李 濤，張洵安

(西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院，西安 710129)

巨子型有控結(jié)構(gòu)體系是國(guó)內(nèi)外學(xué)者較為關(guān)注的一種新型結(jié)構(gòu)體系，這種結(jié)構(gòu)體系是在巨型框架結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，解除主結(jié)構(gòu)與子結(jié)構(gòu)之間的約束(見(jiàn)圖1，圖2)，使子結(jié)構(gòu)具有一定的質(zhì)量調(diào)頻功能，形成一種新的結(jié)構(gòu)控制原理和方法［1－4］。MSCSS的構(gòu)造特點(diǎn)，決定了該結(jié)構(gòu)體系具有大跨度的巨型梁，為了減小在豎向荷載作用下的安全隱患，應(yīng)在巨型梁與子結(jié)構(gòu)層之間設(shè)置附加柱，附加柱也是巨子型有控結(jié)構(gòu)體系的構(gòu)造特點(diǎn)之一。

圖1 巨型框架結(jié)構(gòu)Fig.1 Mega frame structure

圖2 巨子型有控結(jié)構(gòu)體系Fig.2 MSCSS

由于附加柱層的附加柱數(shù)量較少，在水平荷載作用時(shí)，附加柱層不可避免地成為結(jié)構(gòu)體系的薄弱層。附加柱對(duì)巨子型有控結(jié)構(gòu)體系在風(fēng)及地震作用下的動(dòng)力響應(yīng)有著較大的影響［5］，隨著對(duì)MSCSS的不斷深入研究，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)，不僅附加柱的數(shù)量對(duì)MSCSS的動(dòng)力特性有較大影響［6］，而且附加柱與巨型梁之間連接方式對(duì)結(jié)構(gòu)的影響也不容忽視，因此有必要對(duì)該層構(gòu)件在不同連接方式情況下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行研究，找到附加柱最合理的連接方式。

近年來(lái)發(fā)展的概率密度演化理論，從狀態(tài)空間描述和隨機(jī)事件描述的不同角度理清了概率守恒原理的物理意義［7］，可以較好地用來(lái)進(jìn)行非線性系統(tǒng)的隨機(jī)反應(yīng)分析。工程結(jié)構(gòu)在具有強(qiáng)烈隨機(jī)性的地震、風(fēng)等的荷載作用下，將會(huì)表現(xiàn)出很強(qiáng)的非線性。以往對(duì)巨子型有控結(jié)構(gòu)體系的研究是基于對(duì)線性確定性系統(tǒng)的分析，所采用的力學(xué)結(jié)構(gòu)計(jì)算參數(shù)及荷載激勵(lì)都是一些確定的數(shù)量?，F(xiàn)有研究表明，只有在本原系統(tǒng)關(guān)于這類(lèi)模型系統(tǒng)的變異性較小時(shí)，上述分析才能給出較為實(shí)際的結(jié)果［8］。為了更準(zhǔn)確地描述當(dāng)材料特性具有隨機(jī)性時(shí)巨子型有控結(jié)構(gòu)體系在隨機(jī)激勵(lì)下的動(dòng)力特性，找到附加柱與巨型梁之間的合理連接形式，本文利用切球點(diǎn)法，確定結(jié)構(gòu)以彈性模量和地震加速度峰值為隨機(jī)變量的代表點(diǎn)，借鑒概率密度演化方法，得出不同連接方式情況下附加柱應(yīng)力的概率密度函數(shù)，求出附加柱應(yīng)力的均值及標(biāo)準(zhǔn)差，在與無(wú)釋放水平約束情況進(jìn)行對(duì)比后，提出釋放附加柱與巨型梁之間的水平約束更有利于提高附加柱層的抗震性能，從而進(jìn)一步完善了MSCSS的構(gòu)造理論。同時(shí)，不規(guī)則的附加柱應(yīng)力概率密度函數(shù)曲線中計(jì)算結(jié)果表明，MSCSS在受到平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵(lì)時(shí)，其附加柱應(yīng)力響應(yīng)為非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，而MSCSS的其它動(dòng)力響應(yīng)的平穩(wěn)性則有待進(jìn)一步研究。

1 概率密度演化方法

1.1 概率密度演化理論

概率密度演化理論的基礎(chǔ)是根據(jù)概率守恒原理，導(dǎo)出廣義的概率密度演化方程，從而獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)概率信息。概率密度演化在求解動(dòng)態(tài)系統(tǒng)響應(yīng)量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律方面實(shí)現(xiàn)了對(duì)客觀系統(tǒng)的正確反映，在統(tǒng)計(jì)規(guī)律從輸入量傳入到輸出量的求解過(guò)程中，降低了計(jì)算的難度和工作量。

