王靖震 魏 猛 劉偉軍 胡延兵

1.中國(guó)科學(xué)院沈陽(yáng)自動(dòng)化研究所，沈陽(yáng)，110016 2.中國(guó)科學(xué)院研究生院，北京，100049 3.沈陽(yáng)芯源微電子設(shè)備有限公司，沈陽(yáng)，110168

0 引言

在制造大規(guī)模集成電路時(shí)，人們通過光刻工藝把密集的電子線路刻到晶圓上。在這一工藝過程中，通過熱板來對(duì)晶圓進(jìn)行烘焙處理。熱板表面的溫度均勻性是一個(gè)關(guān)鍵的技術(shù)指標(biāo)，在前烘、后烘工序中熱板表面的溫度均勻性尤為重要［1］。由于在工藝過程中光刻膠在烘焙時(shí)所受的張力以及光刻膠中的化學(xué)物質(zhì)對(duì)溫度高度敏感，熱板表面的溫度均勻性將會(huì)對(duì)刻畫到晶圓上的電子線路寬度產(chǎn)生很大的影響［2］，所以加熱時(shí)表面溫度均勻一致的熱板是保證大規(guī)模集成電路制造中光刻工藝質(zhì)量的必要條件。同時(shí)隨著集成電路集成度的加大和線寬的日益縮小，熱板烘焙技術(shù)也需要不斷發(fā)展來進(jìn)一步提高熱板表面的溫度均勻性，以適應(yīng)具有更加密集電子線路晶圓的烘焙要求［2－5］。

最新的熱板烘焙技術(shù)包括采用電熱元器件單元點(diǎn)陣排布的方式對(duì)熱板進(jìn)行分區(qū)控制［6－7］，以及采用熱氣流通過腔體的表面來加熱的方式［8］，這些技術(shù)都取得了很好的效果。但是相對(duì)于傳統(tǒng)的熱絲加熱電熱板來說，上述加熱方式的制造工藝和控制過程過于復(fù)雜和昂貴，并且在工業(yè)生產(chǎn)中的穩(wěn)定性還有待驗(yàn)證。國(guó)內(nèi)對(duì)熱板技術(shù)的研究主要是針對(duì)傳統(tǒng)的熱絲加熱電熱板技術(shù)，采用有限元仿真模擬的方法，對(duì)固定數(shù)量熱絲的排布進(jìn)行優(yōu)化［9－10］，但是對(duì)影響熱板表面溫度均勻性的其他因素還需要進(jìn)行進(jìn)一步的探討。

通常設(shè)計(jì)一個(gè)具有高度表面溫度均勻性的熱板，意味著要進(jìn)行多次實(shí)際的物理試驗(yàn)，周期長(zhǎng)、成本高。國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)于在集成電路制造業(yè)中應(yīng)用的熱板的研究較少。本文以某熱板設(shè)計(jì)為例，在熱板設(shè)計(jì)參數(shù)選擇問題上，利用通用旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)的方法，對(duì)試驗(yàn)先進(jìn)行規(guī)劃設(shè)計(jì)，大幅減少了試驗(yàn)的次數(shù)。應(yīng)用ANSYS仿真模擬軟件，仿真模擬不同設(shè)計(jì)參數(shù)條件下的熱板表面溫度場(chǎng)均勻性情況，然后對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用SPSS統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行回歸分析。建立了熱板設(shè)計(jì)參數(shù)與熱板表面溫度場(chǎng)均勻性之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，并以此數(shù)學(xué)模型來指導(dǎo)熱板設(shè)計(jì)參數(shù)的選擇。

1 熱板單元結(jié)構(gòu)與溫度場(chǎng)仿真

熱板單元幾何模型如圖1所示，熱板分為上下對(duì)稱的兩部分，熱絲嵌入上下兩部分中間。由于溫度場(chǎng)的近似對(duì)稱關(guān)系，只分析熱板上半部分溫度場(chǎng)即可。圖2為熱板的熱絲排布圖，本文中熱板采用等螺距螺旋線式熱絲均勻排布。

圖1 熱板單元結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 熱絲排布圖

根據(jù)熱學(xué)原理的初步分析，影響熱板表面溫度場(chǎng)均勻性的設(shè)計(jì)參數(shù)主要有：熱板上半部分厚度X1；熱板熱絲間距離X2；熱板周圍的空氣對(duì)流換熱系數(shù)X3，X3的值反映熱板周圍環(huán)境對(duì)熱板表面溫度均勻性的作用。

