周 靜

（天津冶金職業(yè)技術(shù)學(xué)院，天津 300400）

在數(shù)學(xué)建模中，由現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)建立模型，通常采用的方法是回歸分析。回歸分析是通過(guò)規(guī)定因變量和自變量來(lái)確定變量之間的因果關(guān)系，建立回歸模型，然后根據(jù)模型參數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)該模型的擬合情況，并可根據(jù)自變量作進(jìn)一步預(yù)測(cè)。較之Matlab數(shù)學(xué)軟件中的回歸分析功能，SPSS統(tǒng)計(jì)軟件的優(yōu)勢(shì)在于其圖形交互式用戶(hù)界面更易于操作，且數(shù)據(jù)結(jié)果可讀性強(qiáng)、容易導(dǎo)出。下面，以某公司生產(chǎn)的牙膏銷(xiāo)售量為例，利用SPSS18．0進(jìn)行回歸分析，建立牙膏的銷(xiāo)售量與其它因素的回歸模型，說(shuō)明SPSS在解決數(shù)學(xué)建模中預(yù)測(cè)問(wèn)題時(shí)更具優(yōu)越性。

一、數(shù)據(jù)來(lái)源

某大型牙膏制造企業(yè)為了更好地拓展產(chǎn)品市場(chǎng)，有效地管理庫(kù)存，公司董事會(huì)要求銷(xiāo)售部門(mén)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，找出公司生產(chǎn)的牙膏銷(xiāo)售量與銷(xiāo)售價(jià)格、廣告投入等之間的關(guān)系，從而預(yù)測(cè)出在不同價(jià)格和廣告費(fèi)用下的銷(xiāo)售量。為此銷(xiāo)售部的研究人員收集了過(guò)去30個(gè)銷(xiāo)售周期（每個(gè)銷(xiāo)售周期為4周）公司生產(chǎn)的牙膏的銷(xiāo)售量、銷(xiāo)售價(jià)格、投入的廣告費(fèi)用，以及其他廠家生產(chǎn)同類(lèi)牙膏市場(chǎng)的平均銷(xiāo)售價(jià)格。

二、數(shù)據(jù)分析

因消費(fèi)者在購(gòu)買(mǎi)牙膏時(shí)，更關(guān)心的是不同品牌之間的價(jià)格差，所以在研究各個(gè)因素對(duì)銷(xiāo)售量的影響時(shí)，采用價(jià)格差代替公司的銷(xiāo)售價(jià)格和其他廠家平均價(jià)格作為影響因素之一。因此，將價(jià)格差和廣告費(fèi)用作為自變量，牙膏的銷(xiāo)售量作為因變量，采用SPSS18．0中文版進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。

（一）繪制散點(diǎn)圖

打開(kāi)數(shù)據(jù)文件窗口的對(duì)話框，在菜單欄依次單擊“圖形”→“舊對(duì)話框”→“散點(diǎn)／點(diǎn)狀”，選擇“簡(jiǎn)單分布”，并分別將廣告費(fèi)用和價(jià)格差作為自變量選入X軸，銷(xiāo)售量作為因變量選入Y軸，繪制散點(diǎn)圖。

圖1 廣告費(fèi)用與銷(xiāo)售量的散點(diǎn)圖

圖2 價(jià)格差與銷(xiāo)售量的散點(diǎn)圖

（二）曲線估計(jì)

從散點(diǎn)圖來(lái)看，價(jià)格差與銷(xiāo)售量呈現(xiàn)較明顯的線性趨勢(shì)，而廣告費(fèi)用和銷(xiāo)售量呈現(xiàn)較明顯的曲線趨勢(shì)，但要判定兩個(gè)變量更適合于哪個(gè)模型，則需要進(jìn)行曲線估計(jì)。在菜單欄依次單擊“分析”→“回歸”→“曲線估計(jì)”，分別將廣告費(fèi)用和價(jià)格差選入自變量，銷(xiāo)售量選入因變量，在模型選項(xiàng)組勾選“線性曲線”、“二次項(xiàng)曲線”和“立方曲線”三種曲線回歸模型。

