吳 笛，劉 文

(武漢理工大學(xué)理學(xué)院，湖北武漢 430070)

概率密度估計既是傳統(tǒng)的概率論與數(shù)理統(tǒng)計的重點，也是統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論的重要研究內(nèi)容［1］。在解決統(tǒng)計學(xué)習(xí)問題的傳統(tǒng)模式中，模式識別和回歸估計都建立在密度估計的基礎(chǔ)之上［2］。且概率密度估計在實際中有廣泛的應(yīng)用，如電子器件壽命估計和排隊論等。但在實際應(yīng)用中很多時候并不知道概率密度的分布，這時可根據(jù)樣本點進行回歸分析得到實際概率密度的一個近似估計。目前的概率密度估計方法主要分為參數(shù)估計和非參數(shù)估計兩大類。參數(shù)估計方法具有較大的局限性，其前提是已知數(shù)據(jù)密度符合某種分布，但問題在于如何確定密度函數(shù)中的參數(shù)，這種方法強烈依賴于前提假設(shè)，一旦假設(shè)錯誤，估計值就無法較好地反映真實值。非參數(shù)估計具有更廣的應(yīng)用范圍，并且已經(jīng)得到了廣泛研究，提出了核估計和近鄰估計等方法。然而上述方法需要用到所有的訓(xùn)練樣本以估計出概率密度，當(dāng)訓(xùn)練樣本非常多時，計算量非常大并不實用［3］。長期以來，人們希望尋求一種既可減少計算量又可保持估計精度的求解方法。正則化理論［4］的引入較好地解決了這一問題，利用懲罰項來得到偏移-方差平衡，防止概率密度過度擬合的發(fā)生。筆者將概率密度的估計轉(zhuǎn)化成一類線性算子方程問題的求解，并根據(jù)算子方程核矩陣奇異值的性質(zhì)，構(gòu)建了概率密度估計的TSVD正則化方法［5-7］，同時將其與估計概率密度的K+線性Bregman迭代正則化方法［8-10］進行比較分析。

1 概率密度估計問題的描述

根據(jù)概率密度的定義，密度估計是一個求解第一類Fredholm積分方程的問題，如:

對式(1)，概率密度函數(shù)p(x)須同時滿足如下條件:

在實際應(yīng)用中，往往只考慮區(qū)間［a，b］上的概率密度估計問題，對于已知的獨立同分布數(shù)據(jù)x=(x1，x2，…，xM)，此時的經(jīng)驗分布函數(shù) FM(x)可由x來構(gòu)造，即:

其中指示函數(shù)θ(x)為:

筆者的目的是將概率密度估計問題轉(zhuǎn)化為線性算子方程，然后利用截斷奇異值分解(truncated singular value decomposition，TSVD)方法進行求解。根據(jù)式(2)～式(4)的定義，可將式(1)離散成如下的線性算子方程:

其中，核矩陣K為0-1矩陣。在實際問題中右端項F(x)通常包含噪聲，給右端項F(x)一個很小的擾動都會使得式(5)的解產(chǎn)生巨大的震蕩現(xiàn)象，無法對概率密度函數(shù)p(x)進行準(zhǔn)確估計。這時式(1)和式(5)就變?yōu)橐粋€不適定問題。因此，筆者將采用計算量較小的TSVD正則化方法估計概率密度函數(shù)p(x)。

2 基于TSVD的概率密度估計

2.1 概率密度估計的TSVD正則化方法

假設(shè)實際觀察中式(5)右端項為Fδ(x)，則:

其中，δ為誤差水平。

根據(jù)核矩陣K基于指示函數(shù)θ(x)的定義，對核矩陣K進行奇異值分解(singular value decomposition，SVD)，以便分析其性質(zhì)，構(gòu)建求解式(5)的正則化方法。以100×100大小的核矩陣K為例，對應(yīng)奇異值的分布情況如圖1所示。

圖1 核矩陣K(100×100)奇異值的分布情況

由圖1可知，核矩陣K的能量主要集中在少數(shù)幾個數(shù)值較大的奇異值上。KIRSCH指出不適定問題解的不穩(wěn)定性的根源在于緊算子的奇異值有趨于零的性質(zhì)，由此引入TSVD正則化方法來減弱或濾掉奇異值趨于零的性質(zhì)對解的穩(wěn)定性影響，并對核矩陣K進行奇異值分解得到:

其中，奇異值 si=S(i，i)(i=1，2，…，M)，且ui和vi分別為酉矩陣U和V的行向量，滿足以下性質(zhì):

根據(jù)式(7)，此時式(5)可轉(zhuǎn)化為:

利用行向量ui和vi的性質(zhì)，根據(jù)式(9)和式(10)可求得概率密度函數(shù)為:

式(11)中的奇異值si隨著i增加逐漸趨于0，而1/si將趨于無窮大。此時式(5)的解不連續(xù)依賴于右端的數(shù)據(jù)，當(dāng)右端數(shù)據(jù)F(x)存在誤差時，方程的解與真解間存在較大的誤差，無法得到準(zhǔn)確的概率密度函數(shù)p(x)。因此，有必要在保證概率密度函數(shù)估計值滿足ε的基礎(chǔ)上，對奇異值si進行截斷來保證方程解的穩(wěn)定性，則此時的概率密度函數(shù)估計值為:

