邵 臻，王曉佳，高 飛，劉輝舟，楊 露

（合肥工業(yè)大學(xué)a.管理學(xué)院;b.過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室，合肥 230009）

基于懲罰最小二乘估計的長期用電量半?yún)?shù)預(yù)測模型

邵 臻，王曉佳，高 飛，劉輝舟，楊 露

（合肥工業(yè)大學(xué)a.管理學(xué)院;b.過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室，合肥 230009）

文章針對懲罰最小二乘估計的高精度特性，構(gòu)建了基于懲罰最小二乘估計的半?yún)?shù)回歸模型。并將指數(shù)平滑思想融入模型，對模型的誤差序列進行趨勢外推與大幅度外延預(yù)測。實證結(jié)果表明了所提方法的有效性。

半?yún)?shù)模型；懲罰最小二乘估計；指數(shù)平滑；電量預(yù)測

0 前言

目前，長期負(fù)荷預(yù)測領(lǐng)域的研究方法主要包括參數(shù)理論與非參數(shù)理論等[1～3]。狀態(tài)空間、回歸分析、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、灰色理論、支持向量機和最優(yōu)組合預(yù)測方法等,基本上都屬于參數(shù)統(tǒng)計法的范疇,因變量對自變量有較強的依賴關(guān)系,當(dāng)假設(shè)函數(shù)模型成立時,預(yù)測精度較高,當(dāng)假設(shè)函數(shù)不成立時,預(yù)測模型的擬合情況和預(yù)測精度都不理想。非參數(shù)理論降低了自變量對因變量的限制,有較大的適應(yīng)性,但也可能會失去歷史資料所提供的信息,降低模型的解釋能力。

傳統(tǒng)的參數(shù)回歸操作簡便，可以外延，適于預(yù)測，但難以精確擬合復(fù)雜的曲線；非參數(shù)回歸形式靈活，可以精確擬合復(fù)雜曲線曲面，但難以進行大幅度外延預(yù)測。半?yún)?shù)模型最早由Stone于1977年提出，它有線性主部，可以把握大勢走向，適于外延預(yù)測；還有非參數(shù)部分，可以作局部調(diào)整，使數(shù)據(jù)較精確地擬合。半?yún)?shù)模型引入了非參數(shù),克服了傳統(tǒng)偏差函數(shù)模型的局限性,使得數(shù)學(xué)模型與客觀實際更為接近,在數(shù)值上能夠分別求出參數(shù)、非參數(shù)(模型誤差)和偶然誤差,是一種非常理想的數(shù)據(jù)處理方法。本文擬對傳統(tǒng)半?yún)?shù)模型進一步改進，改進后的半?yún)?shù)模型將指數(shù)平滑法融入模型并結(jié)合懲罰最小二乘估計法進行參數(shù)估計，目前在電力負(fù)荷預(yù)測領(lǐng)域半?yún)?shù)模型的應(yīng)用尚不多見，將其運用于電力負(fù)荷預(yù)測領(lǐng)域，將改善傳統(tǒng)方法諸如無法適應(yīng)較大幅度外延預(yù)測要求、預(yù)測精度偏低等不足之處。

1 模型構(gòu)建

1.1 半?yún)?shù)模型

半?yún)?shù)模型一般形式為：

其中yi是因變量；xi是參數(shù)部分自變量；Tj是非參部分自變量；β是回歸系數(shù),即待求參數(shù)；g為定義于實數(shù)集上的未知函數(shù);ε是隨機誤差，E(ε)=0，E(ε2)=σ2。xiβ反映了負(fù)荷預(yù)測可知的部分規(guī)律，把握因變量y變化的趨勢走向，為參數(shù)部分；g(Ti)+εi反映了負(fù)荷預(yù)測的不確定因素的影響，為非參數(shù)部分。

1.2 懲罰最小二乘法則

半?yún)?shù)回歸模型的估計方法很多，常見的有兩階段法、核函數(shù)法、樣條法、最近鄰法等等[4,5]。本文為了達到既可以排除隨機誤差項產(chǎn)生的噪音，同時又使得解具有一定的光滑性，從而有利于數(shù)據(jù)擬合以及外延預(yù)測的目的，采用基于懲罰最小二乘估計的半?yún)?shù)回歸模型。

