閆金山，彭秀艷，王咸鵬

(哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，150001哈爾濱)

波達(dá)方向估計(jì)一直都是陣列信號(hào)處理的一個(gè)重要內(nèi)容，在通信、雷達(dá)與聲納等領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用.很多高分辨率子空間類算法比如MUSIC算法［1］和ESPRIT算法［2］在最近這些年得到了很大的發(fā)展.但這些算法都是在對(duì)接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征值分解基礎(chǔ)上進(jìn)行，為了獲得良好的估計(jì)性能，往往需要上百甚至上千的采樣拍數(shù).且在信源相干時(shí)，這些傳統(tǒng)的子空間類算法性能會(huì)急驟下降，甚至失效，導(dǎo)致無(wú)法估計(jì)出信源的波達(dá)方向.

為了能夠解決這些問(wèn)題，很多學(xué)者針對(duì)相干信源提出相關(guān)的解相干技術(shù).文獻(xiàn)［3-4］分別提出了空間平滑算法和前后向空間平滑算法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)相干信源的解相干，但由于空間平滑算法的解相干性能是以損失陣列孔徑為代價(jià)的，因此在小采樣拍數(shù)和低信噪比時(shí)估計(jì)性能急驟下降.文獻(xiàn)［5-7］提出了基于數(shù)據(jù)重構(gòu)的解相干算法，避免了陣列孔徑的損失，提高了角度分辨率，獲得了良好的估計(jì)性能，但由于重構(gòu)數(shù)據(jù)需要龐大的計(jì)算量，不利于實(shí)時(shí)處理.文獻(xiàn)［8］提出了一種矩陣束(Matrix pencil，MP)解相干算法，該算法避免了陣列孔徑損失，且減少了一定的計(jì)算量，但該算法卻只適用在高信噪比的信號(hào)環(huán)境.文獻(xiàn)［9］提出了一種酉變換MUSIC的解相干算法(UMUSIC)能夠在低拍數(shù)下實(shí)現(xiàn)相干信源的解相干，但估計(jì)性能不是很理想.

本文在虛擬陣列的基礎(chǔ)上提出了用酉變換矩陣對(duì)陣列虛擬平移獲得的虛擬陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行處理的方法，得到一個(gè)實(shí)數(shù)的協(xié)方差數(shù)據(jù)矩陣，利用該數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行波達(dá)方向的估計(jì).該算法不僅沒(méi)有損失陣列，陣列分辨率也得到很大的提高，在低信噪比情況擁有很好的估計(jì)性能，而且在低采樣拍數(shù)時(shí)能夠得到正確的波達(dá)方向估計(jì)，計(jì)算量很小，可以進(jìn)行實(shí)時(shí)處理.仿真結(jié)果表明該算法具有很好的解相干性能和良好的估計(jì)性能.

1 信號(hào)模型

圖1給出由M個(gè)陣元組成的均勻等距線性陣列模型，陣元距為d.設(shè)有N個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶相干或者非相干的信號(hào)以平面波形式從N個(gè)方向θi(i=1，2，3，…，n)入射到陣列中，則第k個(gè)陣元接收到的信號(hào)為

式中:si(t)為在空間參考點(diǎn)測(cè)量的第i個(gè)期望信號(hào)源的復(fù)信號(hào)包絡(luò)形式，i(θi)為第i個(gè)期望信號(hào)相對(duì)于參考點(diǎn)的延遲時(shí)間，對(duì)于均勻等距陣列，i(θi)=(k-1)dsin(θi)/c，c為信號(hào)的傳播速度;n(t)為零均值高斯白噪聲.

圖1 陣列信號(hào)模型

假設(shè)信號(hào)源與噪聲之間互不相關(guān)，且噪聲與噪聲之間互不相關(guān).那么陣列通道通過(guò)采樣后接收數(shù)據(jù)的向量表示為

式中:A(θ)=［a(θ1)，a(θ2)，…，a(θn)］為M×N維期望信號(hào)的陣列方向矢量，s(t)=［s1(t)，s2(t)，Λ，sn(t)］T為N×1維期望信號(hào)矩陣，α(θi)=［1，e-jwi(θi)，e-j2wi(θi)，Λ，e-j(m-1)wi(θi)］T為M×1維的方向矢量，n(t)為M×1陣列接收到的噪聲矩陣.

在陣列接收信號(hào)時(shí)，若信源之間為相干的，將會(huì)導(dǎo)致信號(hào)子空間的維數(shù)小于信號(hào)源數(shù)，即信號(hào)子空間的信息“擴(kuò)散”到了噪聲子空間，使某些相干信源的方向矢量與噪聲子空間不是完全正交的，從而無(wú)法得到正確的估計(jì).針對(duì)以上問(wèn)題，本文提出一種基于酉變換的虛擬陣列DOA估計(jì)算法.

