夏均忠，劉遠宏，馬宗坡，冷永剛，安相璧

(1.軍事交通學院 汽車工程系，天津 300161;2.天津大學 機械工程學院，天津 300072)

隨機共振(Stochastic Resonance，SR)的概念是由Benzi等［1－2］在研究古氣象冰川演化問題時首次提出的。Fauve等［3］在Schmitt觸發(fā)器的實驗中首次觀察到了SR現(xiàn)象，實驗中觀察到了“共振”形狀的單峰曲線，增加輸入噪聲不僅不降低反而迅速增加輸出的信噪比。此后，McNamara等［4］在雙穩(wěn)態(tài)激光器中再次觀察到了SR現(xiàn)象，實驗中，用聲頻信號調(diào)制激光模的兩個運動方向，噪聲的加入可以改變信號對系統(tǒng)的調(diào)制能力;固定信號強度，而使噪聲強度從小變大，可觀察到SR現(xiàn)象。這種由噪聲產(chǎn)生的積極效應為強噪聲背景下微弱信號的檢測開創(chuàng)了新方法。

隨機共振是一種非線性現(xiàn)象，噪聲干擾下的信號作用于某一類非線性系統(tǒng)，信號和噪聲在非線性系統(tǒng)的協(xié)同作用下，會發(fā)生噪聲能量向信號能量的轉(zhuǎn)移，產(chǎn)生類似力學中人們熟知的共振輸出，從而提高信噪比達到識別弱信號的目的。傳統(tǒng)的時域、頻域或時頻分析方法在濾去噪聲的同時，信號也有所損失［5］;而隨機共振利用噪聲和信號的協(xié)同作用，當噪聲強度從小到大逐漸增強時，輸出信噪比大幅度增強，且存在某一最佳輸入噪聲強度，使系統(tǒng)的輸出信噪比達到峰值。當噪聲強度過高或過低時，輸出信噪比會顯著降低［6］。

由于隨機共振絕熱近似理論、本征值理論或線性響應理論的研究對象必須是小參數(shù)對象，即輸入的信號幅度和頻率以及噪聲的強度都必須遠小于1［7］。因此，當輸入?yún)?shù)不為小參數(shù)(稱為大參數(shù))的時候，如強噪聲干擾的高頻工程信號等，在信號處理過程中，經(jīng)典隨機共振理論將失效而無法使用。如何應用隨機共振理論或方法從強干擾噪聲中檢測出含有特征工況(如早期故障)的微弱信號?文獻［8－10］提出了二次采樣隨機共振(變尺度隨機共振)解決上述問題。本文深入研究非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振機理，提出調(diào)制隨機共振的方法解決上述問題。

1 雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機共振

實現(xiàn)隨機共振的三個基本要素為具有勢能壘的非線性系統(tǒng)，內(nèi)或外噪聲源和輸入信號。雙穩(wěn)系統(tǒng)是一種典型的非線性系統(tǒng)，在物理、化學等自然科學領域有著廣泛的應用。具有雙勢阱性質(zhì)的朗之萬方程是描述雙穩(wěn)系統(tǒng)的典型模型［11］:

其中a、b為雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)，S(t)=Acos(2πf0t)為被測信號，A為信號幅值，f0為信號頻率。為白噪聲，D為噪聲強度，g(t)為均值為0，方差為1的白噪聲。Γ(t)滿足統(tǒng)計平均〈Γ(t)〉 =0，〈Γ(t)Γ(tτ)〉=2Dδ(τ)。雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機共振模型如圖1所示，x(t)為系統(tǒng)輸出信號，非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)用其勢函數(shù)表示。勢函數(shù)曲線如圖2所示。

圖1 雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機共振模型Fig.1 The model of stochastic resonance of bistable system

(1)A=0，Γ(t)=0時，給定初值 x0＞0或 x0＜0，當t→∞時，x(t)將無限逼近勢阱;同時兩勢阱被一高度為ΔV=a2/4b的勢壘隔開。勢壘高度描述了從某一勢阱躍遷到另一勢阱所需克服的勢差。而當x0=0時，系統(tǒng)輸出x(t)=0。

圖2 雙穩(wěn)系統(tǒng)勢函數(shù)曲線圖Fig.2 The curve of potential function of bistable system

(2)A=0，Γ(t)≠0時，x(t)在兩勢阱間按 Kramers躍遷率rk進行躍遷切換［12］。rk取決于噪聲分布與強度D，計算式為:

