雷華陽(yáng) ，丁小冬，張萬(wàn)春

(1. 天津大學(xué) 土木工程系，天津 300072；2. 天津大學(xué) 濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

1 引 言

管樁在我國(guó)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，其在承載力、抗彎、抗拔性能方面有顯著的優(yōu)越性。然而管樁施工會(huì)引起明顯的擠土效應(yīng)，樁周土體被壓密，改變了樁周土體的位移和應(yīng)力狀態(tài)[1]，會(huì)影響建筑物、地下管線等的正常使用。

隨著工程實(shí)踐的發(fā)展，學(xué)者們對(duì)管樁擠土效應(yīng)的理論研究也越來(lái)越深入。柱形孔擴(kuò)張理論是分析沉樁對(duì)周圍土體影響的一種重要方法，Buuterfield等[2]率先將一維平面應(yīng)變下的柱形孔擴(kuò)張理論引入沉樁擠土效應(yīng)的問(wèn)題中。Vesic[3]進(jìn)行了彈塑性假定，得到了柱形孔擴(kuò)張問(wèn)題的基本解答。由于軟土的壓縮曲線存在顯著的應(yīng)變軟化階段，因而在推導(dǎo)柱形孔擴(kuò)張理論時(shí)有必要考慮軟土的結(jié)構(gòu)性損傷。蔣明鏡等[4]（1995）在考慮應(yīng)變軟化的基礎(chǔ)上提出了應(yīng)力一次跌落應(yīng)變軟化模型，得到了不同軟化程度對(duì)柱形孔擴(kuò)張時(shí)應(yīng)力場(chǎng)、位移場(chǎng)及塑性區(qū)開展規(guī)律的影響。姜珂[5]、方萬(wàn)軍[6]、孫渝剛[7]采用三折線軟化模型，推導(dǎo)了柱形孔擴(kuò)張問(wèn)題的理論解答，同時(shí)分析了不同因素的影響。

前人對(duì)于結(jié)構(gòu)性損傷的考慮集中在應(yīng)力一次跌落應(yīng)變軟化模型和三折線應(yīng)變軟化模型，本文擬在考慮軟土結(jié)構(gòu)性損傷的前提下，采用簡(jiǎn)化的四折線應(yīng)變軟化模型，通過(guò)Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則和相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，推導(dǎo)出改進(jìn)的柱形孔擴(kuò)張理論計(jì)算分析方法，并與前人的研究成果進(jìn)行對(duì)比。

2 應(yīng)變軟化四折線模型

對(duì)于柱形孔擴(kuò)張理論，考慮軟土的結(jié)構(gòu)性損傷時(shí)，依據(jù)結(jié)構(gòu)性軟土應(yīng)變軟化的典型應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線，可通過(guò)四折線模型將其分為四個(gè)階段：即彈性階段OA，此時(shí)土體的應(yīng)力小于峰值應(yīng)力，應(yīng)力-應(yīng)變基本呈線性關(guān)系；第1塑性破壞階段AB，土體的應(yīng)力達(dá)到峰值應(yīng)力后出現(xiàn)屈服臺(tái)階，應(yīng)力保持不變，應(yīng)變繼續(xù)增大；軟化階段 BD，應(yīng)變?cè)龃蟮揭欢ǔ潭群螅瑧?yīng)力開始減小，呈應(yīng)變軟化現(xiàn)象；第 2塑性破壞階段 DE，應(yīng)力減小到殘余應(yīng)力，達(dá)到完全塑性狀態(tài)，如圖1所示。與三折線模型相比，四折線模型多了一個(gè)塑性破壞階段，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系與實(shí)際的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系更為接近。

圖1 應(yīng)變軟化四折線模型的確定Fig.1 Determination of four-fold line strain softening model

應(yīng)變軟化四折線模型各直線段及其相應(yīng)參數(shù)可通過(guò)如下方法獲得：對(duì)壓縮試驗(yàn)曲線的上升段，過(guò)原點(diǎn) O作切線交峰值應(yīng)力強(qiáng)度處的水平切線于 A點(diǎn)；作曲線下降段拐點(diǎn)C的切線，交峰值強(qiáng)度處的水平切線于點(diǎn)B，交殘余強(qiáng)度處點(diǎn)E的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接上述各點(diǎn)即可得到簡(jiǎn)化四折線應(yīng)變軟化關(guān)系曲線。

