宋曉飛，石萬凱，劉開友

(1.重慶大學(xué)機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實驗室，重慶 400030;2.重慶市電力公司 教育培訓(xùn)中心，重慶 400053)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度大、精度高、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、航空、航海、醫(yī)療等領(lǐng)域。為了提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動精度，國內(nèi)外學(xué)者對各構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差分析及標(biāo)定進(jìn)行了相關(guān)研究。文獻(xiàn)［1－2］分析了六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差，建立了運(yùn)動學(xué)誤差模型，但沒有包括鉸鏈間隙誤差。文獻(xiàn)［3］提出了一種用測距儀測量位置偏差，從而標(biāo)定機(jī)構(gòu)誤差參數(shù)的方法，此方法不需要昂貴的測量儀器，但要求測距儀的安裝與參考坐標(biāo)軸相平行，這很難做到。文獻(xiàn)［4－6］都是利用激光追蹤儀測得機(jī)構(gòu)末端位姿，從而對機(jī)構(gòu)進(jìn)行誤差標(biāo)定，但都沒考慮鉸鏈間隙誤差的影響。文獻(xiàn)［7］對并聯(lián)機(jī)構(gòu)鉸鏈間隙誤差標(biāo)定進(jìn)行了理論分析，但提出的方法無法實現(xiàn)鉸鏈間隙的標(biāo)定。

本文提出一種6－PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)誤差標(biāo)定方法，此方法可將桿長誤差跟鉸鏈間隙誤差分離開來，從而提高誤差標(biāo)定的準(zhǔn)確度，為進(jìn)一步的誤差補(bǔ)償提供基礎(chǔ)。

1 研究對象

6－PSS型六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)由6根連桿通過上下球鉸將上方4根導(dǎo)軌及下方的動平臺連接起來，6－PSS型六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖如圖1所示。在靜、動平臺上分別建立固定坐標(biāo)系oxyz和連體坐標(biāo)系o1x1y1z1，從動平臺坐標(biāo)系o1x1y1z1到固定坐標(biāo)系oxyz的旋轉(zhuǎn)矩陣

圖1 6－PSS六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖

1.1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)方程

由圖1知，根據(jù)桿長的關(guān)系，得到等式

其中Si和Bi分別表示上下鉸鏈點(diǎn)在固定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)向量。

滑塊的運(yùn)動參數(shù)可表示為機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)和動平臺末端位姿參數(shù)的函數(shù)，即機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)方程:

1.2 誤差項分析

6－PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在的主要誤差項有滑塊初始位置誤差、桿長誤差、上下鉸鏈安裝位置誤差、導(dǎo)軌直線度誤差、鉸鏈間隙誤差。

上述誤差項中除了鉸鏈間隙誤差外，其余各項誤差都是不隨機(jī)構(gòu)運(yùn)動狀態(tài)而改變的靜態(tài)誤差，而鉸鏈間隙誤差是隨機(jī)構(gòu)位姿變化而變化的。因此，將鉸鏈間隙誤差從各誤差項中分離出來將會提高各誤差項標(biāo)定的準(zhǔn)確性。

圖2 鉸鏈間隙誤差

由于連桿為細(xì)長桿(靜態(tài)分析時可忽略連桿質(zhì)量)，由6－PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)知，當(dāng)連桿不受外載荷且機(jī)構(gòu)處于靜止?fàn)顟B(tài)時，各連桿兩端所受的約束力為沿連桿方向的大小相等方向相反的拉力或壓力。如圖2所示，將鉸鏈間隙誤差等效成在桿長方向上產(chǎn)生的誤差 δj，則 δji=δUi+δBi，其中 δUi、δBi分別是連桿上下鉸鏈處的間隙值。

故有:當(dāng)連桿受力為拉力時，桿長誤差增加δji;當(dāng)連桿受力為壓力時，桿長誤差減小δji。

1.3 連桿受拉受壓分析

由于機(jī)構(gòu)靜止?fàn)顟B(tài)時連桿所受約束力的方向為沿連桿方向，若機(jī)構(gòu)在某位姿下連桿的方向向量為ni(ni=Bi－Ai，可通過機(jī)構(gòu)逆解方程求得)，則可得動平臺的牛頓歐拉方程為

其中:Fli為拉桿對動平臺的力;Gp為動平臺重力，ri為下鉸鏈到平臺中心的矢量;Fp和Mp分別為動平臺受的外力及外力矩。

顯然 Fi為正時桿長誤差為 δli－δji，F(xiàn)i為負(fù)時桿長誤差為 δli+ δji。

2 誤差標(biāo)定模型

綜合考慮機(jī)構(gòu)所有誤差參數(shù)，由機(jī)構(gòu)特點(diǎn)可知:滑塊初始位置誤差和上鉸鏈位置誤差以及桿長誤差和鉸鏈間隙誤差很難解耦。將滑塊初始位置誤差并入上鉸鏈位置誤差來考慮，不影響機(jī)構(gòu)的標(biāo)定精度。

由于當(dāng)連桿受力為拉力時，桿長誤差記為δli+δji;當(dāng)連桿受力為壓力時，桿長誤差記為δliδji。故可以分別標(biāo)定 δli+ δji和 δli－ δji，即可做到桿長誤差δli和鉸鏈間隙誤差δji的分離。