其中S1(f)是由輸入信號引起的，它與輸入信號同頻;S2(f)是由噪聲引起的，它具有洛倫茲分布形式，即噪聲能量集中在低頻區(qū)［13］。發(fā)生隨機共振時，信號頻率處的譜峰處于噪聲能量集中的低頻區(qū)域，可以認為慢變的弱周期信號在噪聲能量的驅(qū)動下，能夠在兩勢阱之間以信號頻率做大幅度的來回躍遷運動，從而使系統(tǒng)輸出具有最佳信噪比，系統(tǒng)輸出功率譜在信號頻率f0處，會出現(xiàn)一峰值。

2 調(diào)制隨機共振

由上述可知，隨機共振理論成立的假設條件是要求輸入信號幅值、頻率以及噪聲強度必須限制在小參數(shù)范圍內(nèi)?，F(xiàn)研究對象為被噪聲湮沒的信號即微弱信號，如旋轉(zhuǎn)機械的早期故障信號。這類信號的特點是其具有較低的信噪比，常要求能夠在線、實時地提取故障特征信息。為了利用隨機共振實現(xiàn)微弱信號檢測，引入調(diào)制隨機共振。

其基本思想將被測信號用載波信號進行調(diào)制后作為雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸入，調(diào)制后的低頻信號部分滿足小參數(shù)的隨機共振條件要求，因而能產(chǎn)生隨機共振。然后對系統(tǒng)輸出信號進行解調(diào)處理，得到被測信號。調(diào)制隨機共振信號檢測原理如圖3所示，其中振蕩器是調(diào)制載波源，其輸出是頻率為fc可變的載波信號:

輸入信號S(t)和高斯白噪聲Γ(t)被載波信號Vc(t)調(diào)制后的輸出信號Vm(t)為:

由文獻［14］可知，調(diào)制白噪聲Γ(t)cos(2πfct)仍為高斯白噪聲。令輸入信號S(t)經(jīng)調(diào)制后信號為Sm(t)，利用三角函數(shù)公式可得到:

記 Δf=f0－ fc，∑f=f0+fc，調(diào)節(jié) fc的大小改變 Δf，從而產(chǎn)生易在雙穩(wěn)系統(tǒng)中形成隨機共振的低頻信號Sm1(t)。

圖3 調(diào)制隨機共振信號檢測原理Fig.3 The signal detection method of modulated stochastic resonance

3 數(shù)值仿真分析

公式(1)中的各參數(shù)分別取值a=b=1，信號幅值A=0.3、頻率 f0=0.01 Hz，D=0.6。采用四階龍格—庫塔方法進行數(shù)值求解，計算步長h=1/fs。采樣頻率fs=5 Hz時，h=0.2。雙穩(wěn)系統(tǒng)輸入與輸出信號的時域波形與功率譜如圖4所示。利用Welch功率譜估計方法計算功率譜［15］。輸出信號功率譜中信號頻率f0=0.01 Hz處出現(xiàn)了峰值，且譜峰值遠大于輸入信號功率譜，即產(chǎn)生了隨機共振。

圖4 f0=0.01 Hz，fs=5 Hz時，系統(tǒng)輸入與輸出信號的時域波形與功率譜Fig.4 The bistable system input and output signals in time domain waveforms and power spectrum at f0=0.01 Hz，fs=5 Hz

信號頻率f0=50 Hz，采樣頻率fs=2 500 Hz，其他參數(shù)保持不變。未經(jīng)載波信號調(diào)制時，該較高頻率信號輸入雙穩(wěn)系統(tǒng)，其輸出信號的時域波形與功率譜如圖5所示。系統(tǒng)輸出功率譜信號頻率f0=50 Hz處的譜值較小，幾乎被噪聲淹沒。而采用載波信號調(diào)制后，系統(tǒng)輸出信號的時域波形與功率譜如圖6所示，其中調(diào)制頻率fc=49.99 Hz，fs=5 Hz。調(diào)制后雙穩(wěn)系統(tǒng)輸入信號包括頻率f0－fc=Δf=0.01 Hz和f0+fc=∑f=99.99 Hz，輸出信號的功率譜低頻段0.01 Hz(對應的信號頻率f0=fc+Δf=50 Hz)處出現(xiàn)了譜峰，且譜峰值遠大于信號未經(jīng)調(diào)制時的系統(tǒng)輸出功率譜50 Hz(信號頻率)處的譜值。輸出信號的功率譜高頻段99.99 Hz(圖中未表示)處不會出現(xiàn)譜峰，原因是調(diào)制后的雙穩(wěn)系統(tǒng)輸入信號頻率99.99 Hz不符合隨機共振發(fā)生的條件。因此，應用調(diào)制隨機共振能夠有效檢測噪聲干擾下具有較高頻率的微弱特征信號。

