王小杰，印興耀，吳國(guó)忱

（中國(guó)石油大學(xué)，山東青島 266555）

粘彈性介質(zhì)地震波傳播特征及反射特征研究

王小杰，印興耀，吳國(guó)忱

（中國(guó)石油大學(xué)，山東青島 266555）

理想彈性介質(zhì)并不能解決許多復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題。在實(shí)際介質(zhì)中，地震波的傳播過(guò)程存在吸收作用，使地震波能量發(fā)生了損耗、頻帶變窄、相位延遲、頻率降低，尤其是高頻部份。這種特性可以用傳播矢量和衰減矢量來(lái)表示，衰減矢量越大，介質(zhì)的吸收越強(qiáng)。這里通過(guò)引入廣義平面波、縱橫波品質(zhì)因子以及衰減角，利用應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和連續(xù)性條件，推導(dǎo)了粘彈性介質(zhì)精確的Zoeppritz方程，并通過(guò)求解精確的Zoeppritz方程，分析了粘彈性介質(zhì)中傳播矢量、衰減矢量、縱波反射系數(shù)、轉(zhuǎn)換波反射系數(shù)與頻率、衰減角、入射角、品質(zhì)因子、速度等物理量之間的關(guān)系，詳細(xì)地了解了粘彈性介質(zhì)中地震波傳播特征及反射特征，為粘彈性介質(zhì)中儲(chǔ)層預(yù)測(cè)問(wèn)題的研究提供了理論基礎(chǔ)。

粘彈性介質(zhì)；傳播矢量；衰減矢量；反射系數(shù)；衰減角

0 前言

在地震勘探中，把遠(yuǎn)離震源處絕大部份地帶的巖石都可近似看作理想彈性體。這樣彈性力學(xué)中的許多理論都可以直接應(yīng)用到地震勘探中來(lái)，從而將問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化。但是隨著油氣勘探、開發(fā)工作的不斷發(fā)展，地震勘探的重點(diǎn)由原來(lái)的構(gòu)造油氣藏向巖性油氣藏、隱蔽油氣藏轉(zhuǎn)移，應(yīng)用理想彈性介質(zhì)并不能解釋許多復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題。學(xué)者們通過(guò)對(duì)大量觀測(cè)結(jié)果的分析，發(fā)現(xiàn)地震波在巖層中傳播時(shí)有吸收作用，即吸收激發(fā)脈沖的某些頻率成份，尤其是高頻部份，使能量也發(fā)生了損耗。因此，實(shí)際巖石既有彈性，也會(huì)表現(xiàn)出像粘性流體那樣的粘滯性［1］。

平面波在粘彈性界面的傳播特征，很多學(xué)者做了大量的研究。郭智奇等［2］研究了層狀粘彈性介質(zhì)中SH波的反射、透射問(wèn)題，從本構(gòu)方程的角度，以波爾茲曼疊加原理為基礎(chǔ)，建立積分型本構(gòu)方程，進(jìn)而建立粘彈性介質(zhì)波動(dòng)方程。孫成禹［3］等研究了平面波在粘滯性界面的反射特征，證明了粘滯性界面上的反射系數(shù)與入射波頻率有關(guān)的特征。尹陳等［4］基于常規(guī)波動(dòng)方程正演理論，添加了彌散～粘滯性特征，從巖石的內(nèi)摩擦和粘滯系數(shù)上模擬粘滯性介質(zhì)中地震波的衰減理論。

作者在本文通過(guò)引入廣義平面波，運(yùn)用應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和連續(xù)性條件，推導(dǎo)了P波入射到粘彈性界面的精確的Zoeppritz方程，通過(guò)求解精確的Zoeppritz方程，研究粘彈性介質(zhì)中傳播矢量、衰減矢量、反射系數(shù)與頻率、衰減角、入射角、品質(zhì)因子速度等物理參數(shù)之間的關(guān)系，為以后公式的簡(jiǎn)化以及粘彈性介質(zhì)中油氣預(yù)測(cè)提供了理論基礎(chǔ)。