本文采用ANSYS軟件作為熱板溫度場(chǎng)分析研究的仿真模擬工具。應(yīng)用有限元仿真模擬技術(shù)對(duì)熱板表面溫度場(chǎng)均勻性進(jìn)行仿真，可以比較直觀地了解熱板設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)熱板表面溫度場(chǎng)均勻性的影響情況，并且周期短，成本低。圖3為熱板溫度場(chǎng)均勻性仿真模擬圖，顯示了當(dāng)烘焙溫度為200℃時(shí)熱板溫度場(chǎng)均勻性的情況。

圖3 熱板表面溫度場(chǎng)模擬

仿真模擬的同時(shí)，在軟件中構(gòu)造變量T代表仿真結(jié)果的溫度均勻性數(shù)據(jù)。數(shù)值上T為熱板表面烘焙區(qū)域內(nèi)的溫度最大差值，用以表示溫度均勻性的好壞，可見T越小越好。

2 通用旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)

試驗(yàn)設(shè)計(jì)是研究如何科學(xué)地安排試驗(yàn)方案以便對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行有效統(tǒng)計(jì)分析即回歸分析的數(shù)學(xué)理論與方法。對(duì)于影響熱板表面溫度場(chǎng)的三個(gè)可能的因素來說，它們有可能單獨(dú)起作用，也可能相互制約。如果要全面地進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)數(shù)量會(huì)非常多。通用旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)是一種研究多因素多水平的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，相對(duì)于正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，它一方面基本保留了回歸正交設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)，即試驗(yàn)次數(shù)少，計(jì)算簡(jiǎn)便，部分地清除了回歸系數(shù)間的相關(guān)性，即犧牲部分的正交性而獲得旋轉(zhuǎn)性。另一方面，通用旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)能使回歸預(yù)測(cè)值的方差成為在以球心為原點(diǎn)的球內(nèi)的一個(gè)常數(shù)，有助于克服回歸正交設(shè)計(jì)中回歸預(yù)測(cè)值的方差依賴于試驗(yàn)點(diǎn)在因子空間中位置的缺點(diǎn)［11］。通用旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)因其一致精度和需要試驗(yàn)次數(shù)較少等優(yōu)點(diǎn)而廣泛應(yīng)用于科學(xué)試驗(yàn)中。由于在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中需要對(duì)不同的設(shè)計(jì)參數(shù)組合進(jìn)行比較，如采用通用旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)，由回歸分析模型得出的不同設(shè)計(jì)參數(shù)結(jié)果數(shù)據(jù)精度一致或者說結(jié)果數(shù)據(jù)方差相同，可以使以后的參數(shù)選擇更為方便合理。

首先應(yīng)用三因素二次通用旋轉(zhuǎn)組合試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，按通用旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)表格求得溫度均勻性變量T在相應(yīng)自變量X1、X2、X3取不同值情況下的仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)。然后對(duì)所得試驗(yàn)數(shù)據(jù)用三元二次回歸分析的方法，建立它們之間的數(shù)學(xué)模型。

經(jīng)過通用旋轉(zhuǎn)組合試驗(yàn)設(shè)計(jì)后，回歸分析得到的三因素二次模型如下：式中，β0、βj、βkj、βjj分別為零次、一次、交互和二次項(xiàng)的系數(shù)；Xj為各因素的水平值，用X1j和X2j來表示Xj的下限和上限，分別稱為因素的下水平、上水平。

為了應(yīng)用通用旋轉(zhuǎn)組合試驗(yàn)設(shè)計(jì)表，還需要對(duì)Xj進(jìn)行編碼，即對(duì)Xj的試驗(yàn)水平X0j、X1j和X2j進(jìn)行正交性線性變換：

其中，X0j為Xj的零水平或稱為基準(zhǔn)水平；Δj表示Xj的變化范圍。

確定星號(hào)臂長(zhǎng)度r：

確定總試驗(yàn)次數(shù)n：n＝mc＋2p＋m0＝20 （6）式中，p為因素個(gè)數(shù)，這里取3；mc為因子取±1水平的全因素試驗(yàn)的試驗(yàn)次數(shù)，其值為2p＝8；m0為各因素都取零水平的中心試驗(yàn)的重復(fù)次數(shù)，這里取6。

