王小杰，印興耀，吳國忱

（中國石油大學，山東青島 266555）

粘彈性介質地震波傳播特征及反射特征研究

王小杰，印興耀，吳國忱

（中國石油大學，山東青島 266555）

理想彈性介質并不能解決許多復雜的實際問題。在實際介質中，地震波的傳播過程存在吸收作用，使地震波能量發(fā)生了損耗、頻帶變窄、相位延遲、頻率降低，尤其是高頻部份。這種特性可以用傳播矢量和衰減矢量來表示，衰減矢量越大，介質的吸收越強。這里通過引入廣義平面波、縱橫波品質因子以及衰減角，利用應力應變關系和連續(xù)性條件，推導了粘彈性介質精確的Zoeppritz方程，并通過求解精確的Zoeppritz方程，分析了粘彈性介質中傳播矢量、衰減矢量、縱波反射系數、轉換波反射系數與頻率、衰減角、入射角、品質因子、速度等物理量之間的關系，詳細地了解了粘彈性介質中地震波傳播特征及反射特征，為粘彈性介質中儲層預測問題的研究提供了理論基礎。

粘彈性介質；傳播矢量；衰減矢量；反射系數；衰減角

0 前言

在地震勘探中，把遠離震源處絕大部份地帶的巖石都可近似看作理想彈性體。這樣彈性力學中的許多理論都可以直接應用到地震勘探中來，從而將問題進行簡化。但是隨著油氣勘探、開發(fā)工作的不斷發(fā)展，地震勘探的重點由原來的構造油氣藏向巖性油氣藏、隱蔽油氣藏轉移，應用理想彈性介質并不能解釋許多復雜的實際問題。學者們通過對大量觀測結果的分析，發(fā)現地震波在巖層中傳播時有吸收作用，即吸收激發(fā)脈沖的某些頻率成份，尤其是高頻部份，使能量也發(fā)生了損耗。因此，實際巖石既有彈性，也會表現出像粘性流體那樣的粘滯性［1］。

平面波在粘彈性界面的傳播特征，很多學者做了大量的研究。郭智奇等［2］研究了層狀粘彈性介質中SH波的反射、透射問題，從本構方程的角度，以波爾茲曼疊加原理為基礎，建立積分型本構方程，進而建立粘彈性介質波動方程。孫成禹［3］等研究了平面波在粘滯性界面的反射特征，證明了粘滯性界面上的反射系數與入射波頻率有關的特征。尹陳等［4］基于常規(guī)波動方程正演理論，添加了彌散～粘滯性特征，從巖石的內摩擦和粘滯系數上模擬粘滯性介質中地震波的衰減理論。

作者在本文通過引入廣義平面波，運用應力應變關系和連續(xù)性條件，推導了P波入射到粘彈性界面的精確的Zoeppritz方程，通過求解精確的Zoeppritz方程，研究粘彈性介質中傳播矢量、衰減矢量、反射系數與頻率、衰減角、入射角、品質因子速度等物理參數之間的關系，為以后公式的簡化以及粘彈性介質中油氣預測提供了理論基礎。

1 粘彈性介質精確的Zoeppritz方程

早在上世紀初已基本建立了平面波在彈性界面中的反射理論，這也是一直以來地震勘探的理論基礎。但是實際介質并非理想的彈性介質，具有一定的粘滯性。當一平面P波傳播到粘彈性界面R時，會產生反射P波、反射SV波、透射P波、透射SV波，如下頁圖1所示。選擇直角坐標系，使y軸與波前面平行，在這種情況下，波函數與y軸無關z＝0平面與介質分界面重合，z軸垂直向下，指向介質“2”，入射波來自z＜0的介質“1”，其中VP1VS1、ρ1、θp1、θs1、Qp1、Qs1分別表示介質“1”中的縱波速度、橫波速度、密度、縱波入射角、橫波反射角，縱波品質因子和橫波品質因子；VP2、VS2、ρ2、θp2、θs2、Qp2、Qs2分別表示介質“2”中的縱波速度、橫波速度、密度、縱波透射角、橫波透射角，縱波品質因子和橫波品質因子。假設廣義平面波從介質“1”入射到界面，則可以分別寫出入射P波、反射P波、反射SV波、透射P波和透射SV波的位移位函數。

圖1 入射P波和反射波、透射波的關系Fig.1 The relationship between the incident P wave and the reflected wave、the transmitted wave

（1）介質“1”中的位移位函數：

入射P波：

反射P波：

反射SV波：

（2）介質“2”中的位移位函數：

透射P波：

透射SV波：

其中 kpx1、ksx1、kpx2和ksx2分別是五個波沿X方向的波數，即水平波數；kpz1、ksz1、kpz2、ksz2分別是五個波沿Z方向的波數，即垂直波數；B1、B2、C3、B4、C5分別是五個波的振幅。它們都是復數，這是與完全彈性介質的不同之處。由廣義Snell定律知，五個波的水平波數都相等，入射P波和反射P波的垂直波數都相等［5、6］。