1 粘彈性介質(zhì)精確的Zoeppritz方程

早在上世紀(jì)初已基本建立了平面波在彈性界面中的反射理論，這也是一直以來(lái)地震勘探的理論基礎(chǔ)。但是實(shí)際介質(zhì)并非理想的彈性介質(zhì)，具有一定的粘滯性。當(dāng)一平面P波傳播到粘彈性界面R時(shí)，會(huì)產(chǎn)生反射P波、反射SV波、透射P波、透射SV波，如下頁(yè)圖1所示。選擇直角坐標(biāo)系，使y軸與波前面平行，在這種情況下，波函數(shù)與y軸無(wú)關(guān)z＝0平面與介質(zhì)分界面重合，z軸垂直向下，指向介質(zhì)“2”，入射波來(lái)自z＜0的介質(zhì)“1”，其中VP1VS1、ρ1、θp1、θs1、Qp1、Qs1分別表示介質(zhì)“1”中的縱波速度、橫波速度、密度、縱波入射角、橫波反射角，縱波品質(zhì)因子和橫波品質(zhì)因子；VP2、VS2、ρ2、θp2、θs2、Qp2、Qs2分別表示介質(zhì)“2”中的縱波速度、橫波速度、密度、縱波透射角、橫波透射角，縱波品質(zhì)因子和橫波品質(zhì)因子。假設(shè)廣義平面波從介質(zhì)“1”入射到界面，則可以分別寫出入射P波、反射P波、反射SV波、透射P波和透射SV波的位移位函數(shù)。

圖1 入射P波和反射波、透射波的關(guān)系Fig.1 The relationship between the incident P wave and the reflected wave、the transmitted wave

（1）介質(zhì)“1”中的位移位函數(shù)：

入射P波：

反射P波：

反射SV波：

（2）介質(zhì)“2”中的位移位函數(shù)：

透射P波：

透射SV波：

其中 kpx1、ksx1、kpx2和ksx2分別是五個(gè)波沿X方向的波數(shù)，即水平波數(shù)；kpz1、ksz1、kpz2、ksz2分別是五個(gè)波沿Z方向的波數(shù)，即垂直波數(shù)；B1、B2、C3、B4、C5分別是五個(gè)波的振幅。它們都是復(fù)數(shù)，這是與完全彈性介質(zhì)的不同之處。由廣義Snell定律知，五個(gè)波的水平波數(shù)都相等，入射P波和反射P波的垂直波數(shù)都相等［5、6］。

根據(jù)Q值表達(dá)式，定義縱橫波品質(zhì)因子［7］：

其中 QP和QS分別是縱波和橫波的品質(zhì)因子；λ和μ為拉梅系數(shù)，是復(fù)數(shù)；下標(biāo)“R”和“I”分別表示對(duì)應(yīng)量的實(shí)部和虛部。

用相速度和品質(zhì)因子表示復(fù)波數(shù)，用復(fù)波數(shù)定義，可推導(dǎo)出復(fù)橫波數(shù)和復(fù)縱波數(shù)的表達(dá)式：

一般地，傳播矢量和衰減矢量是不平行的，這時(shí)的波稱為非均勻波。特殊地，當(dāng)傳播矢量的夾角為零時(shí)，波是均勻波。

由式（8）和式（10）得到

由式（11）的實(shí)部和虛部相等求解，可得：

同理可得P波的傳播矢量和衰減矢量。

由質(zhì)點(diǎn)的位移分量與位移位的關(guān)系，可得到位移表達(dá)式（14）。

由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和位移位關(guān)系得到應(yīng)力表達(dá)式

分別把介質(zhì)“1”和介質(zhì)“2”中的位移位函數(shù)帶入位移和應(yīng)力表達(dá)式，其中下標(biāo)“1”和“2”分別表示介質(zhì)“1”和“2”中的量。在界面z＝0處，這五個(gè)波應(yīng)滿足位移連續(xù)和應(yīng)力連續(xù)，進(jìn)而可推導(dǎo)得到如下精確的Zoeppritz方程（16）：