由機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)方程可以得到機(jī)構(gòu)的誤差標(biāo)定方程為

其中:[δAixδAiyδAiz]為上鉸鏈位置誤差;[δB'ixδB'iyδB'iz]為下鉸鏈在動平臺坐標(biāo)系下的位置誤差(［δBixδBiyδBiz］T=R［δB'ixδB'iyδB'iz］T);［δaixδaiyδaiz］為導(dǎo)軌的直線度誤差。

由式(4)可知:方程含有桿長誤差(將δli±δji看作一項)、上下鉸鏈位置誤差、以及導(dǎo)軌直線度誤差共10個未知量，6個支鏈共有60個未知量，而測得的每個位姿可列6個方程，這樣需要測量至少10個合適的位姿解;又由上下鉸鏈位置誤差的關(guān)系知，10個位姿解中至少要有4個姿態(tài)不同的解才能對其解耦。

當(dāng)測得足夠多的位姿數(shù)據(jù)時，可以應(yīng)用最小二乘法求解各誤差量，假如測得N組動平臺末端位姿數(shù)據(jù)，以及與末端位姿相對應(yīng)的滑塊輸入?yún)?shù)值，可以建立目標(biāo)函數(shù):

令 W= ［δli± δji，δAix，δAiy，δAiz，δB'ix，δB'iy，δB'iz，δaix，δaiy，δaiz］，則誤差方程(5)可寫為

由于誤差方程為非線性方程組，而求解非線性方程的最小二乘解相當(dāng)困難，需要采用線性化方法獲得線性方程。對式(6)進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，省略高階余項，令 W0=0為變量的近似向量，則有:

對式(7)進(jìn)行迭代計算，當(dāng)求解的誤差參數(shù)值使目標(biāo)函數(shù)足夠小時，停止迭代，求得誤差參數(shù)值。分別解得 δli+ δji和 δli－ δji，即可將桿長誤差和鉸鏈間隙誤差分離開，從而獲得較精確的結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差值。

圖3 姿態(tài)( －20°，50°，－30°)連桿受力情況

3 應(yīng)用實例

6－PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù):導(dǎo)軌間跨距為400 mm和500 mm;連桿1、3、4、6 取1600 mm，連桿2、5 取1440 mm;動平臺為一個530 mm×400 mm的矩形板加一個向上傾斜30°的280 mm×240 mm翹板組成的平臺。

根據(jù)機(jī)構(gòu)運(yùn)動空間要求，在適當(dāng)范圍內(nèi)選取幾組特殊的動平臺末端姿態(tài)，用Matlab軟件計算動平臺姿態(tài)角不變時在各空間位置下各連桿的受力情況。

由圖3可知連桿受力情況:當(dāng)動平臺姿態(tài)為( －20°，50°，－30°)時，各連桿受力一直為拉力;同理，進(jìn)一步找出3個或更多連桿都受拉力的位姿，可以計算得到，動平臺姿態(tài)角為(0°，20°，0°)時各連桿一直受拉力，姿態(tài)角為(20°，50°，30°)時在－800 mm≤z≤－1000 mm區(qū)域內(nèi)連桿全都受拉力，動平臺姿態(tài)為(－20°，50°，30°) 且－1100 mm≤z≤－1300 mm時連桿全都受拉力。

選用激光追蹤儀進(jìn)行末端位姿的測量，在機(jī)構(gòu)靜止?fàn)顟B(tài)下，在以上4個位姿區(qū)間內(nèi)測得10組動平臺末端位姿參數(shù)，并記錄每個位姿相對應(yīng)的一組滑塊輸入控制值(如表1所示)，可以求得一組誤差值:δli+ δji、δAix、δAiy、δAiz、δBix、δBiy、δBiz、δaix、δaiy、δaiz，i=1，2，…，6。

為將 δli和 δji解耦，還需解出1組數(shù)值 δliδji，再選取另外2組動平臺位姿，機(jī)構(gòu)姿態(tài)為( －20°，10°，30°)且 z≤ －1100 mm 的區(qū)域內(nèi)拉桿2、3、4、5 一直受壓力，位姿為( －20°，10°，30°)且z≥－1100 mm的區(qū)域內(nèi)桿件1、6一直受壓力。表2為測得2組位姿值，由這2組位姿數(shù)據(jù)可以解出 1 組 δli－ δji，從而求得 δli和 δji，最終可得所有誤差項標(biāo)定值，如表3所示。

表1 拉桿受拉時機(jī)構(gòu)位姿測量值 mm

表2 拉桿受壓時機(jī)構(gòu)位姿測量值mm

表3 標(biāo)定的誤差參數(shù)值

4 結(jié)束語

本文對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的標(biāo)定，引進(jìn)了導(dǎo)軌直線度誤差及鉸鏈間隙誤差，對機(jī)構(gòu)誤差項的考慮更全面，并將桿長誤差和鉸鏈間隙誤差有效地分離開來，對桿長誤差的標(biāo)定更準(zhǔn)確。此標(biāo)定法簡單有效，為此類機(jī)構(gòu)的誤差標(biāo)定提供了依據(jù)。

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