王新慧，劉海鴻

(云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，云南昆明650092)

具有抑制作用和離散時(shí)滯的捕食系統(tǒng)的Hopf分岔分析

王新慧，劉海鴻

(云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，云南昆明650092)

研究了一類具有抑制作用和離散時(shí)滯的捕食－食餌模型，通過分析該模型在正平衡點(diǎn)的線性化方程及其相應(yīng)的特征方程，研究了正平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定性并證明了Hopf分岔的存在.通過應(yīng)用規(guī)范型理論和中心流形定理，得到了確定Hopf分岔方向和分岔周期解的穩(wěn)定性計(jì)算公式.最后，利用數(shù)值模擬驗(yàn)證了研究結(jié)果.

Lotka－Volterra捕食－食餌系統(tǒng);離散時(shí)滯;穩(wěn)定性;Hopf分岔;周期解;抑制作用

當(dāng)F(s)，G(s)取不同形式時(shí)，很多學(xué)者已經(jīng)做了廣泛的研究［3－11］，例如，F(xiàn)(s)=G(s)=δ(s)時(shí)(δ為Dirac delta函數(shù))，Chen［3］，Zhang［11］等研究指出系統(tǒng)(1)正平衡點(diǎn)的存在性暗示了它的全局穩(wěn)定性.1973年May［12］首次提出并討論了當(dāng)系統(tǒng)(1)F(s)=δ(s－τ)，G(s)=δ(s)時(shí)的帶有單個(gè)離散時(shí)滯的捕食－食餌模型:

Song和Wei［6］研究了系統(tǒng)(2)把τ作為分岔參數(shù)時(shí)τ對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)(2)的影響.F(s)=δ(s－τ)，(τ≥0)，G(s)=δ(s－η)(η≥0)時(shí)，(1)轉(zhuǎn)化為如下形式:

Faria［4］，Ruan［5］，Yan和Chu［8］，He［13］，Lu和Wang［14］分別對(duì)(3)做了不同的研究.

其中，x(t)，y(t)分別表示食餌、捕食者種群的密度;k1＞0，k2＞0為食餌的增長率和捕食動(dòng)物的死亡率，參數(shù)α1，α2，β12，β21，γ1均為正常數(shù).本文研究了時(shí)滯τ對(duì)系統(tǒng)(4)的影響.通過研究發(fā)現(xiàn)時(shí)滯能導(dǎo)致捕食－食餌系統(tǒng)產(chǎn)生震蕩.所以，由產(chǎn)生毒素而出現(xiàn)的捕食時(shí)滯會(huì)影響不同捕食模型的種群密度，從而影響季節(jié)繁殖、生長.因此對(duì)此問題的研究具有重要的意義.經(jīng)過查閱大量文獻(xiàn)還沒發(fā)現(xiàn)從此角度考慮的研究.

1 正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分岔的存在性

通過計(jì)算，當(dāng)條件H1):k1α2＞k2α1成立時(shí)，式(4)存在唯一正平衡點(diǎn)E(x*，y*)，其中，

模袋混凝土的充灌是整個(gè)施工過程中的關(guān)鍵工序，要做到混凝土攪拌、運(yùn)送、泵送、充灌成形一條龍作業(yè)，把握好充灌速度。所需混凝土必須嚴(yán)格按配合比攪拌，保證坍落度、強(qiáng)度等指標(biāo)。充灌混凝土的順序采取自下而上逐排口逐倉充灌 (每4 m為1個(gè)灌口)，每排的充灌順序?yàn)椋河赡４罱拥囊粋?cè)開始向另一側(cè)逐口充灌，采用這樣的充灌順序?qū)嶋H上是幾條模袋輪流交替充灌。與同一次連續(xù)充滿一條模袋后再充灌下一條模袋的順序相比，這樣的順序有以下優(yōu)點(diǎn)：

其中，M=－α1x*－γ1x*y*，N=－β12x*，Q=－γ1(x*)2，a11=－(α1+γ1y*)，a12=－β12，，a13=－2γ1x*，a14=－γ1，D=α2y*，E=－β21y*，b11=－β21，b12=α2.顯然，通過變量變換，(4)的正平衡點(diǎn)E(x*，y*)轉(zhuǎn)化為(5)的平衡點(diǎn)E*(0，0).易計(jì)算系統(tǒng)(5)在平衡點(diǎn)E*(0，0)性化系統(tǒng)的特征方程為:

其中，a1=－(M+E)，a0=ME－DN，b0=－DQ.