假設(shè)A點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)棣?，B點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)棣?，D點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)棣?，同時(shí)令

式中：γ為軟化區(qū)初始階段應(yīng)變與第一塑性破壞區(qū)結(jié)束階段應(yīng)變的比值，δ為第二塑性破壞區(qū)初始階段與軟化區(qū)結(jié)束階段應(yīng)變的比值。

柱形孔擴(kuò)張理論中，隨著內(nèi)壓力的逐漸增大，孔外介質(zhì)分為4個(gè)區(qū)域：彈性區(qū)、第1塑性破壞區(qū)、軟化區(qū)和第2塑性破壞區(qū)，如圖2所示。

圖2 采用四折線應(yīng)變軟化模型時(shí)樁周土體的分區(qū)Fig.2 Regions around pile using four-fold line strain softening model

變軟化四折線模型的基本假定為：（1）土體為均質(zhì)、各向同性的無(wú)限介質(zhì)；（2）土體具有均布的內(nèi)壓力p0；（3）土體材料屈服服從修正后的相應(yīng)屈服準(zhǔn)則。

采用Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則，當(dāng)土體開始產(chǎn)生損傷，進(jìn)入第1塑性破壞狀態(tài)時(shí)，采用第2屈服函數(shù)：

式中：c，φ為土體的初始黏聚力和內(nèi)摩擦角。

土體進(jìn)入線性軟化階段時(shí)，采用第2屈服函數(shù)：

式中：w為軟化系數(shù)。

土體進(jìn)入第2塑性破壞階段時(shí)，采用第3屈服函數(shù)：

式中：k1、k2為損傷參數(shù)，分別為

式中：cr、φr分別為土體的殘余黏聚力和殘余內(nèi)摩擦角。

軟化階段和破壞階段采用非相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則來(lái)考慮土體的剪脹性，分別滿足如下公式：

第1塑性破壞階段：

軟化階段：

第2塑性破壞階段：

3 柱形孔擴(kuò)張問(wèn)題的理論推導(dǎo)

柱形孔擴(kuò)張問(wèn)題屬于平面應(yīng)變軸對(duì)稱問(wèn)題，可以采用極坐標(biāo)進(jìn)行解答，公式推導(dǎo)如下： 平衡微分方程為

幾何方程為

物理方程為

相容方程為：

3.1 彈性區(qū)解答

根據(jù)彈性力學(xué)知識(shí)，由式（11）～（14），結(jié)合柱形孔內(nèi)表面邊界條件 (σρ)ρ=R0= p 可得應(yīng)力和位移的表達(dá)式為

在彈性區(qū)De內(nèi)，考慮土體內(nèi)初始應(yīng)力為p0，式（15）可近似化為

由式（16）可近似得到考慮初始應(yīng)力p0的彈性區(qū)位移解為

將式（18）代入式（12）可得：

在彈性區(qū)和第1塑性破壞區(qū)的分界面處，滿足第1屈服函數(shù)，則可得到分界面處應(yīng)力和應(yīng)變分別為

3.2 第1塑性破壞區(qū)解答

在第1塑性破壞區(qū)內(nèi)，由式（3）和式（11）可得：

上式為一階線性非齊次微分方程，由邊界條件式（20）可得：

將式（23）代入式（3）可得：

第1塑性破壞區(qū)的應(yīng)變可以表示為

由式（7）、式（12）、式（21）和式（25）可得：

將式（27）代入式（12）可得到應(yīng)變解為

3.3 軟化區(qū)解答

在軟化區(qū)內(nèi)，由塑性增量本構(gòu)理論可知：

由式（8）、式（12）、式（28）和式（30）可得：

將式（32）代入式（12）得：

將式（28）、式（33）代入式（30）可得：

由式（4）、式（11）和式（34）可得：

結(jié)合第1塑性區(qū)應(yīng)力的邊界條件可得：

將式（36）代入式（4）可得：

3.4 第2塑性破壞區(qū)解答

與軟化區(qū)的推導(dǎo)過(guò)程類似，可得到第2塑性破壞區(qū)的位移、應(yīng)變和應(yīng)力的計(jì)算公式如下：

其中

4 極限擴(kuò)張半徑與極限擴(kuò)張壓力值

采用四折線模型時(shí)，柱形孔擴(kuò)張后體積應(yīng)滿足如下的關(guān)系：

式中：ΔV為擴(kuò)孔體積變化值；ΔVe為彈性區(qū)體積變化值；ΔVd1為第1塑性破壞區(qū)體積變化值；ΔVp為軟化區(qū)體積變化值；ΔVd2為第2塑性破壞區(qū)體積變化值。

