徐 斌 ，張 艷 ，姜 凌

（1. 長安大學 環(huán)境科學與工程學院，西安 710054；2. 長安大學 國土資源部干旱、半干旱地區(qū)水資源與國土資源環(huán)境開放研究實驗室，西安 710054；3. 長安大學 地球科學與資源學院，西安 710054）

1 引 言

在各種礦井災(zāi)害中，水害是一種發(fā)生頻繁、破壞性很強的災(zāi)害，水害的發(fā)生直接影響到生產(chǎn)的順利進行和生命財產(chǎn)安全，如何防治水害是管理者和科研人員必須解決的難題。水害主要表現(xiàn)形式為礦井涌水（突水），涌水水源的差異決定了不同的防治措施，因此，對涌水水源的正確判別是防治水害的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

在科學研究和生產(chǎn)實踐的過程中，已經(jīng)產(chǎn)生了多種多樣的水源判別方法并付諸于實際應(yīng)用。這些方法可以劃分為物理分析法（水溫、水位）、化學分析法（水化學類型、同位素、放射性元素）、數(shù)理統(tǒng)計分析法（灰色系統(tǒng)、模糊數(shù)學、多元統(tǒng)計、支持向量機）和復(fù)合方法（地理信息系統(tǒng)、可拓識別方法）[1－9]。實際應(yīng)用中，針對水文地球化學數(shù)據(jù)的數(shù)理統(tǒng)計方法在經(jīng)濟和技術(shù)上具有較高的可行性，但目前的判別方法多為單獨使用，水源判別的結(jié)果往往因方法不同而各異，水源判別準確性無法得到保證。

本文選取灰色關(guān)聯(lián)分析和逐步判別分析作為基礎(chǔ)模型，分析了現(xiàn)存問題并提出耦合判別思路，進而設(shè)計并建立一種耦合式水源判別模型。為了驗證耦合模型的有效性和實用性，本文使用礦區(qū)實際樣本數(shù)據(jù)進行了建模與應(yīng)用，并與傳統(tǒng)模型進行了對比分析。

2 GRA-SDA耦合判別模型原理

礦井造成威脅的水源主要來自厚層灰?guī)r巖溶水、其他強富水含水層或地表水。不同水源存在環(huán)境和水交替強弱的信息在水化學特征上的表現(xiàn)不同，因此，水化學特征的分析研究，是判別礦井涌水來源的有效方法[10]。目前，針對水化學特征進行分析的方法主要是數(shù)理統(tǒng)計方法，經(jīng)過篩選后選擇了灰色關(guān)聯(lián)分析（grey relational analysis, GRA）和逐步判別分析（stepwise discriminant analysis, SDA）為基礎(chǔ)判別模型，從而構(gòu)造了礦井涌水水源判別的GRA-SDA耦合模型。

2.1 基礎(chǔ)判別模型簡介

2.1.1 灰色關(guān)聯(lián)分析

灰色關(guān)聯(lián)分析是一種多因素統(tǒng)計分析方法，它是以各因素的樣本數(shù)據(jù)為依據(jù)，用灰色關(guān)聯(lián)度來描述因素間關(guān)系的強弱、大小和次序的。如果樣本數(shù)據(jù)列反映出兩因素變化的態(tài)勢（方向、大小、速度等）基本一致，則它們之間的關(guān)聯(lián)度較大；反之，關(guān)聯(lián)度較小[11]。與傳統(tǒng)的多因素分析方法（相關(guān)、回歸等）相比，灰色關(guān)聯(lián)分析對數(shù)據(jù)在樣本數(shù)量和分布規(guī)律上要求較低，計算量小，且能有效避免反常情況發(fā)生[12]?；疑P(guān)聯(lián)分析被廣泛應(yīng)用于社會、經(jīng)濟、農(nóng)業(yè)、工程等各行業(yè)領(lǐng)域的系統(tǒng)分析中。

2.1.2 逐步判別分析

凡具有篩選變量能力的判別分析方法統(tǒng)稱為逐步判別分析法[13]。逐步判別分析基本思想是逐步引入變量，并按照變量重要性的變化進行篩選，然后分組進行判別，并在篩選和判別步驟中，進行相應(yīng)的統(tǒng)計檢驗。

由于逐步判別分析僅引入判別能力較強的變量參與建立判別函數(shù)，當變量數(shù)量較大時，與普通判別方法相比較，逐步判別分析具有整體計算量小、判別準確率較高的優(yōu)點。其缺點是當進行多組逐步判別時，變量篩選受到不同類型的訓練樣本組合影響，結(jié)果具有不確定性。另外，變量篩選過程繁瑣，當變量數(shù)量并不大時增加了額外的計算量。

