白玉娟

(隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅慶陽745000)

自從美國加州大學(xué)控制論專家Zadeh教授提出模糊集的概念以來，模糊數(shù)學(xué)作為一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科得到了迅速的發(fā)展.經(jīng)典凸分析理論與數(shù)學(xué)規(guī)劃等應(yīng)用模型的研究是息息相關(guān)的.然而，正象許多系統(tǒng)中含有參數(shù)的不確定性，從而模糊優(yōu)化問題已有很多討論，并促使了模糊凸分析理論的研究.關(guān)于模糊映射的凸性、擬凸性及B-凸性，文獻(xiàn)［1-3］已有討論，1994年，Noor［4］提出預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)的概念，并討論了模糊數(shù)值函數(shù)的預(yù)不變凸性.1999年，Youness［5］提出了E-凸集和E-凸函數(shù)的概念，并討論了實(shí)值函數(shù)在E-凸集上的廣義凸性問題.但對(duì)預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)的本質(zhì)研究還需進(jìn)一步深入，本文給出了半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)的定義，并討論了模糊數(shù)值函數(shù)在廣義凸集上的半E-預(yù)不變凸性.

1 預(yù)備知識(shí)

若模糊集u：R1→［0，1］是正規(guī)的，凸的，上半連續(xù)的且支撐集緊，則u稱為模糊數(shù)［6］.記F為R1上所有模糊數(shù)組成的集合.

設(shè)模糊數(shù)u，其水平截集是有界閉區(qū)間［u］α= ［u－(α)，u+(α)］，由文獻(xiàn)［6］知，u－(α)是［0，1］上非減的函數(shù);u+(α)是［0，1］上非增的函數(shù);u－(α)和u+(α)是有界的，在(0，1］上左連續(xù)，在α =0右連續(xù)且u－(1)≤u+(1).

反之，若函數(shù)u－(α)和u+(α)在［0，1］上滿足上述條件，則存在一個(gè)模糊數(shù)u∈F，使得［u］α=［u－(α)，u+(α)］(α ∈［0，1］).

記

均左連續(xù)且在α=0處右連續(xù)}.

在V中定義和與數(shù)乘運(yùn)算為［6］：

對(duì)于ui∈V^，ui={(u－i(α)，u+i(α))|α∈［0，1］}(i=1，2，…，n).稱模糊數(shù)(u1，u2，…，un)為n維模糊向量，記所有n維模糊向量的集合為V^n且定義Rn×V^n的直積為：

設(shè) u，ν ∈ V^，u={(u－(α)，u+(α)，α)|0 ≤ α ≤1}，ν ={(ν－(α)，ν+(α)，α)|0 ≤ α ≤1}.稱u ≤ ν，如果α)(u-(α)+u+(α))dα ≤α)(ν-(α)+ ν+(α))dα .

對(duì)于模糊數(shù)值函數(shù) F(x)={(F-(α，x)，F(xiàn)+(α，x)，α)|0 ≤ α ≤1}，記 TF(x)=α)［F-(α，x)+F+(α，x)］dα，其中f為［0，1］上單調(diào)不減的非負(fù)函數(shù)，滿足f(0)=1，且α)dα.f可以理解為權(quán)重函數(shù)，單調(diào)不減保證了越是接近模糊數(shù)的核的水平截集，在序關(guān)系的確定中作用越大.特別地，當(dāng)f(α)=α?xí)r，退化為文獻(xiàn)［7］中的序關(guān)系.

2 半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)

定義1 設(shè)S(?Rn)是關(guān)于η：S×S→Rn的不變凸集，若存在映射E：Rn→Rn對(duì)任意的x，y∈S及λ ∈［0，1］，有

則稱S為E-不凸集.

定義2 設(shè)F：S→F為模糊數(shù)值函數(shù)，S(?Rn)是關(guān)于η：S×S→Rn的不變凸集，若存在映射E：Rn→ Rn對(duì)任意的 x，y∈ S 及 λ ∈［0，1］，有

則稱F為半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù).