則可得：

由彈塑性力學(xué)知識(shí)可知，空間問(wèn)題的體應(yīng)變?yōu)?/p>

由于柱形孔擴(kuò)張理論研究的是平面應(yīng)變問(wèn)題，則 εz=0，上式可變?yōu)?/p>

第1塑性破壞區(qū)的體積變化值為

由式（28）、（46）和式（47）可知

與第1塑性破壞區(qū)相似，可得到軟化區(qū)和第2塑性破壞區(qū)的體積變化值分別為

其中

由式（29）、式（38）和式（51）可以求得極限第1塑性破壞區(qū)半徑Rd1、軟化區(qū)半徑Rp與極限第2塑性破壞區(qū)半徑Rd2。

由于在軟化區(qū)與第2塑性破壞區(qū)分界面 ρ=Rp處的應(yīng)力連續(xù)，由式（36）和式（41）可得：

由上式可以得到土體的極限擴(kuò)張壓力值為

5 對(duì)比分析

為了與不考慮軟土結(jié)構(gòu)性損傷的理想彈塑性模型[2]、考慮軟土結(jié)構(gòu)性損傷的應(yīng)力一次跌落應(yīng)變軟化模型[4]及其三折線應(yīng)變軟化模型[8－10]進(jìn)行對(duì)比，依據(jù)天津某軟土場(chǎng)地 PHC管樁基礎(chǔ)工程進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)測(cè)斜監(jiān)測(cè)，測(cè)斜點(diǎn)距樁中心的距離為2、4、8 m，監(jiān)測(cè)的深度為 27 m，地下水位埋深為-2.8 m，對(duì)10 m深度處土體通過(guò)固結(jié)不排水三軸試驗(yàn)得到相關(guān)參數(shù)，用上述四種方法進(jìn)行塑性半徑、軟化半徑、極限擴(kuò)張壓力及理論水平位移的計(jì)算，并與實(shí)測(cè)位移進(jìn)行比較，相關(guān)土層的物理力學(xué)性質(zhì)見表 1，不同模型的參數(shù)見表2。

PHC管樁的外徑為0.5 m，假定擴(kuò)張后的孔徑為 0.6 m，通過(guò)對(duì)四種模型的柱形孔擴(kuò)張理論進(jìn)行計(jì)算[11]，可得到塑性區(qū)半徑、軟化半徑、極限擴(kuò)張壓力及2、4、8 m處的水平位移，見表3。

表1 土層物理力學(xué)參數(shù)表Table 1 Physical parameters of soil

表2 模型參數(shù)Table 2 Parameters of different models

表3 不同模型的計(jì)算結(jié)果Table 3 Results of different models

由表 1、2可知，固結(jié)不排水三軸試驗(yàn)得到的內(nèi)摩擦角和黏聚力與固結(jié)快剪的試驗(yàn)結(jié)果相比較大，10 m處土體為淤泥質(zhì)粉質(zhì)黏土，其應(yīng)力-應(yīng)變曲線為典型的應(yīng)變軟化型，具有較強(qiáng)的結(jié)構(gòu)性。由表3可知，應(yīng)力一次跌落模型的塑性半徑最大，四折線模型和三折線模型的相差不大，理想彈塑性模型的最小；理想彈塑性模型的極限擴(kuò)張壓力最大，其次是四折線模型、三折線模型、應(yīng)力一次跌落模型；四折線模型和理想彈塑性模型的位移計(jì)算值與實(shí)測(cè)值相比較小，且四折線模型的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值較接近，三折線模型和應(yīng)力一次跌落模型的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值相比較大，且三折線模型的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值較為接近，對(duì)比四折線模型和三折線模型可知，四折線模型計(jì)算的位移值與實(shí)測(cè)值更為接近。