4 工程應用

4.1 實驗裝置

實驗裝置由驅(qū)動電機、壓電式加速度傳感器、聯(lián)軸器、軸編碼器、扭矩傳感器和負載等組成，如圖7所示。

圖7 實驗裝置示意圖Fig.7 The schematic diagram of experimental device

被測軸承為驅(qū)動電機輸出軸的支撐軸承，型號為SKF 6205，其尺寸參數(shù)見表1。應用振動分析法，通過布置在軸承座徑向載荷方向上的壓電式加速度傳感器拾取軸承的振動信號，該信號經(jīng)過電荷放大器、抗混濾波器、數(shù)據(jù)采集卡，到達計算機數(shù)據(jù)總線，完成數(shù)據(jù)采集。驅(qū)動電機的轉(zhuǎn)速由軸編碼器測取，負載大小由扭矩傳感器獲取。

表1 SKF 6205軸承尺寸參數(shù)Tab.1 The SKF 6205 bearing parameters

4.2 實驗結(jié)果分析

實驗采用內(nèi)圈出現(xiàn)點蝕故障軸承。轉(zhuǎn)速N為1 772 r/min，滾動軸承內(nèi)圈點蝕故障特征頻率［16］為:

式中:f0為內(nèi)圈點蝕故障的特征頻率，α為接觸角。

采樣頻率為12 kHz，采樣點數(shù)為2 048，振動信號局部時域波形和功率譜如圖8所示，其故障特征信息較弱。

圖8 振動加速度信號Fig.8 The vibration acceleration signal

雙穩(wěn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)取值分別為 a=0.01、b=1，采用調(diào)制頻率fc=159.94 Hz的載波信號對采集的軸承內(nèi)圈點蝕故障特征信號進行調(diào)制。載波調(diào)制后，信號中含有頻率成分f0－fc=Δf=0.02 Hz和f0+fc=∑f=319.90 Hz，輸入雙穩(wěn)系統(tǒng)，其輸出信號功率譜如圖9(b)所示。圖中頻率0.02 Hz處出現(xiàn)了譜峰，且譜峰值較大，說明發(fā)生了隨機共振現(xiàn)象。頻率0.02 Hz對應調(diào)制前內(nèi)圈點蝕故障的特征頻率f0=fc－Δf=159.94+0.02=159.96 Hz，故障特征信號得到有效識別。輸出信號功率譜319.90 Hz(圖中未表示)處不會出現(xiàn)共振譜峰，因為該信號頻率不滿足隨機共振發(fā)生的條件。

將采集的軸承內(nèi)圈點蝕故障特征信號直接輸入具有上述結(jié)構(gòu)參數(shù)的雙穩(wěn)系統(tǒng)，其輸出信號功率譜如圖9(a)所示。軸承內(nèi)圈點蝕故障特征頻率f0=159.96處，譜峰值很小，不能有效辨別。

圖9 輸出信號的功率譜Fig.9 Output signal power spectrum

5 結(jié)論

將隨機共振理論應用到工程實際信號處理過程中時，常因待處理的信號不符合隨機共振發(fā)生的條件而受到限制。論文在研究典型非線性系統(tǒng)－雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振發(fā)生機理和條件要求的基礎上，引入頻率調(diào)制技術(shù)將系統(tǒng)輸入端的信號用載波信號調(diào)制，將調(diào)制后的信號作用于雙穩(wěn)系統(tǒng)。調(diào)制后系統(tǒng)輸入信號同時含有低頻和高頻成分，低頻信號滿足隨機共振發(fā)生的條件要求，經(jīng)雙穩(wěn)系統(tǒng)可以產(chǎn)生隨機共振，即調(diào)制隨機共振。數(shù)值仿真分析表明產(chǎn)生調(diào)制隨機共振時，系統(tǒng)輸出功率譜中對應信號頻率處出現(xiàn)較大的譜峰，且譜峰值更突出、明顯而易于捕捉。驅(qū)動電機輸出端支撐軸承點蝕故障特征頻率的檢測進一步驗證了調(diào)制隨機共振在微弱周期信號檢測中的有效性。

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