懲罰最小二乘準(zhǔn)則函數(shù)為[6]：

當(dāng)λ→0時,g(t)趨近于觀測量的三次樣條內(nèi)插。當(dāng)λ→∞時,g(t)趨近于觀測量的線形回歸?？勺C明懲罰最小二乘原理的懲罰項可以表達為(Fessler,1991)：

其中，Q與T是 n×(n-2)和 (n-2)×(n-2)的矩陣。令 hi=ti+1-ti，i=1,2,…,n-1。

Q中元素滿足：

最終可以得到迭代求解方程，令

由式(6)、式(7)可計算 g?和 B?,觀測值的估計為：

1.3 基于三次指數(shù)平滑法的誤差修正

對于模型(10)我們還無法直接進行外推預(yù)測，對于誤差時間序列項g?我們需要作進一步處理。由函數(shù)逼近論可知，對于足夠光滑的函數(shù)我們可以用多項式函數(shù)去逼近。

設(shè)誤差序列項{g?n}具有二次多項式趨勢，在二次指數(shù)平滑序列的基礎(chǔ)上，再做三次指數(shù)平滑序列：

2 模型求解

2.1 光滑參數(shù)λ的確定

光滑參數(shù)λ的取值對參數(shù),特別是對懲罰項估值的影響很大,其取值好壞將直接影響到實際擬合效果。當(dāng)平滑參數(shù)值λ選取較大時，λ的取值對數(shù)據(jù)平滑問題來說是十分關(guān)鍵的。

目前在平滑參數(shù)的選取準(zhǔn)則很多[7]。一些是基于再抽樣方法，例如CV，GCV準(zhǔn)則等等；而另一些是基于模型復(fù)雜度懲罰方法，例如基于AIC，BIC準(zhǔn)則的選擇方法。雖然幾類方法的形式不同，本質(zhì)上都是為了尋找合適的參數(shù)，使得模型具有較優(yōu)的預(yù)測性能和泛化性能。

(1)交叉核實準(zhǔn)則

交叉核實(cross-validation，CV)，其基本思想是：選取λ所得的擬合曲線，用此曲線進行預(yù)測，使所有預(yù)測點的均方誤差最小。在應(yīng)用時，常常將(xi，yi)模擬為預(yù)測點(即去掉此點)，而依據(jù)剩下的n-1個點進行估計，再將(xi，yi)代入所擬合的曲線，得到此點的值，記為Y?i。于是我們定義交叉核為：

其中，hii(λ)為帽子矩陣 H(λ)中的元素，使 CV(λ)值最小的λ即為所求值。

(2)廣義交叉核實準(zhǔn)則

廣義交叉核實法(Generalized Cross-Validation,GCV)是Leave-one out cross-validation方法的近似，我們定義廣義交叉核為：

2.2 模型預(yù)測

本文采用循環(huán)預(yù)測法進行負(fù)荷預(yù)測[8,9],其基本思想是：對每一次的負(fù)荷預(yù)測值進行循環(huán)使用。對于半?yún)?shù)回歸模型，當(dāng)預(yù)測yn+1時，利用三次指數(shù)平滑預(yù)測技術(shù)對g?(n+1)進行估計,得到負(fù)荷預(yù)測值 y?n+1 ，將負(fù)荷預(yù)測值y?n+1添加到原負(fù)荷樣本(y1,y2,…,yn)中組成新負(fù)荷樣本(y1,y2,...,yn,y?n+1)，再采用前述半?yún)?shù)估計方法進行等間隔的下一步預(yù)測，如此循環(huán)直至得到所需的p步預(yù)測值。

3 算例分析

3.1 自變量的選取

影響電力負(fù)荷消耗的因素很多，例如經(jīng)濟增長水平、經(jīng)濟發(fā)展階段、經(jīng)濟結(jié)構(gòu)特性以及生產(chǎn)生活水平等等諸多影響和制約因素。具體選取了全社會固定資產(chǎn)投資總額、國內(nèi)生產(chǎn)總值、人均國內(nèi)生產(chǎn)總值、工業(yè)增加值、社會消費品零售總額、人口數(shù)量、商品零售價格指數(shù)、工業(yè)總產(chǎn)值等因素。計算自變量、因變量之間的相關(guān)程度，并去除與因變量相關(guān)程度較小的影響因素。

