劉成友 丁 勇

相對(duì)誤差直線回歸模型兩種參數(shù)估計(jì)方法的比較

劉成友1丁 勇2△

1.南京醫(yī)科大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程系(210029)

2.南京醫(yī)科大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)教研室(210029)

△通訊作者:丁勇，E-mail:yding@njmu.edu.cn

最小二乘法的原理是觀察值與擬合值的絕對(duì)誤差平方和最小，其評(píng)價(jià)依據(jù)是針對(duì)等精度數(shù)據(jù)而言的，即觀測(cè)數(shù)據(jù)具有大體相同的絕對(duì)誤差，這些誤差服從均值為0的正態(tài)分布。然而大量的科學(xué)研究的觀測(cè)數(shù)據(jù)的誤差往往是相對(duì)誤差，即被觀測(cè)量愈大，允許的實(shí)際觀測(cè)誤差也愈大。例如，醫(yī)學(xué)應(yīng)用中，濃度測(cè)定的標(biāo)準(zhǔn)曲線，樣品測(cè)定的準(zhǔn)確度和精度是以相對(duì)誤差為依據(jù)的，這樣的數(shù)據(jù)用通常的最小二乘法將導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)的不準(zhǔn)確，因此，以相對(duì)誤差最小為原理的直線回歸的方法應(yīng)運(yùn)而生〔1－8〕。

目前有兩種以相對(duì)誤差平方和最小為原理的求直線回歸的方法〔2－7〕，本文對(duì)這兩種方法進(jìn)行比較和評(píng)價(jià)，為實(shí)際應(yīng)用選擇較好的方法提供依據(jù)。

原理和方法

1.a、b的兩種估計(jì)方法

實(shí)際計(jì)算時(shí)，要先估計(jì)a、b的一個(gè)初始值、，再用上述公式進(jìn)行迭代。當(dāng)前后兩次的迭代值小于給定的精度ε時(shí)，即ε、|＜ε時(shí)，停止迭代。將最后一次的計(jì)算結(jié)果作為a、b的估計(jì)值，即取a=a2、b=b2。

用哪一種方法估計(jì)a、b較好呢?這是本文要討論的問(wèn)題。

2.正態(tài)分布的方差和觀察數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差限

絕對(duì)誤差服從正態(tài)分布的回歸模型為〔9〕:

我們將這種模型稱為絕對(duì)誤差回歸模型。

相對(duì)誤差服從正態(tài)分布的回歸模型可表示為:

我們將這種模型稱為相對(duì)誤差回歸模型。

即用相對(duì)殘差平方和對(duì)總體方差進(jìn)行估計(jì)。

再來(lái)推導(dǎo)觀察數(shù)據(jù)相對(duì)誤差限與正態(tài)分布方差的關(guān)系。設(shè)X～N(μ，σ2)，由正態(tài)分布的 3σ 原則〔9〕可知，P{|X－μ|≤3σ}=0.9973，這里我們可將3σ 視為絕對(duì)誤差限。

上式給出了相對(duì)誤差模型中標(biāo)準(zhǔn)差與觀察數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差限的關(guān)系。

在此基礎(chǔ)上，可用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬計(jì)算。通過(guò)模擬計(jì)算，對(duì)兩種方法進(jìn)行比較、評(píng)價(jià)。

模擬比較

取a=5，b=10，自變量x=1，2，…，10，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生ε～N(0，0.03332)隨機(jī)數(shù)作為相對(duì)誤差，按公式(3)得到對(duì)應(yīng)的因變量y，分別用如下兩種方法估計(jì)各參數(shù)，共進(jìn)行了1萬(wàn)次模擬，計(jì)算結(jié)果的均值見表1。

方法2:將用方法1求出的a1、b1作為初值、，再用公式(2)進(jìn)行迭代，當(dāng)前后兩次參數(shù)值的差小于 ε=0.00001時(shí)，停止迭代。再用計(jì)算a2、b2的相對(duì)誤差，再用(6)式求出S=

再分別取a=5、b=5 和a=10、b=5，用上述類似的方法，求出各參數(shù)，結(jié)果列于表1。

所有模擬和計(jì)算，用MATLAB 7.0編程完成。

表1 兩種方法參數(shù)估計(jì)的比較(ˉx±s，10000次模擬結(jié)果)

