趙教練

(渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西渭南714000)

經(jīng)典分析中的Gamma函數(shù)是一類特殊的函數(shù)，是由L.Euler在18世紀(jì)推廣自然數(shù)的階乘時(shí)給出的，常被稱為第二類Euler積分，定義如下：

關(guān)于Gamma和q-gamma函數(shù)研究成果很多也很重要，它們?cè)诜治觥?shù)論、特殊函數(shù)論、數(shù)學(xué)物理方法等領(lǐng)域中都起著關(guān)鍵的作用［6-7］.本文在此基礎(chǔ)上，將給出q-gamma的一些新的性質(zhì).

1 主要引理

為了證明所給的結(jié)論，需要以下兩個(gè)引理：

引理1 對(duì)于給定的x＞0，有以下恒等式

證明 以上各恒等式很容易從定義中直接推出.

引理2 給定x∈［0，1］，q∈(0，1)并且0 ＜s＜1，我們有以下不等式成立

當(dāng)0 ＜q＜1，x∈［0，1］，0 ＜s＜1，我們可以得到 ψq(x+1)－ ψq(x+s) ＞0.

2 定理及其證明

定理1 給定x∈［0，1］，q∈(0，1)并且0 ＜s＜1，我們有以下恒等式成立

另一方面，由引理中第四式兩邊求導(dǎo)，比較上式可以證明所要的結(jié)論.

定理2 對(duì)于0＜q＜1，我們可以給出Gamma之商的一個(gè)不等式的q模擬，即

由上式計(jì)算的結(jié)果，根據(jù)引理1的結(jié)論，我們可以判斷g'(x)＞0，也就是得到g(x)是區(qū)間［0，1］上的單調(diào)遞增函數(shù).所以f(x)也是區(qū)間［0，1］上的單調(diào)遞增函數(shù)，那么對(duì)于f(x)就有f(0)＜f(x)＜f(1)，也就是

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