2.1.3 基礎(chǔ)模型在水源判別中存在的問題

灰色關(guān)聯(lián)分析應(yīng)用于水源判別中，根據(jù)待判別水樣與參考水樣的關(guān)聯(lián)度可以篩選出關(guān)聯(lián)性最大的水源類型，從而確定待判別水樣的水源類型。但有時當待判別水樣與個別參考水樣呈現(xiàn)較大關(guān)聯(lián)度時，卻與各個類型水源的整體關(guān)聯(lián)趨勢相悖，這種情況下往往會導(dǎo)致誤判。這是由于灰色關(guān)聯(lián)分析是基于系統(tǒng)定性分析的基礎(chǔ)之上而建立的定量分析，參考水樣個體的類型劃分正確與否對于最終的判別結(jié)果具有決定性影響，當參考水樣個體的類型劃分出現(xiàn)偏差時，必然導(dǎo)致誤判。

逐步判別分析是基于訓練樣本的統(tǒng)計分析來進行變量篩選的，在進行多組判別時，某一組類型訓練樣本是否參與分析會導(dǎo)致不同的篩選結(jié)果。在多種類型組合的逐步判別中，需要對所建立的判別函數(shù)分別進行判別效果檢驗，才能確定出合適的判別分析模型用于涌水水源判別。在待判別水樣的相關(guān)水源類型范圍可以確定時，可以較好地進行判別并根據(jù)后驗概率進行最終評價。在待判別水樣的相關(guān)水源類型范圍無法確定的情況下，需要對多個水源類型進行組合來進行逐步判別，這種情況下往往會出現(xiàn)多個后驗概率較高但類型截然不同的判別結(jié)果，無法直接確定待判別水樣的水源類型。

2.2 GRA-SDA耦合判別模型

2.2.1 耦合模型判別思路

針對上述灰色關(guān)聯(lián)分析和逐步判別分析自身的特點以及在水源判別中所出現(xiàn)的問題，將兩種模型進行耦合，其基本思路是：首先，對待判別水樣與參考水樣進行灰色關(guān)聯(lián)分析，對分析結(jié)果進行匯總排序，提供與待判別水樣相關(guān)聯(lián)的各個水源類型的排序；然后，根據(jù)待判別水樣對應(yīng)的水源類型的關(guān)聯(lián)度排序，對參與判別的水源類型進行篩選；最后，將水源類型數(shù)據(jù)、參考水樣數(shù)據(jù)和待判別水樣數(shù)據(jù)輸入，進行逐步判別分析，獲得最終的判別結(jié)果。其實質(zhì)就是通過灰色關(guān)聯(lián)分析來明確參與逐步判別的分組類型范圍，消除弱相關(guān)類型的樣本數(shù)據(jù)對變量篩選的影響，提高分析效率和分析結(jié)果的準確性。

2.2.2 耦合模型的構(gòu)建

為了建立耦合模型，對問題進行如下定義：假設(shè)有未知類型樣本序列X0={x0(k)} (k=1, 2, …, N)，N為觀測指標數(shù)量，需要判別的類型序列為G組，每組有ng(g = 1, 2, …, G)個已知類型樣本，則n=n1+n2+…+ng為已知類型樣本總數(shù)，構(gòu)成已知類型樣本序列 Xi={xi(k)} (i=1, 2, …, n, k=1, 2, …, N)。

2.2.2.1 灰色關(guān)聯(lián)分析

對X0進行判別，按照問題的解決思路，首先進行灰色關(guān)聯(lián)分析，需要經(jīng)過以下幾個步驟[11－12]：

（1）確定分析序列。根據(jù)對問題的分析，確定灰色關(guān)聯(lián)因子集 X由 n+1個數(shù)據(jù)序列構(gòu)成，其中X0為參考序列，Xi為比較序列，x0(k)和xi(k)分別為x0和xi第k點的數(shù)，N為變量序列的長度。

（2）對序列進行無量綱化。為了保證分析結(jié)果的可靠性，一般需要對數(shù)據(jù)序列進行無量綱化處理，方法包括均值法、初值化法等。

（3）求差序列、最大差和最小差。計算參考序列與比較序列相對應(yīng)的絕對差值，形成絕對差值矩陣，計算公式如下：

絕對差值矩陣中最大數(shù)和最小數(shù)即為最大差和最小差，分別用Δ(max)和Δ(min)來表示。

（4）計算關(guān)聯(lián)系數(shù)。對絕對差值矩陣數(shù)據(jù)做變換，得到關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣，計算公式如下：