對(duì)于一個(gè)n自由度的非線性結(jié)構(gòu)，在考慮結(jié)構(gòu)和激勵(lì)的隨機(jī)性后，其運(yùn)動(dòng)方程可以表示為［10］:

在研究關(guān)鍵部位的應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)，關(guān)鍵截面的內(nèi)力和變形狀態(tài)時(shí)，可以將所要研究的物理量表示為Z=(Z1，Z2，…，Zm)，則 Z 可以表示為:

根據(jù)概率守恒原理，由(Z(t)，Λ)構(gòu)成的系統(tǒng)是概率保守的，聯(lián)合概率密度 pZΛ(z，ζ，t)滿足廣義概率密度演化方程［10］:

初始條件為:

式中z0為Z(t)的初始值，δ(·)是Dirac函數(shù)。通過(guò)數(shù)值積分方法對(duì)方程(5)進(jìn)行求解，可以得到pZΛ(z，ζ，t)，而Z(t)的概率密度函數(shù)可以表示為:

本文中所要考察的物理量為巨子型有控結(jié)構(gòu)體系附加柱的應(yīng)力，因此，m=1，僅需要求解一維偏微分方程。從式(5)可以看出，概率密度的遷移是由結(jié)構(gòu)反應(yīng)的速度引起的［10］。

1.2 隨機(jī)變量空間中離散代表點(diǎn)的選取

概率密度演化方法的核心之一就是在隨機(jī)變量空間中選出離散代表點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行確定性分析，利用差分方法，求解概率密度方程，進(jìn)而獲得結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠度。根據(jù)隨機(jī)變量數(shù)量的不同，可以采用不同的選點(diǎn)方法:當(dāng)僅有一個(gè)隨機(jī)變量時(shí)，可以采用等間距選點(diǎn)方法;有兩至三個(gè)隨機(jī)變量時(shí)，可采用文獻(xiàn)［11］中描述的切球點(diǎn)法進(jìn)行選點(diǎn);有多個(gè)隨機(jī)變量時(shí)，則可以采用文獻(xiàn)［12］中描述的數(shù)論點(diǎn)法進(jìn)行選點(diǎn)。

本文中對(duì)巨子型有控結(jié)構(gòu)體系在地震荷載作用下附加柱應(yīng)力響應(yīng)的分析中，主要考查當(dāng)材料的彈性模量隨機(jī)變化及地震波幅值隨機(jī)變化的情況。這樣，結(jié)構(gòu)材料與激勵(lì)共有兩個(gè)隨機(jī)變量，可采用平面問(wèn)題的切球點(diǎn)法進(jìn)行選點(diǎn)。兩個(gè)隨機(jī)變量為ζ1，ζ2，若λ為標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)變量空間中的選點(diǎn)邊界(對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可取 λ =3.2 ～4.0［11］)，ζ1，ζ2滿足:

若取相外切的等半徑圓的層數(shù)為4層，向外擴(kuò)展1層，則根據(jù)上述選點(diǎn)方法，可選取91個(gè)離散代表點(diǎn)，對(duì)應(yīng)91組彈性模量值和地震波幅值，對(duì)每一組值在SAP2000中進(jìn)行確定性分析，求得附加柱的應(yīng)力及應(yīng)力的變化速度。之后按照式(7)求解附加柱應(yīng)力的概率密度函數(shù)，從而可以求出附加柱應(yīng)力響應(yīng)的均值及標(biāo)準(zhǔn)差。

2 MSCSS有限元模型及動(dòng)力計(jì)算

2.1 有限元模型

MSCSS的有限元模型如圖3所示。

巨子型有控結(jié)構(gòu)采用主框架3層，每子框架各10層。巨結(jié)構(gòu)層高自下而上依次為46 m、48 m、48 m，子結(jié)構(gòu)層高4 m，結(jié)構(gòu)總寬32 m;巨型柱采用橫截面為1.5 m ×1.5 m ×0.04 m 的方鋼，巨型梁采用截面為1.5 m×1.5 m ×0.03 m 的工字鋼。子結(jié)構(gòu)柱截面為0.3 m ×0.3m ×0.01 m 的方鋼，子結(jié)構(gòu)梁截面為 0.3 m×0.3 m×0.008 m的工字鋼。子結(jié)構(gòu)頂部?jī)蓪釉O(shè)置粘滯阻尼器，平面簡(jiǎn)化模型見(jiàn)圖3。