表1 廣告費(fèi)用與銷(xiāo)售量曲線估計(jì)的模型摘要

由表1可以看出，三個(gè)曲線估計(jì)的回歸模型中，二次項(xiàng)曲線模型與立方曲線模型的擬合度顯著優(yōu)于線性模型，其中擬合度最好的是二次項(xiàng)曲線模型，其R2值為0．838，并且從F值來(lái)看，二次項(xiàng)曲線模型比立方曲線模型擬合的更為顯著。因此，選擇二次項(xiàng)曲線模型最為理想，即y＝β0＋β1x1＋β2x12＋ε，其中x1為廣告費(fèi)用，y為銷(xiāo)售量，ε為隨機(jī)誤差，βi為回歸系數(shù)。

表2 價(jià)格差與銷(xiāo)售量曲線估計(jì)的模型摘要

由表2可以看出，三個(gè)模型的擬合度基本相同，其中擬合度最好的是立方曲線模型，其次是二次項(xiàng)曲線模型，但立方曲線模型的參數(shù)比另外兩種模型的參數(shù)多，更為復(fù)雜。若從F值來(lái)看，線性模型擬合的最為顯著。但以上的結(jié)果還不足以作出判斷，還需要對(duì)各模型系數(shù)作顯著性檢驗(yàn)。重復(fù)上述操作，并且在曲線估計(jì)對(duì)話框勾選“顯示ANOVE表格”。

表3 價(jià)格差與銷(xiāo)售量的曲線估計(jì)的模型系數(shù)

由表3可以看出，對(duì)三個(gè)模型系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)后，只有線性模型的系數(shù)均達(dá)到顯著水平，而另外兩種模型系數(shù)的p值至少有一個(gè)大于0．05。因此，選擇線性模型最為理想，即y＝β0＋β1x2＋ε，其中x2為價(jià)格差，y為銷(xiāo)售量，ε為隨機(jī)誤差，βi為回歸系數(shù)。

三、模型建立與求解

（一）模型一

由曲線估計(jì)知，價(jià)格差與銷(xiāo)售量適合線性模型，而廣告費(fèi)用與銷(xiāo)售量更適合二次項(xiàng)曲線模型。但因二次函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)，所以可將廣告費(fèi)用的平方作為一個(gè)新的自變量引入，從而采用多元線性回歸分析，建立價(jià)格差、廣告費(fèi)用、廣告費(fèi)用的平方與牙膏的銷(xiāo)售量的回歸模型一，即y＝β0＋β1x1＋β2x2＋β3x3＋ε，其中x1為廣告費(fèi)用，x2為價(jià)格差，x3為廣告費(fèi)用的平方，y為銷(xiāo)售量，ε為隨機(jī)誤差，βi為回歸系數(shù)。

多元回歸分析之前，需引入新的變量。從“轉(zhuǎn)換”菜單中，打開(kāi)計(jì)算變量對(duì)話框，輸入新的目標(biāo)變量名，即廣告費(fèi)用的平方，然后在數(shù)字表達(dá)式中編輯函數(shù)，生成新的變量。接下來(lái)在“分析”菜單中，打開(kāi)線性回歸對(duì)話框，將廣告費(fèi)用、價(jià)格差和廣告費(fèi)用的平方同時(shí)選為自變量，將銷(xiāo)售量選為因變量；單擊“統(tǒng)計(jì)量”按鈕，在彈出的對(duì)話框中勾選“置信區(qū)間”。

表4 回歸模型一的模型摘要

由表4可以看出，以廣告費(fèi)用、廣告費(fèi)用的平方和價(jià)格差共同作為自變量時(shí)，能顯著預(yù)測(cè)銷(xiāo)售量，其聯(lián)合解釋90．5%的變異量，因此模型一從整體上來(lái)看是可用的。

表5 回歸模型一的模型系數(shù)

由表5可知，模型一的回歸方程為y＝17．324－3．696x1＋1．307x2＋0．349x3＋ε。該模型顯示，廣告費(fèi)用對(duì)銷(xiāo)售量的影響不太顯著，p值大于0．05，但廣告費(fèi)用的平方對(duì)銷(xiāo)售量的影響是顯著的，因此將廣告費(fèi)用作為回歸變量仍保留在模型中。

