李文良，王黎欽，常山，趙小力

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱150001;2.中國船舶重工集團(tuán)公司第七〇三研究所，哈爾濱150078)

斜齒輪在高速列車、航空發(fā)動機(jī)以及艦船等需傳遞重載的設(shè)備中廣泛應(yīng)用［1-2］.接觸線的時變性是斜齒輪傳動的主要特點(diǎn)之一［3-4］，由于接觸線數(shù)目的變化會引起剛度、齒面摩擦力的改變，是振動和噪聲的激勵源之一［5-8］.Kubo和Kiyono研究表明隨著斜齒輪螺旋角增大，斜齒輪在嚙合過程中接觸線數(shù)目增加，有助于減少激振力使得運(yùn)行平穩(wěn)，這是斜齒輪工作的一大優(yōu)點(diǎn)［9］.但是該研究沒有給出螺旋角對時變接觸線的影響規(guī)律.Smith提出斜齒輪的轉(zhuǎn)動導(dǎo)致嚙合面內(nèi)接觸線的變化，并計(jì)算了接觸線的最大值和最小值［10］.Chinmaya Kar和 A.R.Mohanty［11］采用一種簡化的方法計(jì)算接觸線的長度，但是這個算法受到嚙合面形狀限制，只適用于嚙合面寬度在一個端面齒距和2個端面齒距之間，而且最多只能計(jì)算同時有3條接觸線的情況，算法受到局限所以不具有普適意義.

早期的文獻(xiàn)以及標(biāo)準(zhǔn)中大部分都只是給出了斜齒輪接觸線的最大值、最小值以及均值，本文采用通用公式利用計(jì)算機(jī)編程計(jì)算，突破了Chinmaya Kar和A.R.Mohanty提出的算法受嚙合面形狀以及接觸線條數(shù)的限制條件［11］，可以計(jì)算出任意條接觸線的長度以及在一個端面齒距周期內(nèi)任意時刻接觸線總長度.在此基礎(chǔ)上分析了螺旋角對接觸線長度變化的影響，以便發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，為后續(xù)齒輪時變剛度、接觸線載荷分布以及修形計(jì)算等提供理論依據(jù).

1 斜齒輪時變接觸線算法

由于文獻(xiàn)［11］在推導(dǎo)過程中受到條件限制，不能實(shí)現(xiàn)快速計(jì)算，工程上應(yīng)用不方便.本文在文獻(xiàn)［11］的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出通用公式，采用計(jì)算機(jī)編程計(jì)算，此程序不受嚙合區(qū)形狀以及同時嚙合接觸線數(shù)目的限制.

本文根據(jù)不同齒輪嚙合形成的嚙合面的特點(diǎn)，以齒輪寬度與嚙合面的寬度比值(b/f)與1的關(guān)系作為計(jì)算準(zhǔn)則，推導(dǎo)出通用的計(jì)算時變接觸線的公式，接觸線示意圖如圖1所示，考慮3種情況推導(dǎo)公式如下.

圖1 斜齒輪嚙合區(qū)坐標(biāo)以及接觸線示意Fig.1 Schematic illustration of coordinate and contact line in the pressure plane

情況1 當(dāng)b/f＞1時:

接觸線的條數(shù)n為

嚙合面的寬度f范圍內(nèi)的接觸線的條數(shù)m為

當(dāng)接觸線的另一端與嚙合面內(nèi)的對角點(diǎn)的關(guān)系表達(dá)式為

當(dāng)p=0接觸線一端到達(dá)對角點(diǎn)C，p≠0時則越過對角點(diǎn)C.

情況2 當(dāng)b/f＜1時:

接觸線的條數(shù)n為

n=fix(b(tan αb+f)/pt)+1.

嚙合面的寬度f范圍內(nèi)的接觸線的條數(shù)m為

情況3 當(dāng)b/f=1時:

接觸線的條數(shù)n為

式中:αb為基圓螺旋角，(°);pt為端面齒距，mm;f為嚙合面的寬度，mm;b為斜齒輪的寬度，mm;v為節(jié)圓表面速度，m/s.

接觸線的總長度為

2 計(jì)算結(jié)果和分析

文獻(xiàn)［11］提供的斜齒輪參數(shù)代入到本文算法中計(jì)算結(jié)果對比如圖2所示，計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果基本一致，初步驗(yàn)證算法正確.

圖2 結(jié)果對比Fig.2 The diagramof comparison result

螺旋角是斜齒輪重要的特征參數(shù)，也是引起接觸線變化的主要因素.以某齒輪箱內(nèi)的一對外嚙合斜齒輪副為例計(jì)算，其參數(shù)如表1所示.當(dāng)螺旋角β無限趨于0(β→0)，即接近為直齒輪，采用本文算法計(jì)算其接觸線變化，如圖3所示.

表1 斜齒輪副參數(shù)Table 1 The parameters of gear pair

圖3 直齒輪接觸線長度變化Fig.3 Dependence of contact length on time of spur gear

直齒輪重合度在1～2之間，由于齒寬為90 mm，雙齒接觸時接觸線長度180 mm，單齒接觸時接觸線長度為90 mm.符合直齒輪在一個端面齒距內(nèi)的接觸線變化規(guī)律.