2 粘彈性介質(zhì)地震波傳播及反射特征分析

通過(guò)上面的粘彈性介質(zhì)精確的Zoeppritz方程推導(dǎo)，可以看出粘彈性介質(zhì)的復(fù)波數(shù)是通過(guò)傳播矢量和衰減矢量來(lái)表示的，其中復(fù)波數(shù)的實(shí)部是傳播矢量，虛部是衰減矢量。下面以縱波為例，分析縱波的傳播矢量、衰減矢量分別與衰減角、品質(zhì)因子、速度之間的關(guān)系。圖2和圖3分別是當(dāng)頻率為30Hz、速度為2 000m/s時(shí)，傳播矢量和衰減矢量隨衰減角和品質(zhì)因子的變化關(guān)系圖。從圖2及圖3中可以看出，只有當(dāng)衰減角比較大時(shí)，衰減角對(duì)傳播矢量和衰減矢量的影響較大，在接近90°時(shí)，達(dá)到最大，而當(dāng)衰減角較小時(shí)，影響不大。品質(zhì)因子對(duì)傳播矢量的影響較小。

為了便于分析，我們從中抽取了幾道進(jìn)行比較，如下頁(yè)圖4所示，其中不同的曲線代表不同的衰減角。從圖4中可以看出，衰減角越大，品質(zhì)因子越小，對(duì)傳播矢量和衰減矢量的影響越大。但是無(wú)論是衰減角還是品質(zhì)因子，對(duì)衰減矢量的影響都大于對(duì)傳播矢量的影響。圖5（見(jiàn)下頁(yè)）是在不同品質(zhì)因子下傳播矢量和衰減矢量隨衰減角的變化關(guān)系。從圖5中可以看出，當(dāng)衰減角在0°到40°時(shí)衰減角對(duì)傳播矢量和衰減矢量的影響幾乎為零；當(dāng)衰減角在40°到60°時(shí)，衰減角對(duì)傳播矢量和衰減矢量的影響很小，尤其是傳播矢量，幾乎為零；當(dāng)衰減角大于60°時(shí)，影響較大，并且隨著衰減角的增大影響越大。通過(guò)以上結(jié)論可以看出，當(dāng)衰減角在0°到60°時(shí)，對(duì)傳播矢量和衰減矢量的影響都不大因此在下面的討論中，假定衰減角為30°。

下頁(yè)圖6和圖7是衰減角為30°，速度為2 000m/s時(shí)，傳播矢量和衰減矢量隨頻率和品質(zhì)因子的變化關(guān)系。下頁(yè)圖8是從中抽取的幾道進(jìn)行比較，其中不同的曲線代表不同的Q值。從圖6～圖8中可以看出，頻率對(duì)傳播矢量的影響是線性的，頻率越高，傳播矢量越大，品質(zhì)因子對(duì)傳播矢量的影響很小，幾乎為零。而當(dāng)品質(zhì)因子一定時(shí)，衰減矢量隨著頻率的增大而線性增大，品質(zhì)因子越小，衰減矢量增加得就越大。當(dāng)品質(zhì)因子大到一定值時(shí)，衰減矢量幾乎為零，即頻率和品質(zhì)因子對(duì)衰減矢量的影響幾乎為零。

后面圖9和圖10是當(dāng)衰減角為30°，頻率為30Hz時(shí)，傳播矢量和衰減矢量隨縱波速度和品質(zhì)因子的變化關(guān)系。從圖9及圖10中可以看出，速度越小，傳播矢量和衰減矢量就越大。并且隨著速度的增大，傳播矢量減少的很快，近似為線性，衰減矢量則衰減較慢。當(dāng)品質(zhì)因子較大時(shí)，衰減矢量接近于零，速度對(duì)衰減矢量的影響也接近于零。圖11（見(jiàn)后面）是從中抽取的不同道進(jìn)行比較，其中不同的線代表不同的品質(zhì)因子。從圖11中也可以看出，當(dāng)衰減角、頻率一定時(shí)，品質(zhì)因子對(duì)傳播矢量的影響幾乎為零，對(duì)衰減矢量影響較大，品質(zhì)因子越小，衰減矢量隨著速度的增加，衰減的越快。