（二）模型二

盡管模型一從整體來(lái)看較為理想，但表5顯示的置信區(qū)間［－7．499，0．108］包含零點(diǎn)，這說(shuō)明廣告費(fèi)用對(duì)銷(xiāo)售量的影響導(dǎo)致該模型不穩(wěn)定，還需要進(jìn)一步改進(jìn)。模型一中，廣告費(fèi)用和價(jià)格差對(duì)于銷(xiāo)售量的影響是相互獨(dú)立的，而由現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)可知，廣告費(fèi)用和價(jià)格差之間的交互作用也可能會(huì)影響牙膏的銷(xiāo)售量。

考察變量間的交互作用，須先對(duì)變量作定性分析。

若變量均為分類(lèi)變量，則采用方差分析來(lái)檢驗(yàn)自變量對(duì)因變量的影響以及各自變量間的交互作用；若變量均為連續(xù)變量，則采用在回歸方程中納入變量的乘積項(xiàng)，通過(guò)檢驗(yàn)其回歸系數(shù)的顯著性來(lái)判斷變量間是否存在交互作用，如果回歸系數(shù)為正，則變量間存在正交互作用，如果回歸系數(shù)為負(fù)，則變量間存在負(fù)交互作用；若變量包含分類(lèi)變量和連續(xù)變量，可將分類(lèi)變量轉(zhuǎn)換為虛擬變量后，當(dāng)成連續(xù)變量再進(jìn)行回歸分析。

考慮到廣告費(fèi)用和價(jià)格差均為連續(xù)變量，因此采用在回歸方程中納入二者的乘積x4來(lái)代表廣告費(fèi)用和價(jià)格差的交互作用，記為廣告費(fèi)用×價(jià)格差。具體操作如前，并在線性回歸對(duì)話框中，單擊“繪制”按鈕，在彈出的對(duì)話框中將“＊ZPRED”選入X軸，“＊SRESID”選入Y軸，繪制標(biāo)準(zhǔn)化殘差的散點(diǎn)圖，同時(shí)勾選“直方圖”，繪制標(biāo)準(zhǔn)化殘差的頻數(shù)分布圖。

表6 回歸模型二的模型摘要

表7 回歸模型二的模型系數(shù)

由表6和表7知，再引入廣告費(fèi)用×價(jià)格差后，聯(lián)合解釋92．1%的變異量，較模型一有所提高，并且所有置信區(qū)間均不含零點(diǎn)，這說(shuō)明模型二較模型一有所改進(jìn)，更符合實(shí)際。模型二的回歸方程為y＝29．113－7．608x1＋11．134x2＋0．671x3－1．478x4＋ε，其中x1為廣告費(fèi)用，x2為價(jià)格差，x3為廣告費(fèi)用的平方，x4為廣告費(fèi)用×價(jià)格差，y為銷(xiāo)售量，ε為隨機(jī)誤差。表7還顯示，x4的回歸系數(shù)估計(jì)值為－1．478，即廣告費(fèi)用和價(jià)格差存在負(fù)交互作用。當(dāng)價(jià)格差較大時(shí)，可以較少地依賴(lài)廣告投入的增加來(lái)提高銷(xiāo)售量；當(dāng)價(jià)格差較小時(shí)，則需要投入較大的廣告費(fèi)用來(lái)提高銷(xiāo)售量。

圖3 殘差的直方圖

圖4 殘差的散點(diǎn)圖

由圖3可以看出，標(biāo)準(zhǔn)化殘差呈正態(tài)分布。圖4顯示，各點(diǎn)圍繞殘差等于0的直線上下隨機(jī)分布，說(shuō)明當(dāng)前的回歸模型對(duì)原始數(shù)據(jù)擬合情況良好。

［1］姜啟源，謝金星，葉?。?dāng)?shù)學(xué)模型［M］．北京：高等教育出版社，2003．

［2］張?zhí)K江，陳慶波．?dāng)?shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析軟件SPSS的應(yīng)用（五）——相關(guān)分析與回歸分析［J］．畜牧與醫(yī)，2003，（09）．