定理1 設(shè)F：S→F是E-不變凸集S上的半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)，則對(duì)任意的y∈S有TF(E(y))≤TF(y).

證明 由于F：S→F是E-不變凸集S上的半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)，則對(duì)任意的x，y∈S及λ∈［0，1］，有

令λ =0，則對(duì)任意的y∈S有TF(E(y))≤TF(y).

定理2 設(shè)F：S→F是E-不變凸集S上的模糊值數(shù)值函數(shù)，則F是半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的 x，y∈ S 及 λ ∈［0，1］和 u，ν ∈ F，當(dāng) TF(x)≤ Tu，TF(y)≤ Tν時(shí)，有

從而F是半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù).

定理3 設(shè)F：S→F是E-不變凸集S上的半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)，則對(duì)任意的u∈F，

定義3 設(shè)S?Rn× F，若存在映射 E：Rn→Rn使得對(duì)任意的(x，u)(y，ν)∈S(x，y∈Rn，u，ν∈F)及 λ ∈［0，1］，有

E × I(y，ν)+ λη［E × I(x，y)，E × I(y，ν)］ = ［E(y)+ λη(E(x)，E(y))，λu+(1- λ)ν］∈ S，則稱S為Rn×F中的E×I-不變凸集.

定理4 設(shè){Si}i∈J是Rn×F中的E×I-不變凸集，則∩i∈JSi也是Rn×F中的E×I-不變凸集.

證明 設(shè)(x，u)，(y，ν) ∈∩i∈JSi，λ ∈［0，1］，則對(duì)任意 i∈ J有

又因?yàn)槊總€(gè)Si是Rn×F中的E×I-不變凸集，即存在映射E：Rn→Rn使得對(duì)任意的(x，u)，(y，ν)∈Si及 λ ∈［0，1］，有

即∩i∈JSi是Rn×F中的E×I-不變凸集.

定理5 設(shè)S為E-不變凸集，則F為S上的半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

是Rn×F中的E×I-不變凸集.

于是由定理2有，F(xiàn)為S上的半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)S(F)是Rn×F中的E×I-不變凸集.

現(xiàn)在定義F在S上的epigraph為：

定理6 設(shè)S為E-不變凸集，則F為S上的半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)epi(F)是Rn×F中的E×F-不變凸集.

證明 設(shè)F為S上的半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)，對(duì)任意的(x，u)，(y，ν)∈epi(F)及λ∈［0，1］，有

即F是S上的半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù).

定理7 設(shè){Fi|i∈J}是一族S上的半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)，若對(duì)任意的x∈S，sup{Fi(x)|i∈J}在F中都存在，則F(x)=sup{Fi(x)|i∈J}是S上的半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù).

證明 對(duì)任意i∈J，{Fi}都是S上的半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)，從而由定理6有

也是Rn×F中的E×I-不變凸集.由定理6有，F(xiàn)是S上的半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù).

定理8 設(shè)Fi∶S→F(i=1，2，…，k)對(duì)同一個(gè)映射E∶Rn→Rn在S上都是半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)，則

也是S上的半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù).

證明 因?yàn)镕i∶S→F(i=1，2，…，k)對(duì)同一個(gè)映射E∶Rn→Rn在S上都是半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)，即對(duì)任意的x，y∈S及λ∈［0，1］有

即h是S上的半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù).

定理9 設(shè)F∶S→F為S上的半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)，則

(1)當(dāng)?∶F→F為非降凸映射時(shí)，復(fù)合函數(shù)?oF∶S→F是S上的半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù);

(2)當(dāng)?∶F→F為正齊非降次可加映射時(shí)，復(fù)合函數(shù)?oF∶S→F是S上的半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù).

證明 對(duì)任意的x，y∈S及 λ∈［0，1］，有

即?oF∶S→F是S上的半E-預(yù)不變凸模糊數(shù)值的函數(shù).

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