1)當(dāng)τ=0時(shí)，(6)轉(zhuǎn)化為λ2+a1λ+a0+b0=0.通過計(jì)算，易得a1＞0，a1(a0+b0)＞0，由Routh－Hurwitz定理可知式(6)的2個(gè)根均具有負(fù)實(shí)部，因此當(dāng)τ=0時(shí)，正平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.

2)當(dāng)τ≠0時(shí)，設(shè)λ=iω(ω＞0)是式(6)的根，則－ω2+ia1ω+a0+b0(cos(ωτ)－i sin(ωτ))= 0.分離實(shí)部和虛部得－ω2+a0+b0cos(ωτ)=0，a1ω－b0sin(ωτ)=0，把上式兩端平方相加得

定理1如果系統(tǒng)(4)中系數(shù)ki，αi(i=1，2)滿足條件H1)，ai(i=0，1)，b0滿足H2)，則當(dāng)τ∈［0，τ0)時(shí)，式(4)的正平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定點(diǎn);當(dāng)τ＞τ0時(shí)，式(4)的正平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定點(diǎn);當(dāng)τ=τj(j=0，1，2，…)時(shí)，式(4)在正平衡點(diǎn)附近出現(xiàn)Hopf分岔.

2 Hopf分岔的性質(zhì)

運(yùn)用Hassard在文獻(xiàn)［19］中介紹的方法，討論式(4)正平衡點(diǎn)附近分岔周期解的穩(wěn)定性及Hopf分岔方向.在系統(tǒng)(5)中，令x－k(t)=xk(τt)，為了書寫簡(jiǎn)便，記x－k(t)為xk(t)，則系統(tǒng)(5)轉(zhuǎn)化為如下模型

定義線性算子L(μ):→R2和非線性算子f(·，μ):C→R2

其中δ表示狄拉克函數(shù)對(duì)于φ∈C1(［－1，0］，R2)，定義

則(8)等價(jià)于x.t=A(μ)xt+R(μ)xt.對(duì)于ψ∈C1(［0，1］，(R2)*)定義

詳細(xì)計(jì)算過程參看文獻(xiàn)［19］.通過上面的討論，可以得到下面結(jié)果.

定理1μ2決定了Hopf分岔的方向;如果μ2＞0(＜0)，則Hopf分岔是超臨界(亞臨界)的;β2決定了分岔的穩(wěn)定性;如果β2＞0(＜0)，分岔周期解是不穩(wěn)定(穩(wěn)定)的;T2決定了分岔周期解的周期;如果T2＞0(＜0)，周期是增加(減少)的.

3 數(shù)值模擬及分析

利用數(shù)學(xué)計(jì)算軟件Matlab和Xppant對(duì)前面的討論結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬.考慮系統(tǒng)，

經(jīng)計(jì)算E(1.046 8，0.2561 8)，ω0=0.263 88，τ0=9.455 78.由定理1可知:當(dāng)τ＜τ0時(shí)，正平衡點(diǎn)E(1.046 8，0.256 1)是局部漸近穩(wěn)定點(diǎn)，數(shù)值仿真如圖1所示;當(dāng)τ比τ0稍大時(shí)，系統(tǒng)(4)在正平衡點(diǎn)E附近產(chǎn)生Hopf分岔周期解，對(duì)應(yīng)的數(shù)值仿真如圖1所示.

由圖1(a)可見當(dāng)τ=9.2＜τ0，α=1時(shí)，系統(tǒng)(13)的數(shù)值仿真圖正平衡點(diǎn)E(1.046 8，0.256 1)是漸近穩(wěn)定的.由圖1(b)可見當(dāng)τ=9.8＞τ0，α=1時(shí)，系統(tǒng)(13)的數(shù)值仿真圖正平衡點(diǎn)E(1.046 8，0.256 1)不穩(wěn)定并且一個(gè)穩(wěn)定的周期解從E(1.046 8，0.256 1)處分岔出來.

4 結(jié)語

論文討論了式(4)正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性以及Hopf分岔的存在性，并應(yīng)用中心流形定理和規(guī)范型理論討論正平衡點(diǎn)分岔的方向以及分岔周期解的穩(wěn)定性，最后，通過數(shù)值模擬對(duì)相應(yīng)理論結(jié)果加以驗(yàn)證.

［1］VOLTERRA V.Lecons sur la th'eorie math'ematique de la lutte pour la vie［M］.Paris:Gauthier－viuars，1931.