式中： ξ0i(k)為序列x0和序列xi在第k點上灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)（簡稱關(guān)聯(lián)系數(shù)）；ρ為分辨系數(shù)，在0和1之間取值，用來控制關(guān)聯(lián)空間差異的顯著性。

（5）計算關(guān)聯(lián)度。對關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣的各列求其平均數(shù)，即為xi與x0的關(guān)聯(lián)度，計算公式如下：

（6）依關(guān)聯(lián)度排序。對比較序列和參考序列的關(guān)聯(lián)度從大到小排序，可以得到 Xi與 X0的關(guān)聯(lián)排序 R0= {r0i}(i∈n)，r0i為 Xi中各個樣本與 X0的關(guān)聯(lián)度。

2.2.2.2 判別類型篩選

對與X0相關(guān)聯(lián)的類型進行篩選。根據(jù)命題，已知 Xi各個樣本的分組類型，則可以獲得與 X0的類型關(guān)聯(lián)排序 G0。定義dG為逐步判別的輸入類型數(shù)量限制參數(shù)，且dG≥2，對 G0中的前dG項保留，得到限定數(shù)量類型序列G’0={G0(d)}(d=1,2,…, dG)。dG僅僅限定了參與逐步判別的類型數(shù)量（當 dG=2時為兩組判別），需要進一步縮減參與判別的類型，定義 rp為 Xi與 X0的關(guān)聯(lián)度閾值，rp的取值可以根據(jù)關(guān)聯(lián)度的分布情況進行計算，一般采用算術(shù)平均值，計算公式如下：

G’0中與X0的關(guān)聯(lián)度大于rp的類型引入逐步判別，其余類型剔除，得到篩選后的類型序列Gp。

最后，根據(jù)篩選后的類型序列 Gp，從 Xi中篩選出與Gp對應(yīng)的已知類型樣本，構(gòu)成篩選后的已知類型樣本序列 Xj′，j=1,2,…,n′，n′為樣本總數(shù)。通過Gp和Xj′建立逐步判別模型，對X0進行逐步判別分析，即可確定X0的判定類型。

2.2.2.3 逐步判別分析

經(jīng)過類型篩選后，已知Gp對應(yīng)的類型序列數(shù)量為 G′，現(xiàn)對 X0進行 G’組(類)判別，每組有 n′g(g=1,2,…,G′)個已知類型樣本，則 n′=n′1+n′2+…+n′g為已知類型樣本總數(shù)，而對于樣本個體共有N個觀測指標可供篩選。對樣本進行逐步判別需要經(jīng)過以下幾個步驟[13－14]：

（1）數(shù)據(jù)準備。設(shè)原始數(shù)據(jù)為xigk(i=1,2,…,N；g=1,2,…,G′；k=1,2,…,n′g)，則首先計算各組平均值和總平均值再計算組內(nèi)離差矩陣W和總離差矩陣T。

（2）逐步篩選變量。假設(shè)計算進行到第l步（包括 l=0），判別函數(shù)引入了 r個變量（r≤l）則 l+1步的計算內(nèi)容為：首先在引入的r個變量中計算每個變量的判別能力，方法是計算Wilks統(tǒng)計量Λ，公式如下：

對預(yù)先給定的顯著水平 α，當 F2＜Fα(G′-1，n′-r-G′+1)時，第l+1步先將xL剔除，當沒有變量可以剔除時，再考慮新變量的引入。此時，在還未引入的變量中計算每個變量的判別能力，公式如下：

當 F1＞ Fα(G′-1，n′-r-G′)時，第 l+1 步可以引入xL。

所謂引入和剔除，均指對矩陣W和矩陣T消去L列，并進行變換。當既無變量可以引入，又無變量可以剔除時，逐步判別結(jié)束。從最終的W矩陣中可計算判別系數(shù)，寫出判別函數(shù)。

（3）判別分類。設(shè)逐步判別結(jié)束于第l步，已引入r個變量。則可以進行如下工作：

①計算判別系數(shù)。根據(jù)最終獲得的矩陣 W(l)計算判別系數(shù)，計算公式如下：

②檢驗r個變量的判別效果。對G′個總體的判別效果檢驗用-[n′-1-(r+G′)/2]lnΛr～χ2(r(G′-1))，根據(jù)Λr對應(yīng)的F近似式進行顯著性檢驗。對任意兩個組e和f的判別效果如下：