2 基于酉變換的虛擬陣列算法

虛擬陣列的目的就是通過(guò)虛擬平移構(gòu)建1個(gè)滿秩的接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，使得期望信號(hào)的信息保存在信號(hào)子空間中，得到正確的估計(jì)結(jié)果.在文獻(xiàn)［10］中已經(jīng)證明對(duì)于N個(gè)相干信源，經(jīng)過(guò)虛擬陣列平移后，只要滿足虛擬陣列的數(shù)目L≥N，使協(xié)方差矩陣恢復(fù)滿秩，就能實(shí)現(xiàn)相干信源的解相干.

如圖2所示，陣列虛擬平移的基本原理就是每次將陣列等距地向右平移1個(gè)陣元的距離d每次平移形成1個(gè)新的陣列，第l(0≤l≤L)個(gè)虛擬陣列的接收信號(hào)表達(dá)為

式中B=diag［exp(j2πdsin(θ1)/λ，exp(j2πdsin(θ2)/λ，…，exp(j2πdsin(θn)/λ］為維數(shù)為N×N的陣列虛擬平移變換矩陣.nl(t)為第l個(gè)虛擬陣列通道中接收的噪聲.

圖2向右等陣元距虛擬平移形成虛擬陣列原理圖

在單拍采樣的情況下，L個(gè)虛擬陣列輸出數(shù)據(jù)為維數(shù)N×(L+1)的矩陣，可表示為

定義一個(gè)反對(duì)角置換矩陣，在反對(duì)角線上元素全部為1，其余元素全部為0，表示為

用反對(duì)角置換矩陣J重構(gòu)陣列接收數(shù)據(jù)，得到一個(gè)包含更多信號(hào)信息的數(shù)據(jù)矩陣W，即

由數(shù)據(jù)矩陣W構(gòu)成的協(xié)方差矩陣為

式中:J=JH，RY為虛擬陣列在單拍數(shù)采樣下輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣.

由式(5)、(7)可得

式(7)中所包含的數(shù)據(jù)都是在復(fù)數(shù)域里面，用MUSIC算法估計(jì)波達(dá)方向估計(jì)中，需要對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解和波峰峰值搜索，在復(fù)數(shù)域里面需要進(jìn)行大量的計(jì)算，若轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)域中進(jìn)行，會(huì)減少大量計(jì)算復(fù)雜度.由于RW為Centro hermitian矩陣，因此可以定義1個(gè)維數(shù)為N×N的酉變換矩陣U，協(xié)方差矩陣RW經(jīng)過(guò)酉變換后的實(shí)域協(xié)方差矩陣為

式(9)中當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)

式(9)中當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)

在式(10)中，I和J分別為維數(shù)為［N/2］×［N/2］的單位矩陣和反對(duì)角置換矩陣.

在式(11)中，I和J分別為維數(shù)為［(N-1)/2］×［(N-1)/2］的單位矩陣和反對(duì)角矩陣，為維數(shù)1×［(N-1)/2］的全零行向量.且觀察酉變換矩陣U可知，U=JU*.

結(jié)合式(7)、(8)可得

式(7)的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣是在單拍采樣下得到的，為了得到更好的性能，一般情況下都采用多拍采樣.若采樣總拍數(shù)為p次，則第i(i=1，2，…，p)次采樣陣列輸出的數(shù)據(jù)為

陣列輸出的總數(shù)據(jù)為

在本文的方法中，p取值較小，一般在10以下，這樣更加有利于進(jìn)行實(shí)時(shí)處理，利用式(6)可以得到多拍采樣后包含更多信號(hào)量的數(shù)據(jù)矩陣H為

則接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣

式中:RT為虛擬陣列在多拍數(shù)采樣下輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，同理可知RH為Centro hermitian矩陣.

由式(9)、(16)可以得到多拍采樣下的實(shí)數(shù)協(xié)方差矩陣

對(duì)多拍采樣后得到的實(shí)值域協(xié)方差矩陣D進(jìn)行特征值分解，得

式中:Es=［e1，e2，…，en］為多拍采樣下的實(shí)值協(xié)方差矩陣對(duì)應(yīng)的信號(hào)子空間，即大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組成的空間.En=［en+1，en+2，…，em］為多拍采樣下的實(shí)值協(xié)方差矩陣對(duì)應(yīng)的噪聲子空間，即小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組成的空間.Λs=diag［λ1，λ2，…，λn］為多拍采樣下的實(shí)值協(xié)方差矩陣對(duì)應(yīng)的信號(hào)特征值，即大的特征值.Λn=diag［λn+1，λn+2，…，λm］為多拍采樣下的實(shí)值協(xié)方差矩陣對(duì)應(yīng)的噪聲特征值，即小的特征值.