圖3 巨子型有控結(jié)構(gòu)體系簡(jiǎn)化模型Fig.3 MSCSS simplified model

自然界的很多現(xiàn)象都可以近似的用Gauss過(guò)程來(lái)描述，因此，在本次研究中，鋼材彈性模量按照以2.06×1011N/m為均值［13］，變異系數(shù)為0.11正態(tài)分布的隨機(jī)變量考慮，此時(shí)的MSCSS為剛度和阻尼(阻尼矩陣按照質(zhì)量和剛度比例阻尼計(jì)算)均含有隨機(jī)變量的隨機(jī)結(jié)構(gòu);而結(jié)構(gòu)所受到的激勵(lì)幅值為隨機(jī)變量η的Elcetrol地震波，η滿足以6 m/s2為均值，變異系數(shù)為0.11的正態(tài)分布。按照切球點(diǎn)法，選取91組彈性模量及地震波值進(jìn)行確定性分析?？紤]到材料具有包辛格效應(yīng)，在計(jì)算分析過(guò)程中涉及到在塑性階段的反復(fù)加卸載，桿件的恢復(fù)力模型采用雙線型Kinematic Hardening(隨動(dòng)硬化)滯回模型。

圖4 恢復(fù)力曲線Fig.4 Restoring force curve

2.2 動(dòng)力計(jì)算

利用結(jié)構(gòu)計(jì)算軟件SAP2000對(duì)MSCSS進(jìn)行非線性動(dòng)力分析，在彈性模量及激勵(lì)為隨機(jī)變量時(shí)，巨子型有控結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程可以表述為:

采用Hiber-Huges-Taytor(HHT)法進(jìn)行動(dòng)力方程的求解，HHT法本質(zhì)上仍然是Newmark方法的發(fā)展，這一方法是Hughes在1987年提出的。HHT法將α系數(shù)引入并修改結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程，如式(12)所示，并對(duì)之使用Newmark方法進(jìn)行求解。

式中α參數(shù)取值為0～1/3之間［14］。

3 結(jié)果分析

圖4為一條典型地震動(dòng)輸入時(shí)第一子結(jié)構(gòu)第六層的恢復(fù)力與層間位移曲線。從圖中可見(jiàn)，MSCSS已經(jīng)處于強(qiáng)非線性狀態(tài)，利用概率密度演化方法，可以同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)與激勵(lì)隨機(jī)性并相對(duì)比較簡(jiǎn)單地得到結(jié)構(gòu)的非線性地震響應(yīng)的解答。

將巨子型有控結(jié)構(gòu)體系分為解除附加柱與巨型梁之間的水平約束(以下簡(jiǎn)稱(chēng)解除附加柱約束)和不解除附加柱與巨型梁之間水平約束(以下簡(jiǎn)稱(chēng)不解除附加柱約束)兩種情況。

圖5為兩種情況下巨子型有控結(jié)構(gòu)體系附加柱內(nèi)部應(yīng)力的均值曲線圖。實(shí)線為解除附加柱約束情況，虛線為不解除附加柱約束情況。

圖5 應(yīng)力均值曲線Fig.5 Stress mean curve

圖6 應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差值曲線Fig.6 Stress standard deviation curve

圖5中可見(jiàn)，兩種情況的均值都在零值上下微小波動(dòng)，且波動(dòng)幅度較為均勻，因此，MSCSS附加柱在考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)及激勵(lì)隨機(jī)性情況下的應(yīng)力響應(yīng)可以看做是零均值響應(yīng)。

圖6為兩種情況下MSCSS附加柱的標(biāo)準(zhǔn)差曲線圖，同樣，實(shí)線為解除附加柱約束情況，虛線為不解除附加柱約束情況。

從圖6中可以看到，不解除附加柱約束后的附加柱應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差值遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于解除附加柱約束后的應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差值，這說(shuō)明，當(dāng)將附加柱與巨型梁之間的水平約束釋放之后，附加柱內(nèi)部的應(yīng)力較無(wú)釋放約束的附加柱的應(yīng)力大大減小，這使巨子型有控結(jié)構(gòu)體系在地震或風(fēng)荷載作用下，附加柱不會(huì)過(guò)早破壞，在一定程度上提高了結(jié)構(gòu)整體的抗震能力。

圖7為解除附加柱約束后，附加柱應(yīng)力在11.3 s至12.5 s之間的概率密度演化曲面，圖中可以看到，曲面突起部分來(lái)回波動(dòng)，波峰值的高低不同，體現(xiàn)出附加柱應(yīng)力的概率密度的不規(guī)則性。