在螺旋角常用范圍 10°～30°內(nèi)選擇 10°、15°、20°、25°、30°，用本文算法計(jì)算在一個端面齒距運(yùn)行時間內(nèi)接觸線總長度變化情況，如圖4所示.

圖4 不同螺旋角時變接觸線總長變化Fig.4 Dependence of contact length on time with different helix angles

采用AutoCAD幾何畫圖量取不同螺旋角下一個端面齒距內(nèi)的接觸線長度變化，把端面齒距分為10個等分點(diǎn)，量取這10個點(diǎn)對應(yīng)的接觸線總長度L，結(jié)果如圖5所示.

本文程序與幾何驗(yàn)證的最大值、最小值以及均值如表2.

圖5 幾何測量端面齒距內(nèi)接觸線Fig.5 Contact length by geometric measurement in a transverse pitch

表2 幾何測量值與程序值對比Table 2 The comparison result of measured values and procedure values

由于計(jì)算機(jī)在計(jì)算過程中對結(jié)果小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)多次取舍導(dǎo)致與測量結(jié)果稍有不同，但基本一致，再次驗(yàn)證程序準(zhǔn)確.采用中國航空工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)HB/Z84.2-1984［12］中斜齒輪接觸線計(jì)算方法算出接觸線均值與本文的計(jì)算結(jié)果對比如表3，結(jié)果顯示本文計(jì)算接觸線總長的平均值與標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算的平均值相比誤差在5%以內(nèi)，此算法精度可靠.計(jì)算不同螺旋角下的接觸線均方根值(RMS)變化規(guī)律如圖6所示.

表3 與HB/Z84.2－1984計(jì)算結(jié)果比較Table 3 Result comparison with HB/Z84.2-1984

圖6 不同螺旋角接觸線均方根值Fig.6 The rootmean square of contact line length with different helix angles

從圖6中可知，在螺旋角10°～30°內(nèi)，隨著螺旋角的增大，接觸線長度的均方根值變小.這是因?yàn)槁菪亲兇?，軸向重合度變大，端面重合度變小，整體重合度是變大的.但是，隨之帶來嚙合面的寬度變小，基圓壓力角變大，端面齒距變大導(dǎo)致接觸線的條數(shù)變少，長度變短，使得整體上接觸線的總和變小.

接觸線的波動會帶來較大的振動和噪聲，計(jì)算不同螺旋角的接觸線最大值與最小值的幅值變化情況，其變化規(guī)律(波動率V)如圖7所示.

圖7 不同螺旋角接觸線波動率Fig.7 Volatility of the length of contact line with different helix angles

圖7 表明，螺旋角為 15°時波動最大，20°、30°時候波動最小.如圖1所示，初始時刻當(dāng)L1和L3的最大值(端面齒距)相等，且L2和L4的大小相等時，整個接觸線是沒有變化的，齒輪運(yùn)行最平穩(wěn).這是因?yàn)殡S著L3的增加第1條接觸線變長，第n條接觸線變短，2條接觸線變化量相等，對整個接觸線總長度變化不起作用.第i條接觸線增加，第j條接觸線長度變短，二者變化量相等對整個接觸線總長度變化沒有影響.表4為初始時刻各螺旋角的L1、L2、L3(端面齒距)、L4的值.

表4 嚙合面內(nèi)接觸線的位置參數(shù)Table 4 The contact line position parameters in the pressure plane

螺旋角為15°時的波動最大，這是因?yàn)長3的長度遠(yuǎn)大于L1的長度，L2和L4的長度接近使得第1條接觸線一直增大從而使接觸線總長度急劇正增大，使得波動值也較大.20°、30°的波動較小是因?yàn)長1和L4長度相近，當(dāng)?shù)趎條接觸線的移出接觸區(qū)后，第i條接觸線過了C點(diǎn)其長度在一段時間內(nèi)是不變化的.第j條接觸線長度減少，第1條接觸線長度增加，增加量和減少量相等使得整個接觸線長度變化較小，其波動也就小.雖然L1與L3、L2和L4較為相近，但還有一定差距，導(dǎo)致25°的螺旋角齒輪的接觸線還有一定的波動.

3 結(jié)論

1)本文突破了接觸線數(shù)值計(jì)算所受條件限制，擴(kuò)大了數(shù)值計(jì)算接觸線的應(yīng)用范圍，算法簡單實(shí)用.

2)與航空工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)(HB/Z84.2-1984)計(jì)算結(jié)果對比顯示，誤差值在5%以內(nèi)，本算法有效可靠.

3)分析了螺旋角對斜齒輪接觸線長度均方根值的影響，在端面齒距內(nèi)隨著螺旋角的增大，接觸線長度均方根值變小.

4)時變接觸線波動受到嚙合面內(nèi)初始時刻接觸線位置影響，本文給出接觸線波動最小的條件:初始時刻當(dāng)L1和端面齒距相等，且L2和L4相等時，整個接觸線沒有波動，齒輪運(yùn)行最平穩(wěn).

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