢測點位于刀具底平面上方，即刀具與被加工曲面之間有干涉產(chǎn)生。

局部區(qū)域的干涉判斷和處理過程如下：

1） 首先依次對所有有效檢測點的zt值進行判斷，若都滿足式(15)，則說明沒有局部干涉產(chǎn)生，這時就以切觸點處產(chǎn)生的初始傾角λ1進行加工；

2） 若存在某些點，其zt＞0，則找出這些點中最大的zt，其最對應(yīng)的zt值為

3） 為了消除干涉，則應(yīng)增大傾角λ，直到使得原先擁有最大zt值的點位于刀具底平面上。假設(shè)這時對應(yīng)新的傾角為λ2，則其值可由下列方程組得出

由公式(11)和(12)可將上式方程組寫為

通過對方程組（18）求解，可得出傾角λ2

由以上分析可知，當(dāng)在切觸點處的鄰近區(qū)域發(fā)生干涉時，可將初始的傾角λ1增大為λ2。而由公式（3）可知，當(dāng)?shù)毒甙霃絉1和R2為一定值時，刀具曲面的最小法曲率隨著傾角λ的增大而增大，因此當(dāng)?shù)毒邇A角增大為λ2時，在切觸點處刀具與加工曲面依然不會發(fā)生干涉。切觸點鄰近區(qū)域干涉判斷與處理的算法流程圖見圖5所示。

圖5 切觸點鄰近區(qū)域的干涉判斷與處理算法流程

3 實例計算及分析

本文以VC++及OpenGL為開發(fā)工具，針對NURBS（Non-uniform Rational B-spline，非均勻的有理B樣條）曲面的數(shù)控加工，采用基于等參數(shù)法的刀具軌跡生成方法對上述干涉算法進行了驗證，其刀具軌跡如圖6所示。為了提高計算效率，利用NURBS曲面的二次泰勒展開式來計算曲面的第1類基本量E、F、G和第2類基本量L、M、N。以一個給定的加工誤差δ=0.01mm，對加工軌跡曲線進行點的離散，通過計算各離散點處的最大法曲率，確定出加工曲面凹面上的最大法曲率Kmax=0.063，根據(jù)該最大法曲率初步選定刀具半徑值R1=6mm，R2=5mm，然后給定一個刀具傾角λ0=30o、R2min=2mm，以及刀具半徑的變化量?R1=0.2mm和?R2=0.2mm，通過迭代求解，得出環(huán)形銑刀最終的R1=6mm，R2=3.8mm。

為了驗證以λ0=30o作為刀具半徑選取依據(jù)是否合理，本文還分別對不同的λ0值，計算出其對應(yīng)的刀具半徑值，其計算結(jié)果如表1所示。從該表中可以明顯看到，隨著λ0值的增大，刀具的半徑值也隨著增大，雖然大的刀具半徑能夠提高切削效率，但是考慮到切觸點鄰近區(qū)域的干涉，最終的刀具傾角λ值可能會更大，這樣不但會造成傾角超出機床允許的角度范圍，而且還有可能使得刀具與加工曲面發(fā)生碰撞現(xiàn)象（全局干涉）。同樣，若是λ值取得過小，則刀具尺寸也相應(yīng)減小，過小的刀具尺寸不但影響加工效率，而且也影響刀具的切削強度，因此，經(jīng)過以上綜合分析，可以看出本文選取的λ0值是比較合理的。

圖6 曲面加工刀具軌跡

表1 不同刀具傾角所對應(yīng)的刀具半徑值

4 結(jié) 論

本文針對光滑的具有C2連續(xù)的復(fù)雜曲面環(huán)形刀五軸數(shù)控加中的局部干涉問題，提出了一種基于曲率匹配及網(wǎng)格點的干涉檢測方法。采用曲率匹配法能充分保證在切觸點處沿各個方向上刀具曲面和被加工曲面不會發(fā)生過切現(xiàn)象，而采用網(wǎng)格點能夠快速建立檢測區(qū)域和檢測點，因此，與傳統(tǒng)干涉處理算法相比，本文的局部干涉處理算法具有更高的效率和可靠性。由于五軸加工相比于三軸加工具有更多地優(yōu)越性，因此，在復(fù)雜曲面加工領(lǐng)域五軸加工占有越來越重要的地位。本文針對五軸加工中有關(guān)刀具干涉問題的研究，將為實現(xiàn)我國未來高精度、高速度的數(shù)字化制造奠定了基礎(chǔ)，因此，具有很重要的現(xiàn)實和應(yīng)用意義。

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