其中 Def是組 e和 f間的馬氏距離，若 Fef＞Fα則兩個組e和f的判別效果顯著，即判別效果較好。

③判別分類。若對r個變量的綜合判別效果是顯著的，就可以對任意個體x(x1, x2, …, xr)逐個進行判別歸類，判別函數(shù)如下：

若 Uh(x)= max1≤g≤G’{Ug(x)}，則把 x 劃歸第 h個組。最后計算后驗概率P(h/x)，公式如下：

2.2.3 模型判別求解的步驟

GRA-SDA耦合判別模型求解過程除了包括灰色關(guān)聯(lián)分析和逐步判別分析的基本求解之外，還包括模型耦合部分的類型篩選處理，運用模型進行判別主要包括以下幾個步驟：

（1）確定參與分析的數(shù)據(jù)序列，包括待判別樣本與已知類型樣本，從而構(gòu)造參與分析的樣本數(shù)據(jù)；

（2）建立灰色關(guān)聯(lián)分析模型；

（3）進行灰色關(guān)聯(lián)分析，根據(jù)已知類型樣本的關(guān)聯(lián)度排序結(jié)果，進行判別類型篩選；

（4）根據(jù)篩選后的相關(guān)類型，選取已知類型樣本建立逐步判別模型，設(shè)定相應(yīng)的模型計算參數(shù)；

（5）進行逐步判別，確定樣本所屬類型。

3 GRA-SDA耦合判別模型實例驗證

3.1 判別因子的確定

本文所使用的判別方法是基于水樣分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析法，然而表征水的物理性質(zhì)和化學性質(zhì)的因子眾多且具有一定的相關(guān)性，將全部因子用來判別不具備實際意義。綜合考慮各個因子的重要性和相關(guān)性，選取 Na++K+、Ca2+、Mg2+、Cl-、SO42-、HCO3-共6組離子以及礦化度作為判別因子。

3.2 樣本數(shù)據(jù)

研究選取了山西某新開礦區(qū)的兩組共 19個水樣分析數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)資料見表 1。水源類型為 K2灰?guī)r、奧灰水、地表水、第四系和砂巖裂隙水，為了便于模型建立與實際應(yīng)用，分別用I～V來表示。第1組共5個樣本（s1～s5），作為待判別水樣。第2組共14個樣本(1～14)，作為判別模型的參考樣本，其中的地表水樣本作為干擾樣本。

3.3 模型的建立與應(yīng)用

3.3.1 灰色關(guān)聯(lián)分析

在進行灰色關(guān)聯(lián)分析時，取分辨系數(shù)ρ = 0.4，分別對待判別樣本s1～s5與參考樣本1～14進行分析計算，得到相應(yīng)的涌水水源類型關(guān)聯(lián)度排序，分析結(jié)果如表2所示。

3.3.2 判別類型篩選

在灰色關(guān)聯(lián)分析的基礎(chǔ)上，進行判別類型的篩選。在本文中建立的模型中，選取dG= 4作為類型數(shù)量閾值，并取關(guān)聯(lián)度平均值作為類型篩選關(guān)聯(lián)度閾值rp。

對待判別樣本s1～s5的判別類型進行篩選。以樣本s1為例，根據(jù)dG= 4進行限定，則在表2中與s1相對應(yīng)的前四種類型被選中，分別為IV、II、III、I；經(jīng)過計算，rp=0.819 3，則僅需要保留關(guān)聯(lián)度大于0.819 3的參考樣本類型，從表2可知，s1對應(yīng)的關(guān)聯(lián)度為0.794 0及以后的樣本類型被舍棄，最終篩選出的判別類型為 IV、II。同理，對 s2～s5進行篩選，相關(guān)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)和計算結(jié)果如表3所示。

表1 礦井涌水水源判別的樣本數(shù)據(jù)Table 1 Sample data used in water source discrimination of mine water inrush

表2 待判別樣本的灰色關(guān)聯(lián)分析排序結(jié)果Table 2 Grey relational analysis results of samples

表3 待判別樣本用于參與逐步判別分析的類型篩選結(jié)果Table 3 Group screening results for discriminant analysis