表1 自變量、因變量間的相關(guān)系數(shù)

通過灰色關(guān)聯(lián)度理論，計算出諸多影響因素(自變量)與因變量之間的灰色關(guān)聯(lián)度，對于所選取的8個影響因素其灰色關(guān)聯(lián)度依次為：0.9088，0.7243，0.6201，0.8762 ，0.9298，0.6495，0.9418，0.6082。綜合相關(guān)系數(shù)和灰色關(guān)聯(lián)度理論選取全社會固定資產(chǎn)投資總額、工業(yè)增加值、社會消費品零售總額3個影響因素并進行單位根檢驗，自變量與3個影響因素在5%的置信水平下可以認(rèn)為不存在單位根，因此選取上述3個因素建模。

3.2 算例分析

本文收集了1985～2009年江蘇省年度全社會用電量及其影響因素的資料。電量單位為億kWh，人口單位為萬人，產(chǎn)業(yè)值單位為億元。影響年用電量(自變量)的因子有GDP，全社會固定資產(chǎn)投資總額，工業(yè)增加值，社會消費品零售總額，總?cè)丝跀?shù)。用1985～1999年資料建模，2000～2009年資料進行檢驗。

對于光滑參數(shù)λ的選取，本文采用廣義交叉核實法(Generalized Cross-Validation,GCV)。通過GCV法迭代選取，最終選擇λ=0.43時達到較好的逼近精度和預(yù)測效果。

表2 擬合和檢驗結(jié)果

表3 擬合和檢驗結(jié)果

通過表2預(yù)測結(jié)果的對比不難發(fā)現(xiàn)，基于懲罰最小二乘估計的半?yún)?shù)模型在參數(shù)擬合階段表現(xiàn)出了很高的精度。通過對原始數(shù)據(jù)良好的擬合，從而反映原始數(shù)據(jù)的變化趨勢，同時結(jié)合三次指數(shù)平滑法進行趨勢外推，從而進行預(yù)測。由表3可知基于懲罰最小二乘估計法的誤差指標(biāo)是比較令人滿意的。基于懲罰最小二乘估計的半?yún)?shù)模型進行用電負(fù)荷預(yù)測具有較高的預(yù)測精度和實用性，半?yún)?shù)模型相較于傳統(tǒng)用電負(fù)荷預(yù)測模型具有更高的預(yù)測精度。

4 結(jié)束語

比較計算結(jié)果可以看到：在進行較大幅度全社會用電量需求外延預(yù)測時,半?yún)?shù)回歸法估計的平均擬合誤差遠遠小于灰色GM(1,1)、多元線性回歸等傳統(tǒng)方法。說明半?yún)?shù)模型對電力需求預(yù)測估計精度較高。通過數(shù)值的擬合計算結(jié)果顯示,擬合估計值也比較接近真實值。也再次證明半?yún)?shù)模型對電量需求預(yù)測估計的優(yōu)越性。

文中主要考慮經(jīng)濟增長水平、經(jīng)濟發(fā)展階段、經(jīng)濟結(jié)構(gòu)特性以及生產(chǎn)生活水平等等諸多影響和制約因素,然而實際中用電負(fù)荷的需求還受到其它因素的影響,如自然因素等。在今后的研究中,應(yīng)進一步分析各種因素對用電負(fù)荷的影響,建立更精確的預(yù)測模型。同時半?yún)?shù)預(yù)測模型的擬合步長和預(yù)測步長的選取也是值得進一步研究的問題。

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F224

A

1002-6487（2012）24-0026-03

國家自然科學(xué)基金資助項目（71071045；70801024）

邵 臻(1986-)，男，江蘇宿遷人，碩士研究生，研究方向：預(yù)測、決策科學(xué)與技術(shù)。

王曉佳(1982-)，男，安徽蚌埠人，博士研究生，研究方向：預(yù)測、決策科學(xué)與技術(shù)。

高 飛(1986-)，女，河北滄州人，碩士研究生，研究方向：決策科學(xué)與技術(shù)。

（責(zé)任編輯/亦 民）