確定熱板設(shè)計(jì)參數(shù)的變化范圍，根據(jù)變化范圍確定試驗(yàn)點(diǎn)。表1為三因素水平編碼表。表2為所得到的二次通用旋轉(zhuǎn)組合試驗(yàn)設(shè)計(jì)表。

表1 三因素水平編碼表

表2 通用旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)表

3 試驗(yàn)結(jié)果分析

3.1 數(shù)據(jù)的回歸分析

針對(duì)上述數(shù)據(jù)，應(yīng)用SPSS統(tǒng)計(jì)軟件，用三元二次回歸分析的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，建立回歸模型。結(jié)果表明，模型的相關(guān)系數(shù)R為0.985，其平方為0.971，表明其方程的擬合優(yōu)度好。方差分析的F值的顯著性Sig＜0.001，所以回歸達(dá)到顯著水平，說明熱板表面的溫度均勻性T和各因素之間存在顯著的回歸關(guān)系，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方案正確，回歸方程有意義。表3為二次回歸模型系數(shù)表，回歸方程為

表3 二次回歸模型系數(shù)表

從表3可看出，對(duì)回歸方程各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行的t檢驗(yàn)表明方程中各項(xiàng)系數(shù)在數(shù)值上與零差異顯著，說明各項(xiàng)系數(shù)保留在回歸方程中是正確的。

3.2 因子效應(yīng)分析

回歸方程中各因素處理均經(jīng)量綱一線性編碼代換，偏回歸系數(shù)已經(jīng)不受因素取值的大小和單位的影響。由于采用通用旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)方法所得到的回歸方程二次項(xiàng)系數(shù)間相關(guān)，但是各一次項(xiàng)回歸系數(shù)之間，一次項(xiàng)系數(shù)與交互項(xiàng)、平方項(xiàng)的回歸系數(shù)間都是不相關(guān)的，因此，可以用各因素在回歸方程中的一次項(xiàng)系數(shù)值的大小來比較各因素對(duì)熱板表面溫度均勻性的影響。各因素的作用從大到小依次為：Z3、Z1、Z2，且Z2、Z3是正效應(yīng)，即Z2和Z3越小，熱板表面均勻度越好，T越小。Z1是負(fù)效應(yīng)，即Z1越大，熱板表面均勻度越好，T越小。說明結(jié)論與經(jīng)驗(yàn)相符合。對(duì)于包括二次項(xiàng)系數(shù)的因子效應(yīng)分析，可以利用各因子間的正交性在正交回歸分析中加以討論。

3.3 回歸模型驗(yàn)證

將式（4）代入式（7），得到用自變量Xj表示的回歸方程：

對(duì)所得回歸模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證，需再進(jìn)行一次仿真模擬試驗(yàn)，將仿真模擬結(jié)果與回歸方程計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。分別選取X1為25mm，X2為10mm，X3為10W／（m2·K），代入式（8）得

同樣選取上述驗(yàn)證參數(shù)值用ANSYS分析軟件進(jìn)行仿真模擬，得到結(jié)果為

可以看出，仿真模擬結(jié)果與回歸模型得出的結(jié)果有較高的一致性。通過所建立的回歸模型，工程人員可以方便、快捷地了解熱板不同設(shè)計(jì)參數(shù)情況下的熱板表面溫度均勻性。

4 結(jié)論

本文給出了一種針對(duì)表面溫度場(chǎng)均勻性的熱板設(shè)計(jì)參數(shù)分析的新方法。通過分析可知，熱板表面溫度場(chǎng)均勻性影響因素的作用從大到小依次為：Z3、Z1、Z2。所建立的回歸模型計(jì)算結(jié)果與仿真模擬結(jié)果有較高的一致性。因?yàn)椴捎玫耐ㄓ眯D(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)方法能使所得到數(shù)學(xué)模型回歸預(yù)測(cè)值的方差在以球心為原點(diǎn)的球內(nèi)為一個(gè)常數(shù)，所以在熱板參數(shù)設(shè)計(jì)中可以應(yīng)用回歸數(shù)學(xué)模型對(duì)不同的參數(shù)選擇所得結(jié)果進(jìn)行比較，可以使設(shè)計(jì)過程方便、快捷，具有實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值。

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