3.3.3 逐步判別分析

經(jīng)過判別類型篩選之后，與每個待判別樣本相關(guān)性較強的判別類型被確定下來，可以對其進行逐步判別來確定其歸屬類型。

以s1為例說明，以Na++K+（x1）、Ca2+（x2）、Mg2+（x3）、Cl-（x4）、SO42-（x5）、HCO3-（x6）和礦化度（x7）作為模型輸入變量，相關(guān)類型 IV（U1）、II（U2）作為輸出變量，并選取1～14水樣數(shù)據(jù)中相關(guān)類型為IV、II的樣本進行分析，按照相等先驗概率事件建立逐步判別模型。給定顯著水平α = 0.05，經(jīng)過逐步篩選變量后，選取出（x6）作為分類變量建立了兩組判別函數(shù)：

經(jīng)過計算，U1=39.505 6，U2=35.608 9，U1最大，確定s1的涌水水源類型為IV，后驗概率為0.980 0。

同理，完成其余待判別水樣的逐步判別分析，結(jié)果見表4。

表4 逐步判別分析結(jié)果Table 4 Results of stepwise discriminant analysis

3.4 驗證與分析

為驗證本文耦合模型的有效性，分別獨立使用了聚類分析、灰色關(guān)聯(lián)分析和逐步判別分析進行涌水水源類型判別，判別結(jié)果見表5。

表5 涌水水源判別結(jié)果的比較與驗證Table 5 Comparison and verification of inrush water source indentification results

單獨使用聚類分析，以絕對值距離作為聚類標準進行判別，在s3和s4樣本出現(xiàn)誤判。針對誤判，選取該地區(qū)多組數(shù)據(jù)分析表明，聚類分析法在對K2灰?guī)r（I）與砂巖裂隙水（V）的判別失效率較高。

單獨使用灰色關(guān)聯(lián)分析進行判別，在 s3和 s5樣本出現(xiàn)誤判。經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，s3樣本誤判是受到地表水樣本的干擾；對s5樣本在奧灰水（II）和第四系（IV）兩種類型間的判別失效，則是由于關(guān)聯(lián)度較大的已知類型樣本采集于第四系（IV）和奧灰水（II）相互補給的含水層。

單獨使用逐步判別分析，以I～V全部5個類型作為輸出變量，選取1～14水樣數(shù)據(jù)作為訓練樣本建立模型進行多組逐步判別，在 s4樣本出現(xiàn)誤判。在進一步的分析中，參考表2中s4樣本的類型排序，選取I、V作為基本類型，與II、III、IV進行組合，分別對s4進行逐步判別分析，結(jié)果見表6。

表6 s4樣本的逐步判別分析Table 6 Stepwise discriminant analysis results of s4

對結(jié)果進行比對分析可以看出，在所有對 s4誤判的判別函數(shù)中均引入了作為判別變量，所對應(yīng)的訓練樣本都包括類型為奧灰水（II）的樣本數(shù)據(jù)，說明類型為奧灰水（II）的樣本在對s4的逐步判別分析中起到了干擾的作用。

本實例分析中，聚類分析判別正確率為60%，灰色關(guān)聯(lián)分析判別正確率為60%，逐步判別分析判別正確率為80%，本文使用的模型判別結(jié)果全部與實際相符合，判別正確率為 100%。本文所建立的耦合判別模型，通過灰色關(guān)聯(lián)分析和判別類型篩選，選取出與待判別樣本相關(guān)性較強的類型數(shù)據(jù)用來建立逐步判別分析模型，在避免了樣本個體對灰色關(guān)聯(lián)分析影響的同時，消除了相關(guān)性較弱的類型樣本對逐步判別分析的干擾，有效地提高了判別正確率。

4 結(jié) 論

（1）本文選取灰色關(guān)聯(lián)分析和逐步判別分析作為基礎(chǔ)模型，分析了兩者的優(yōu)缺點及其在水源判別中存在的問題，進而設(shè)計并建立一種耦合式水源判別模型。通過實例分析證明，利用耦合判別模型進行涌水水源判別具有較高的判對率，該方法具有良好的實用性。

（2）該礦井涌水水源判別模型建立在統(tǒng)計學原理基礎(chǔ)上的，受到數(shù)據(jù)資料的代表性和準確性的影響較大。在實際應(yīng)用中，可根據(jù)具體情況收集工程資料，建立不同區(qū)域的樣本數(shù)據(jù)庫，增強模型的適用性。礦井涌水水源判別不僅與水化學成份有關(guān)，還受到其他因素的影響，在判別因子的選取上有待深入研究。在判別類型的篩選上，關(guān)聯(lián)度閾值選取可以考慮不同計算方法。

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