［2］BRELOT M.Sur le probl`eme biologique h'er'editaire de deux esp`eces d'evorante et d'evor'e［J］.Ann Mate Pura Appl，1931，9:58－74.

［3］CHEN L.Mathematical models and methods in ecology［M］.Beijing:Science Press，1988.

［4］FARIA T.Stability and bifurcation for a delayed predator－prey model and the effect of diffusion［J］.J Math Anal Appl，2001，254(2):433－463.

［5］RUAN S.Absolute stability，conditional stability and bifurcation in Kolmogorov－type predator－prey systemwith discrete delays［J］.Quart Appl Math，2001，59(1):159－172.

［6］SONG Y，WEI J.Local Hopf bifurcation and global periodic solutions in a delayed predator－prey system［J］.J Math Anal Appl，2005，301(1):1－21.

［7］SONG Y，YUAN S.Bifurcation analysis in a predator－prey system with time delay［J］.Nonlinear Anal:Real World Appl，2006，7(2):265－284.

［8］YAN X P，CHU Y D.Stability and bifurcation analysis for a delayed Lotka－Volterra predator－prey system［J］.Comput Appl Math，2006，196(1):198－210.

［9］YAN X P，LI W T.Hopf bifurcation and global periodic solutions in a delayed predator－prey system［J］.Appl Math Comput，2006，177(1):427－445.

［10］YAN X P，ZHANG C H.Hopf bifurcation in a delayed Lokta－Volterra predator－prey system［J］.Nonlinear Anal，RWA 2008，9(1):114－127.

［11］ZHANG J，F(xiàn)ENG B.Geometric theory and bifurcation problems of ordinary differential equations［M］.Beijing:Beijing University Press，2000.

［12］MAY R M.Time delay versus stability in population models with two and three trophic levels［J］.Ecology，1973，54(2):315–325.

［13］HE X Z.Stability and delays in a predator－prey system［J］.J Math Anal Appl，1996，198(2):355－370.

［14］LU Z，WANG W.Global stability for two－species Lotka－Volterra systems with delay［J］.J Math Anal Appl，1997，208(1): 277－280.

［15］RICE E L.Allelopathy［M］.New York:Academic Press，1984.

［16］MAYNARD SMITH J.Models in ecology［M］.Cambridge:Cambridge University，1974.

［17］CHATTOPADHYAY J.Effects of toxic substance on a two－species competitive system［J］.Ecol Modl，1996，84(1/2/3):287－289.

［18］MUKHOPADHYAY A，CHATTOPADHYAY J，TAPASWI P K.A delay differential equation model of plankton allelopathy［J］.Mathematical Biosciences，1998，149(2):167－189.

［19］HASSARD B D，KAZARINOFF N D，WAN Y H.Theory and applications of Hopf bifurcation［M］.Cambridge:Cambridge Univ Press，1981.

［20］徐雪嬌，林怡平.一類具有時(shí)滯的Lotka－volterra系統(tǒng)的Hopf分支與混沌控制［J］.云南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，30(4):28－33.

［21］張俊麗，陳斯養(yǎng).一類具有時(shí)滯的廣義造血模型的Hopf分支［J］.云南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，30(6):34－38.

(責(zé)任編輯梁志茂)

Analysis of Hopf Bifurcation in a Predator－Prey System of Population Allelopathy with a Discrete Delay

WANG Xin-hui，LIU Hai-hong
(Department of Mathematics，Yunnan Normal University，Kunming 650092，China)

A Lotka－Volterra two－species predator－prey system of population allelopathy with a discrete delay is studied.By linearizing the system at the positive equilibrium and analyzing the associated characteristic equation，the asymptotic stability of the positive equilibrium is investigated and Hopf bifurcations are demonstrated.Furthermore，the direction of Hopf bifurcation and the stability of the bifurcating periodic solutions are determined by the normal form theory and the center manifold theorem for functional differential equations.Finally，some numerical simulations are carried out for illustrating the theoretical results.

Lotka－Volterra predator－prey system;discrete delay;stability;Hopf bifurcation;periodic solution; allelopathy

O 175.13;O 193

A

1672－8513(2012)04－0286－06

10.3969/j.issn.1672－8513.2012.04.014

2011－12－19.

云南省自然科學(xué)基金(2011FZ086).

王新慧(1984－)，女，碩士.主要研究方向:微分方程與動(dòng)力系統(tǒng).

劉海鴻(1977－)，男，博士，副教授.主要研究方向:微分方程與動(dòng)力系統(tǒng).