楊雪敏，鄭治波，狄華斐

(1.云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650092;2.云南民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

研究三維Navier－Stokes具有非常重要的意義，但我們很難求得此方程的精確解.目前就理論上做了少量工作，構(gòu)造了部分精確解.理論上進(jìn)展緩慢，主要是人們不知道從何處入手.然而，數(shù)值解將會提供一些信息.本文研究如下形式的三維 Navier－ Stokes 方程［1－2］:

其中，F(xiàn)=F(u，v，w，t).u=u(x，y，z，t)，v=v(x，y，z，t)，w=w(x，y，z，t)分別表示流體的速度，p(x，y，z，t)是壓強(qiáng).方程(1)可以被寫成:

1 三維Navier－Stokes方程向前差分格式的解與精確解的誤差

1.1 討論三維Navier－Stokes方程向前差分格式

首先，我們建立(2)式的向前差分格式，在建立之前，設(shè)

M是一個給定的正整數(shù)，對于三維空間區(qū)域作網(wǎng)格剖分，取空間方向步長為，時(shí)間方向步長為τ，而且分別記:

于是三維Navier－Stokes方程向前差分格式:

我們把(3)式進(jìn)行化簡整理得到:

1.2 畫圖誤差

我們找到方程的一個精確解:

用我們編寫的MATLAB程序求解，得出如下圖:

圖1 t=1～3時(shí)(從行看)相應(yīng)的差分的解的圖真值圖，兩者的比較圖，兩者之間的誤差圖

圖2 t=4～6時(shí)(從行看)相應(yīng)的差分的解的圖真值圖，兩者的比較圖，兩者之間的誤差圖

圖3 t=7～9時(shí)(從行看)相應(yīng)的差分的解的圖真值圖，兩者的比較圖，兩者之間的誤差圖

1.3 誤差分析

圖1～3分別為t=1～9(從行看)時(shí)，相應(yīng)的差分的解的圖，真值圖，兩者的比較圖，兩者之間的誤差圖.可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)t=1～3時(shí)，吻合程度較好;隨著時(shí)間的推移，吻合程度越來越差，變化程度越來越劇烈.

2 三維Navier－Stokes方程向后差分格式的解與精確解的誤差

2.1 討論三維Navier－Stokes方程向后差分格式

和前面的相同，我們構(gòu)造了三維Navier－Stokes方程向后差分格式:

我們把(4)中的3個等式進(jìn)行化簡得到:

圖4 t=1～3時(shí)(從行看)相應(yīng)的差分的解的圖真值圖，兩者的比較圖，兩者之間的誤差圖

圖5 t=4～6時(shí)(從行看)相應(yīng)的差分的解的圖真值圖，兩者的比較圖，兩者之間的誤差圖

圖6 t=7～9時(shí)(從行看)相應(yīng)的差分的解的圖真值圖，兩者的比較圖，兩者之間的誤差圖

2.2 畫圖誤差

同樣我們采用精確解作為方程的初值.用我們自己編寫的MATLAB程序得到圖4～圖6.

2.3 誤差分析

圖4～圖6分別為t=1～9(從行看)時(shí)，相應(yīng)的差分格的解的圖，真值圖，兩者的比較圖，兩者之間的誤差圖.可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)t=1～3時(shí)，吻合程度較好.隨著時(shí)間的推移，吻合程度越來越差，變化程度越來越劇烈.

3 結(jié)論

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)t=1～3時(shí)，吻合程度較好;隨著時(shí)間的推移，吻合程度越來越差，變化程度越來越劇烈.以上采用的時(shí)間步長為0.1，采用不同的時(shí)間步長后我們又發(fā)現(xiàn)時(shí)間步長越小，差分解的精確性越高.我們也可以采用不同的差分格式對此方程進(jìn)行分析，不同的差分格式在不同的時(shí)間段吻合程度不同.

［1］Teman R.Navier－Stokes equations，theory and numerical analysis［M］.Studies in Math.and Its Applications No.2.Amsterdam －NewYork－Oxford，North－Holland，1977.

［2］Scheffer V.The Navier－ Stokes equations in space dimension four［J］.Comm.Math.Phys.，1978(61):41－68.

［3］韓旭里，萬中.數(shù)值分析與實(shí)驗(yàn)［M］.北京:科學(xué)出版社，2006.

［4］John H，Mathews Kurtis D.Fink數(shù)值方法(第4版)［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2005.

［5］袁慰平.計(jì)算方法與實(shí)習(xí)［M］.南京:東南大學(xué)出版社，2005.

［6］陸會甫，關(guān)治.偏微分方程數(shù)值解法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2004:13－18.

［7］余德浩，湯華中.偏微分方程數(shù)值解法［M］.北京:科學(xué)出版社，2003:101－106.