上面的分析是分別針對(duì)傳播矢量和衰減矢量進(jìn)行的。下面通過(guò)求解粘彈性介質(zhì)精確的Zoeppritz方程，分析縱波和轉(zhuǎn)換波反射系數(shù)的變化特征［8］。表1（見(jiàn)后面）是典型AVO模型的彈性參數(shù)表，參數(shù)分別表示縱波速度、橫波速度、密度、縱波品質(zhì)因子和橫波品質(zhì)因子。首先與彈性介質(zhì)縱波反射系數(shù)特征進(jìn)行比較，將表1的參數(shù)帶入粘彈性介質(zhì)精確的Zoeppritz方程，求解出不同衰減角的縱波反射系數(shù)模，如圖12所示（見(jiàn)后面）。圖12（a）是不同衰減角的縱波反射系數(shù)模與彈性介質(zhì)縱波反射系數(shù)模隨入射角的變化關(guān)系。從圖12中可以看出，在小于臨界角時(shí)，兩者差異較小；在大于等于臨界角時(shí)，差異較大，尤其是臨界角附近，并且衰減角越大，差異越大。圖12（b）是不同衰減角的縱波反射系數(shù)模與彈性介質(zhì)縱波反射系數(shù)模的差值隨入射角的變化關(guān)系，也可以看出在小于臨界角時(shí)，差值在5%的范圍內(nèi)，衰減角越小，差異越小，在大于等于臨界角時(shí)，差異較大，尤其是臨近角附近。為了進(jìn)一步了解粘彈性介質(zhì)的反射特征，利用表1的數(shù)據(jù)，得到縱波反射系數(shù)隨入射角和衰減角的變化關(guān)系［9］，如下頁(yè)圖13（a）所示。下頁(yè)圖13（b）是從中抽取的不同道進(jìn)行比較，其中不同的線代表不同的衰減角。從圖13中可以看出，當(dāng)入射角小于等于臨近角時(shí)，衰減角對(duì)縱波反射系數(shù)模的影響不大；當(dāng)入射角大于臨近角時(shí)，衰減角對(duì)縱波反射系數(shù)的影響較大，衰減角越大，影響越大。

下頁(yè)圖14（a）是轉(zhuǎn)換波反射系數(shù)的模隨入射角和衰減角的變換關(guān)系，下頁(yè)圖14（b）是從中抽取的幾道數(shù)據(jù)，其中不同的曲線代表不同的衰減角從圖14中同樣可以看出，當(dāng)衰減角比較大時(shí)，對(duì)轉(zhuǎn)換波的反射系數(shù)影響較大；當(dāng)衰減角比較小時(shí)，影響很小，尤其是在小角度入射時(shí)，影響更小。

表1 典型AVO模型的彈性參數(shù)Tab.1 The elastic parameters of typical AVO model

表2也是典型AVO模型的彈性參數(shù)表，參數(shù)分別表示縱波速度、橫波速度、密度、縱波品質(zhì)因子和橫波品質(zhì)因子，其中透射介質(zhì)的縱波品質(zhì)因子是變化的［10］。由上面的分析可知，當(dāng)衰減角在0°～60°時(shí)，影響不大，因此假定衰減角為30°。下頁(yè)圖15（a）是不同品質(zhì)因子的縱波反射系數(shù)模與彈性介質(zhì)縱波反射系數(shù)模隨入射角的變化關(guān)系，圖15（b）是兩者的差值隨入射角的變化曲線。從圖15中可以看出，在小于臨界角時(shí)，兩者差值非常小，幾乎為零；在大于臨近角時(shí)，差值較大，尤其是臨近角附近，并且品質(zhì)因子越小，差值越大。同時(shí)可以得到縱波反射系數(shù)模隨入射角和品質(zhì)因子的變化關(guān)系，如下頁(yè)的圖16（a）所示。圖16（b）（見(jiàn)下頁(yè)）是從中抽取的幾道數(shù)據(jù)，其中不同的曲線代表不同的品質(zhì)因子。從圖16中可以看出，當(dāng)衰減角一定且入射角在臨近角附近時(shí)，品質(zhì)因子對(duì)縱波反射系數(shù)模的影響較大。在大于或小于臨近角時(shí)，影響都不是很大。