圖7 附加柱應(yīng)力概率密度演化曲面Fig.7 Stress probability density evolution curve surface

圖8為解除附加柱約束的巨子型有控結(jié)構(gòu)體系附加柱應(yīng)力在5 s、12.4 s及16 s時(shí)的概率密度曲線，從圖中可以看到，附加柱應(yīng)力的概率密度基本上分布在［－1 ×109，1 ×109］N/m2區(qū)間上，且波形的大小、位置均有不同，不同時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的附加柱應(yīng)力概率密度函數(shù)差距較大。

圖8 不同時(shí)刻的應(yīng)力概率密度曲線Fig.8 Stress probability density curves at the different time

Q235鋼材的屈服強(qiáng)度為2.35×108N/m2，極限抗拉強(qiáng)度最小值為 3.75 ×108N/m2［15］，圖 9 為不同時(shí)刻附加柱應(yīng)力達(dá)到屈服強(qiáng)度時(shí)的超越概率，當(dāng)時(shí)間在5.5 s附近時(shí)可達(dá)到最大概率約為6.2%;圖10為不同時(shí)刻附加柱應(yīng)力達(dá)到極限抗拉最小值時(shí)的超越概率，當(dāng)時(shí)間為5.5 s時(shí)最大概率約為4%。

圖11為解除附加柱約束情況下，巨子型有控結(jié)構(gòu)體系附加柱應(yīng)力等概率密度曲線。在附加柱應(yīng)力響應(yīng)的等概率密度相等的情況下，從圖5至圖11可以看到，巨子型有控結(jié)構(gòu)體系在附加柱與巨型梁之間的水平約束被釋放后，雖然均值及標(biāo)準(zhǔn)差值的波動(dòng)較小，看起來(lái)較為規(guī)則，但概率密度函數(shù)的變化相對(duì)要明顯得多。

工程實(shí)際中，隨機(jī)過(guò)程基本上都不是真正平穩(wěn)的，如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程在時(shí)間充分長(zhǎng)的區(qū)間上，其參數(shù)呈現(xiàn)出均勻性，那么這個(gè)隨機(jī)過(guò)程就可以被看作是平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。如僅從圖5、圖6來(lái)看，可以認(rèn)為巨子型有控結(jié)構(gòu)體系在解除附加柱水平約束后，其附加柱應(yīng)力響應(yīng)過(guò)程是一個(gè)二階平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，但通過(guò)附加柱應(yīng)力概率密度的計(jì)算結(jié)果考察，其概率密度函數(shù)呈現(xiàn)出強(qiáng)烈的非均勻性，該響應(yīng)過(guò)程為明顯的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。同時(shí)，從計(jì)算結(jié)果可以看到，由于結(jié)構(gòu)處于非線性受力階段，即使巨子型有控結(jié)構(gòu)體系所受到的激勵(lì)是一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，其在地震作用下的附加柱應(yīng)力響應(yīng)過(guò)程也是非平穩(wěn)的，而在整個(gè)地震動(dòng)過(guò)程中其位移響應(yīng)是否也為非平穩(wěn)過(guò)程，則有待進(jìn)一步的研究。

圖9 不同時(shí)刻附加柱應(yīng)力達(dá)到屈服強(qiáng)度時(shí)的超越概率Fig.9 Probabilistic curve when the additional column stress reaches the yield strength

圖10 不同時(shí)刻附加柱應(yīng)力達(dá)到極限抗拉最小值時(shí)的超越概率Fig.10 Probabilistic curve when the additional column stress reaches the minimum ultimate tensile strength

圖11 等概率密度時(shí)附加柱應(yīng)力曲線Fig.11 Additional column stress curve with equal probability density

4 結(jié)論

釋放巨子型有控結(jié)構(gòu)體系附加柱與巨型梁之間的水平約束，可以有效地降低附加柱應(yīng)力響應(yīng)的均值及均方差值，從而整體上提高巨子型有控結(jié)構(gòu)體系抗震能力。同時(shí)，通過(guò)概率密度演化方法，可以方便的得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的概率密度演化曲面，而在對(duì)該曲面的分析表明巨子型有控結(jié)構(gòu)體系在平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下的附加柱應(yīng)力響應(yīng)是一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，這個(gè)結(jié)論對(duì)今后巨子型有控結(jié)構(gòu)體系的深入研究具有較重要的參考價(jià)值。

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