討 論

在實(shí)際應(yīng)用中，大量數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差服從正態(tài)分布，這樣的數(shù)據(jù)不宜用通常的最小二乘法估計(jì)參數(shù)，而應(yīng)該用以相對(duì)誤差最小為原理的方法估計(jì)參數(shù)。

本文揭示了正態(tài)總體方差與相對(duì)殘差平方和、觀察數(shù)據(jù)相對(duì)誤差限之間的關(guān)系，推導(dǎo)了公式(5)～(7)，從而為計(jì)算機(jī)模擬和σ2的估計(jì)提供了方法。

我們針對(duì)a＜b、a=b和a＞b，設(shè)計(jì)了表1中3種不同情況的模擬。由表1可知，隨著相對(duì)誤差(對(duì)應(yīng)于σ)的增大，參數(shù)估計(jì)的誤差也增大。無(wú)論哪種情況，a(截距)的誤差要比b(斜率)的誤差大些。在實(shí)際問(wèn)題中，要求觀察數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差不能太大，否則失去應(yīng)用價(jià)值。在我們的模擬過(guò)程中，設(shè)計(jì)了3種相對(duì)誤差限，來(lái)考察計(jì)算方法的穩(wěn)健性，由表1可知，即使相對(duì)誤差較大(20%，對(duì)應(yīng)于σ=0.0667)，兩種方法計(jì)算的結(jié)果還都是可靠的。

圖1 參數(shù)分布圖(σ=0.0377，a=5，b=10)

本文用模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析:圖1為σ=0.0377、a=5和b=10時(shí)，兩種不同算法a、b估計(jì)值的4幅分布直方圖。表1的9種情況，共有36幅分布直方圖，絕大多數(shù)都服從正態(tài)分布(用Lilliefors正態(tài)檢驗(yàn)法〔10〕，有5幅不服從正態(tài)分布;用Jarque-Bera正態(tài)檢驗(yàn)法〔11〕，有4幅不服從正態(tài)分布);比較表1的σ和S可知，用公式(5)或(6)對(duì)總體方差σ2進(jìn)行估計(jì)還是比較準(zhǔn)確的。

1．Narvla SC，Wellington JF．Prediction，linear regression and the minimum sum of relative errors．Technometrics，1977，19(2):185-191．

2．成軍，孫關(guān)忠，李早榮，等．相對(duì)殘差法線性回歸與相關(guān)的理論研究:回歸模型的建立及實(shí)驗(yàn)分析．中國(guó)衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)，1996，13(3):37-39．

3．成軍，孫關(guān)忠．相對(duì)殘差法線性回歸與相關(guān)的理論研究:回歸分析、相關(guān)模型及其假設(shè)檢驗(yàn)．?dāng)?shù)理醫(yī)藥學(xué)雜志，1999，12(3):200-201．

4．成軍，孫關(guān)忠，李早榮．現(xiàn)行線性回歸理論的局限性及相對(duì)殘差線性回歸法在醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)中的應(yīng)用價(jià)值．陜西醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)，2000，15(1):62-64．

5．李成思．基于相對(duì)誤差意義下的最小二乘法．?dāng)?shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2003，22(4):36-40．

6．Arnold B，Stahlecker P．Relative squared error prediction in the generalized linear regression model．Statistical Papers，2003，44(1):107-115．

7．云連英，曹勃．基于優(yōu)化的相對(duì)誤差意義下的數(shù)據(jù)擬合．統(tǒng)計(jì)與決策，2007，21:15-16．

8．Tong TJ，Liu AN，Wang YD．Relative errors of difference-based variance estimators in nonparametric regression．Communications in Statistics:Theory and Methods，2008，37(18):2890-2902．

9．祝國(guó)強(qiáng)．醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法．第2版．北京:高等教育出版社，2009，228-230，97，39-42．

10．Conover WJ．Practical nonparametric statistics．New York，Wiley，1980．

11．Judge GG，Hill RC，Griffiths WE，et al．Introduction to the theory and practice of econometrics．New York，Wiley，1988．