表2 典型AVO模型的彈性參數(shù)Tab.1 The elastic parameters of typical AVO model

圖17（a）（見(jiàn)后面）是轉(zhuǎn)換波反射系數(shù)模隨入射角和品質(zhì)因子的變化關(guān)系，圖17（b）（見(jiàn)后面）是從中抽取的幾道數(shù)據(jù)，不同的曲線代表不同的品質(zhì)因子。從圖17中可以看出，當(dāng)衰減角一定時(shí)，在臨近角附近，品質(zhì)因子對(duì)轉(zhuǎn)換波反射系數(shù)影響較大品質(zhì)因子越小，影響越大。當(dāng)入射角小于臨近角時(shí)，品質(zhì)因子越小，轉(zhuǎn)換波波反射系數(shù)模越大，而當(dāng)入射角大于臨近角時(shí)，品質(zhì)因子越小，轉(zhuǎn)換波反射系數(shù)模越小。

3 結(jié)論與認(rèn)識(shí)

粘彈性介質(zhì)與彈性介質(zhì)相比，更加接近于實(shí)際的地層介質(zhì)，因此，隨著地震勘探的發(fā)展，對(duì)粘彈性介質(zhì)的研究是非常必要而有意義的［11～14］。作者在本文通過(guò)對(duì)粘彈性介質(zhì)精確的Zoppritz方程求解與分析，得到了如下結(jié)論：

（1）衰減角對(duì)傳播矢量的影響小于對(duì)衰減矢量的影響，當(dāng)衰減角為0°到60°時(shí)影響較小。

（2）頻率對(duì)傳播矢量和衰減矢量的影響是線性的，并且當(dāng)衰減角一定時(shí)，頻率越大，傳播矢量和衰減矢量也越大。

（3）速度對(duì)傳播矢量和衰減矢量的影響也是接近于線性的，速度越大，傳播矢量和衰減矢量越小

（4）當(dāng)入射角小于臨近角時(shí)，衰減角對(duì)縱波反射系數(shù)、轉(zhuǎn)換波反射系數(shù)的影響較?。划?dāng)入射角大于臨近角時(shí)，衰減角對(duì)縱波反射系數(shù)、轉(zhuǎn)換波反射系數(shù)的影響增大。

（5）當(dāng)入射角在臨近角附近時(shí)，品質(zhì)因子對(duì)縱波反射系數(shù)、轉(zhuǎn)換波反射系數(shù)的影響較大；在大于臨近角和小于臨近角時(shí)，影響不大。

在實(shí)際資料應(yīng)用中，粘彈性介質(zhì)Zoppritz方程除了需要縱橫波速度與密度外，還需要品質(zhì)因子參數(shù)，可以通過(guò)疊前地震資料S域譜比法，求取井位置處的品質(zhì)因子曲線［11］，然后計(jì)算反射系數(shù)當(dāng)然該方程在實(shí)際資料的應(yīng)用中還需要做進(jìn)一步的探討，例如方程的簡(jiǎn)化等。

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book=123,ebook=123

1001—1749（2012）03—0258—09

P 631.4＋11

A

10.3969/j.issn.1001－1749.2012.03.04

王小杰（1983－），女，博士，現(xiàn)從事地球物理方面的工作。

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究計(jì)劃（973）項(xiàng)目（2007CB209605）

2011－12－28改回日期：2012－02－24