其中，k(1≤k≤M)為正則化參數(shù)，以控制奇異值si的截斷。

2.2 TSVD正則化方法的收斂性分析

研究重點在于根據(jù)概率密度的定義，將概率密度的估計轉(zhuǎn)化成第一類Fredholm算子方程的求解問題，然后利用能保證正則解誤差具有漸進最優(yōu)階的TSVD正則化方法進行求解，以體現(xiàn)TSVD正則化方法在處理概率密度估計問題中的優(yōu)越性。對于TSVD正則化方法的誤差估計、正則化參數(shù)先驗選取及其收斂性和收斂階分析，黃小為等已作了深入研究。針對式(5)，其給出了TSVD正則化方法在概率密度估計問題中的收斂定理1。

定理1 設(shè)式(5)的精確解p+(x)=(K*·K)vz∈R(K*K)v，z∈X(p)且‖z‖2≤E，則對于TSVD正則化方法，若選取正則化參數(shù)k=k(δ)使得成立，則有:

其中:K*為K的伴隨算子;為概率密度的估計值;E∈R為常數(shù);X(p)為實Hilbert空間，且滿足p(x)∈X(p)。該定理說明，TSVD正則化方法可保證概率密度估計值的誤差具有漸進最優(yōu)階，且數(shù)值計算簡單易行，其具體證明過程及相關(guān)性質(zhì)分析請參見文獻［5-6］。

3 實驗結(jié)果及分析

由式(13)產(chǎn)生100個服從正態(tài)分布的隨機樣本:

其中，均值分別為μ1=0和μ2=2，標(biāo)準(zhǔn)差分別為 σ1=1和 σ2，變量 x的取值范圍為［-5，5］。

為了加快求解式(14)的收斂速度，在此利用K+線性Bregman迭代正則化方法對其進行求解，具體迭代過程如下:

其中，K+=KT(KKT)-1，參數(shù) α ＞0，μ ＞0，并定義向量閾值算子為:

根據(jù)前文對TSVD正則化方法的介紹，得到求解概率密度函數(shù)的TSVD方法的迭代過程如下:

迭代循環(huán):

假設(shè)右端數(shù)據(jù)F(x)分別受均值為0，方差為0.001、0.010和0.050的高斯白噪聲的干擾，并利用線性Bregman迭代正則化方法和TSVD正則化方法分別對式(5)進行求解。其中線性Bregman迭代正則化方法中的參數(shù)分別為α=0.8和μ=0.005，則實驗結(jié)果如圖2和表1所示。

圖2 實驗結(jié)果比較分析(噪聲方差為0.001)

由圖2可知，當(dāng)式(5)的右端項F(x)受噪聲干擾時，TSVD正則化方法可以較好地估計概率密度函數(shù)pT(x)，而K+線性Bregman迭代正則化方法易受噪聲的干擾，估計的概率密度函數(shù)pB(x)存在較為明顯的波動，不能較好地逼近真實的概率密度函數(shù)p(x)。由表1可知，當(dāng)噪聲方差分別為0.001、0.010和0.050時，基于 TSVD的概率密度估計要好于線性Bregman迭代正則化方法，顯示出更強的穩(wěn)定性，且更易于編程實現(xiàn)。

表1 線性Bregman與TSVD的實驗結(jié)果比較

其中，假設(shè) f∈IRN:=IR{1，2，…，N}，對于 1≤p ＜∞，則lp范數(shù)可定義為:

4 結(jié)論

筆者在分析核矩陣K的奇異值性質(zhì)的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了概率密度估計的TSVD正則化方法，將概率密度估計問題轉(zhuǎn)化成l1正則化問題，并構(gòu)建了求解該最優(yōu)化問題的K+線性Bregman迭代正則化方法。由實驗結(jié)果可以看出，用TSVD估計的概率密度可以較好地逼近真實的概率密度，較線性Bregman迭代正則化方法表現(xiàn)出更好的估計效果，且更易于編程實現(xiàn)，在不同噪聲水平下表現(xiàn)出更強的穩(wěn)定性。

［1］VLADIMIR N V.統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論的本質(zhì)［M］.張學(xué)工，譯.北京:清華大學(xué)出版社，2000:12-98.

［2］VLADIMIR N V.統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論［M］.許建華，張學(xué)工，譯.北京:電子工業(yè)出版社，2004:87-125.

［3］FUKUNAGA K，HAYES R R.The reduced Parzen classifier［J］.IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，1989，11(4):423-425.

［4］ENGL W，HANKE M，NEUBAUER A.Regularization of inverse problems［M］.Dordrecht:Kluwer Acdemic Publishers，1996:19-76.

［5］黃小為，吳傳生，朱華平.求解不適定問題的TSVD正則化方法［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報，2005，27(2):90-92.

［6］黃小為，吳傳生，李卓球.TSVD正則化方法的參數(shù)選取及數(shù)值計算［J］.華中師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2006，40(2):154-157.

［7］BOUHAMIDI A，JBILOU K，REICHEL L，et al.An extrapolated TSVD method for linear discrete ill-posed problems with Kronecker structure［J］.Linear Algebra and its Applications，2011(7):1677-1688.

［8］CAI J F，OSHER S，SHEN Z W.Linearized Bregman iterations for compressed sensing［J］.Mathematics of Computation，2009(78):1515-1536.

［9］張慧，成禮智.A-線性Bregman迭代算法［J］.計算數(shù)學(xué)，2010，32(1):97-104.

［10］YIN W T，OSHER S，GOLDFARB D，et al.Bregman iterative algorithms for l1-minimization with applications to compressed sensing［J］.SIAM Journal on Imaging Sciences，2008，1(1):143-168.