根據Q值表達式，定義縱橫波品質因子［7］：

其中 QP和QS分別是縱波和橫波的品質因子；λ和μ為拉梅系數，是復數；下標“R”和“I”分別表示對應量的實部和虛部。

用相速度和品質因子表示復波數，用復波數定義，可推導出復橫波數和復縱波數的表達式：

一般地，傳播矢量和衰減矢量是不平行的，這時的波稱為非均勻波。特殊地，當傳播矢量的夾角為零時，波是均勻波。

由式（8）和式（10）得到

由式（11）的實部和虛部相等求解，可得：

同理可得P波的傳播矢量和衰減矢量。

由質點的位移分量與位移位的關系，可得到位移表達式（14）。

由應力應變關系和位移位關系得到應力表達式

分別把介質“1”和介質“2”中的位移位函數帶入位移和應力表達式，其中下標“1”和“2”分別表示介質“1”和“2”中的量。在界面z＝0處，這五個波應滿足位移連續(xù)和應力連續(xù)，進而可推導得到如下精確的Zoeppritz方程（16）：

2 粘彈性介質地震波傳播及反射特征分析

通過上面的粘彈性介質精確的Zoeppritz方程推導，可以看出粘彈性介質的復波數是通過傳播矢量和衰減矢量來表示的，其中復波數的實部是傳播矢量，虛部是衰減矢量。下面以縱波為例，分析縱波的傳播矢量、衰減矢量分別與衰減角、品質因子、速度之間的關系。圖2和圖3分別是當頻率為30Hz、速度為2 000m/s時，傳播矢量和衰減矢量隨衰減角和品質因子的變化關系圖。從圖2及圖3中可以看出，只有當衰減角比較大時，衰減角對傳播矢量和衰減矢量的影響較大，在接近90°時，達到最大，而當衰減角較小時，影響不大。品質因子對傳播矢量的影響較小。

為了便于分析，我們從中抽取了幾道進行比較，如下頁圖4所示，其中不同的曲線代表不同的衰減角。從圖4中可以看出，衰減角越大，品質因子越小，對傳播矢量和衰減矢量的影響越大。但是無論是衰減角還是品質因子，對衰減矢量的影響都大于對傳播矢量的影響。圖5（見下頁）是在不同品質因子下傳播矢量和衰減矢量隨衰減角的變化關系。從圖5中可以看出，當衰減角在0°到40°時衰減角對傳播矢量和衰減矢量的影響幾乎為零；當衰減角在40°到60°時，衰減角對傳播矢量和衰減矢量的影響很小，尤其是傳播矢量，幾乎為零；當衰減角大于60°時，影響較大，并且隨著衰減角的增大影響越大。通過以上結論可以看出，當衰減角在0°到60°時，對傳播矢量和衰減矢量的影響都不大因此在下面的討論中，假定衰減角為30°。

下頁圖6和圖7是衰減角為30°，速度為2 000m/s時，傳播矢量和衰減矢量隨頻率和品質因子的變化關系。下頁圖8是從中抽取的幾道進行比較，其中不同的曲線代表不同的Q值。從圖6～圖8中可以看出，頻率對傳播矢量的影響是線性的，頻率越高，傳播矢量越大，品質因子對傳播矢量的影響很小，幾乎為零。而當品質因子一定時，衰減矢量隨著頻率的增大而線性增大，品質因子越小，衰減矢量增加得就越大。當品質因子大到一定值時，衰減矢量幾乎為零，即頻率和品質因子對衰減矢量的影響幾乎為零。

后面圖9和圖10是當衰減角為30°，頻率為30Hz時，傳播矢量和衰減矢量隨縱波速度和品質因子的變化關系。從圖9及圖10中可以看出，速度越小，傳播矢量和衰減矢量就越大。并且隨著速度的增大，傳播矢量減少的很快，近似為線性，衰減矢量則衰減較慢。當品質因子較大時，衰減矢量接近于零，速度對衰減矢量的影響也接近于零。圖11（見后面）是從中抽取的不同道進行比較，其中不同的線代表不同的品質因子。從圖11中也可以看出，當衰減角、頻率一定時，品質因子對傳播矢量的影響幾乎為零，對衰減矢量影響較大，品質因子越小，衰減矢量隨著速度的增加，衰減的越快。