6 結(jié) 論

（1）提出了四折線應(yīng)變軟化模型各直線段和相應(yīng)參數(shù)的確定方法。

（2）采用Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則和相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，得到了樁周不同區(qū)域土體的位移、應(yīng)力和應(yīng)變，同時(shí)得到了極限軟化區(qū)半徑、極限破壞區(qū)半徑和極限擴(kuò)張壓力的計(jì)算公式。

（3）結(jié)合工程實(shí)例，將四折線應(yīng)變軟化模型與理想彈塑性模型、應(yīng)力一次跌落應(yīng)變軟化模型和三折線應(yīng)變軟化模型的柱形孔擴(kuò)張理論進(jìn)行比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，四折線模型和理想彈塑性模型的位移計(jì)算值與實(shí)測(cè)值相比較小，三折線模型與應(yīng)力一次跌落模型的位移計(jì)算值與實(shí)測(cè)值相比較大，且四折線模型與三折線模型相比，位移值更接近于實(shí)測(cè)值。

[1]龔曉南, 李向紅. 靜力壓樁擠土效應(yīng)中的若干力學(xué)問(wèn)題[J]. 工程力學(xué), 2001, 17(4): 7－12.GONG Xiao-nan, LI Xiang-hong. Several mechanical problems in compacting effects of static piling in soft clay ground[J]. Engineering Mechanics, 2001, 17(4): 7－12.

[2]BUTTERFIELD R，BANERJEE P K. Application of electro-osmosis to soils[R]. UK: Department of Civil Engineering, Southampton Univ., 1968, 31(1): 709－715.

[3]VESIC A S. Expansion of cavities in infinite soil mass[J].J. Soil Mech. Found. Div., 1972, 98(SM3): 265－290.

[4]蔣明鏡, 沈珠江. 考慮材料應(yīng)變軟化的柱形孔擴(kuò)張問(wèn)題[J]. 巖土工程學(xué)報(bào), 1995, 17(4): 10－19.JIANG Ming-jing, SHEN Zhu-jiang. Expansion of cylindrical cavity of materials with strain-softening behavior[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1995, 17(4): 10－19.

[5]姜珂. 考慮軟黏土結(jié)構(gòu)性損傷的靜壓樁沉樁規(guī)律分析[D]. 杭州：浙江大學(xué)，2003.

[6]方萬(wàn)軍. 軟土中管樁擠土效應(yīng)分析及影響研究[D]. 杭州: 浙江大學(xué), 2006.

[7]孫渝剛. 考慮軟土結(jié)構(gòu)性損傷的靜壓樁擠土效應(yīng)研究[D]. 武漢: 華中科技大學(xué), 2007.

[8]蔣明鏡, 沈珠江. 考慮剪脹的線性軟化柱形孔擴(kuò)張問(wèn)題[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào), 1997, 16(6): 550－557.JIANG Ming-jing, SHEN Zhu-jiang. On expansion of cylindrical cavity with linear softening and shear dilatation behavior[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 1997, 16(6): 550－557.

[9]蕭琳琛, 謝新宇, 曹秀娟. 考慮土體結(jié)構(gòu)性損傷的沉樁擠土效應(yīng)解析分析[J]. 巖土力學(xué), 2006, 27(增刊): 59－64.XIAO Lin-chen, XIE Xin-yu, CAO Xiu-juan. Analytical solutions of squeezing effect caused by pile-driving in soil with structural damage[J]. Rock and Soil Mechanics,2006, 27(Supp.): 59－64.

[10]蔣明鏡, 沈珠江. 巖土類軟化材料的柱形孔擴(kuò)張統(tǒng)一解問(wèn)題[J]. 巖土力學(xué), 1996, 17(1): 1－8.JIANG Ming-jing, SHEN Zhu-jiang. Unified solution to expansion of cylindrical cavity for geomaterials with strain-softening behavior[J]. Rock and Soil Mechanics,1996, 17(1): 1－8.

[11]龔曉南. 土塑性力學(xué)[M]. 杭州: 浙江大學(xué)出版社, 1990.