上面的分析是分別針對傳播矢量和衰減矢量進行的。下面通過求解粘彈性介質精確的Zoeppritz方程，分析縱波和轉換波反射系數的變化特征［8］。表1（見后面）是典型AVO模型的彈性參數表，參數分別表示縱波速度、橫波速度、密度、縱波品質因子和橫波品質因子。首先與彈性介質縱波反射系數特征進行比較，將表1的參數帶入粘彈性介質精確的Zoeppritz方程，求解出不同衰減角的縱波反射系數模，如圖12所示（見后面）。圖12（a）是不同衰減角的縱波反射系數模與彈性介質縱波反射系數模隨入射角的變化關系。從圖12中可以看出，在小于臨界角時，兩者差異較??；在大于等于臨界角時，差異較大，尤其是臨界角附近，并且衰減角越大，差異越大。圖12（b）是不同衰減角的縱波反射系數模與彈性介質縱波反射系數模的差值隨入射角的變化關系，也可以看出在小于臨界角時，差值在5%的范圍內，衰減角越小，差異越小，在大于等于臨界角時，差異較大，尤其是臨近角附近。為了進一步了解粘彈性介質的反射特征，利用表1的數據，得到縱波反射系數隨入射角和衰減角的變化關系［9］，如下頁圖13（a）所示。下頁圖13（b）是從中抽取的不同道進行比較，其中不同的線代表不同的衰減角。從圖13中可以看出，當入射角小于等于臨近角時，衰減角對縱波反射系數模的影響不大；當入射角大于臨近角時，衰減角對縱波反射系數的影響較大，衰減角越大，影響越大。

下頁圖14（a）是轉換波反射系數的模隨入射角和衰減角的變換關系，下頁圖14（b）是從中抽取的幾道數據，其中不同的曲線代表不同的衰減角從圖14中同樣可以看出，當衰減角比較大時，對轉換波的反射系數影響較大；當衰減角比較小時，影響很小，尤其是在小角度入射時，影響更小。

表1 典型AVO模型的彈性參數Tab.1 The elastic parameters of typical AVO model

表2也是典型AVO模型的彈性參數表，參數分別表示縱波速度、橫波速度、密度、縱波品質因子和橫波品質因子，其中透射介質的縱波品質因子是變化的［10］。由上面的分析可知，當衰減角在0°～60°時，影響不大，因此假定衰減角為30°。下頁圖15（a）是不同品質因子的縱波反射系數模與彈性介質縱波反射系數模隨入射角的變化關系，圖15（b）是兩者的差值隨入射角的變化曲線。從圖15中可以看出，在小于臨界角時，兩者差值非常小，幾乎為零；在大于臨近角時，差值較大，尤其是臨近角附近，并且品質因子越小，差值越大。同時可以得到縱波反射系數模隨入射角和品質因子的變化關系，如下頁的圖16（a）所示。圖16（b）（見下頁）是從中抽取的幾道數據，其中不同的曲線代表不同的品質因子。從圖16中可以看出，當衰減角一定且入射角在臨近角附近時，品質因子對縱波反射系數模的影響較大。在大于或小于臨近角時，影響都不是很大。

表2 典型AVO模型的彈性參數Tab.1 The elastic parameters of typical AVO model

圖17（a）（見后面）是轉換波反射系數模隨入射角和品質因子的變化關系，圖17（b）（見后面）是從中抽取的幾道數據，不同的曲線代表不同的品質因子。從圖17中可以看出，當衰減角一定時，在臨近角附近，品質因子對轉換波反射系數影響較大品質因子越小，影響越大。當入射角小于臨近角時，品質因子越小，轉換波波反射系數模越大，而當入射角大于臨近角時，品質因子越小，轉換波反射系數模越小。

3 結論與認識

粘彈性介質與彈性介質相比，更加接近于實際的地層介質，因此，隨著地震勘探的發(fā)展，對粘彈性介質的研究是非常必要而有意義的［11～14］。作者在本文通過對粘彈性介質精確的Zoppritz方程求解與分析，得到了如下結論：

（1）衰減角對傳播矢量的影響小于對衰減矢量的影響，當衰減角為0°到60°時影響較小。

（2）頻率對傳播矢量和衰減矢量的影響是線性的，并且當衰減角一定時，頻率越大，傳播矢量和衰減矢量也越大。

（3）速度對傳播矢量和衰減矢量的影響也是接近于線性的，速度越大，傳播矢量和衰減矢量越小

（4）當入射角小于臨近角時，衰減角對縱波反射系數、轉換波反射系數的影響較小；當入射角大于臨近角時，衰減角對縱波反射系數、轉換波反射系數的影響增大。

（5）當入射角在臨近角附近時，品質因子對縱波反射系數、轉換波反射系數的影響較大；在大于臨近角和小于臨近角時，影響不大。

在實際資料應用中，粘彈性介質Zoppritz方程除了需要縱橫波速度與密度外，還需要品質因子參數，可以通過疊前地震資料S域譜比法，求取井位置處的品質因子曲線［11］，然后計算反射系數當然該方程在實際資料的應用中還需要做進一步的探討，例如方程的簡化等。

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book=123,ebook=123

1001—1749（2012）03—0258—09

P 631.4＋11

A

10.3969/j.issn.1001－1749.2012.03.04

王小杰（1983－），女，博士，現從事地球物理方面的工作。

國家重點基礎研究計劃（973）項目（2007CB209605）

2011－12－28改回日期：2012－02－24