文獻(xiàn)［1］中MUSIC算法利用噪聲空間與陣列方向矢量的正交性，構(gòu)造出空間譜函數(shù)，然后通過(guò)搜索空間譜函數(shù)的峰值來(lái)確定信號(hào)的波達(dá)方向，本文采用類似的方法構(gòu)造一個(gè)空間譜函數(shù)Pk(θ)，即

式中:En為式(18)中對(duì)應(yīng)的噪聲空間，a(θ)為陣列的搜索方向矢量，可以通過(guò)搜索空間譜函數(shù)Pk(θ)的峰值得到相干信源的波達(dá)方向.這里采用了MUSIC算法估計(jì)信源波達(dá)方向，也可以采用求根MUSIC算法估計(jì)信源波達(dá)方向.

3 仿真及性能分析

為了驗(yàn)證算法的解相干性能和估計(jì)性能，這里將本文算法和文獻(xiàn)［9］中提出的UMUSIC算法以及文獻(xiàn)［4］中的前后向空間平滑(FBSS)算法進(jìn)行比較.

3.1 算法估計(jì)特性的仿真比較

試驗(yàn)條件:陣列為均勻等間距的線陣陣列，陣元距為半個(gè)波長(zhǎng)，陣元數(shù)為8，2個(gè)相干信源分別從-20°和20°入射到陣列中，信噪比均為0dB，采樣拍數(shù)為20和2.

圖3、4分別給出了采樣拍數(shù)為20和2情況下，本文算法和UMUSIC算法的仿真性能對(duì)比.可以看出，在采樣拍數(shù)為20時(shí)，本文算法和UMUSIC算法均能很好的對(duì)相干信源進(jìn)行解相干，能夠準(zhǔn)確地估計(jì)出相干信源的波達(dá)方向.但在采樣拍數(shù)為2時(shí)，UMUSIC方法在估計(jì)相干信源波達(dá)方向時(shí)已經(jīng)出現(xiàn)了干擾的波峰，從而影響估計(jì)信源波達(dá)方向的精度，這主要是由于UMUISC算法是通過(guò)前后向空間平滑解相干，損失了陣列孔徑，估計(jì)精度低，低拍數(shù)采樣時(shí)更加容易受到噪聲干擾，出現(xiàn)了偽峰，影響估計(jì)結(jié)果.本文方法能夠精確地估計(jì)出相干信源的波達(dá)方向，而且在相干信源的方位形成尖銳的波峰，信源方位之間的譜線幅度壓低至接近0 dB.因此本文的方法具有更高的分辨率，能夠在低采樣拍數(shù)下準(zhǔn)確估計(jì)出相干信源的波達(dá)方向.

圖3 采樣拍數(shù)為20時(shí)估計(jì)性能比較

3.2 算法統(tǒng)計(jì)特性的比較

在2個(gè)相干信源的條件下，比較本文方法和UMUSIC算法、FBSS算法的統(tǒng)計(jì)性能.8個(gè)陣元的均勻等距線性陣列接收2個(gè)方位為-10°和20°的相干信源，采樣拍數(shù)為2，仿真結(jié)果為對(duì)每個(gè)SNR點(diǎn)做500次蒙特卡洛仿真的統(tǒng)計(jì)結(jié)果.圖5和圖6分別給出了3種算法的均方根誤差和估計(jì)成功概率的性能比較.

圖4 采樣拍數(shù)為2 時(shí)估計(jì)性能比較

圖5給出了不同信噪比情況下，3種算法的估計(jì)均方根誤差的比較曲線.由圖中可以看出，無(wú)論是在低信噪比還是在高信噪比環(huán)境中，F(xiàn)BSS方法和UMUSIC算法的估計(jì)均方根誤差基本一致，但均比本文方法的均方誤差要大很多，估計(jì)性能不是很理想.而本文方法在信噪比RSN為5 dB時(shí)，估計(jì)均方根誤差已經(jīng)很小，估計(jì)性能明顯優(yōu)越于FBSS方法和UMUSIC算法.

圖5 均方根誤差比較曲線

圖6給出了不同信噪比情況下，3種算法的估計(jì)成功概率比較曲線.從圖中可知，本文的方法在估計(jì)成功概率方面擁有低的信噪比門限，在信噪比為5 dB時(shí)估計(jì)成功概率達(dá)到100%，而FBSS算法和UMUSIC方法在大約13 dB時(shí)估計(jì)成功概率才能達(dá)到100%，因此本文方法能夠在較低的信噪比情況下準(zhǔn)確地判斷出相干信源的波達(dá)方向.

由于FBSS方法和UMUSIC的解相干是以損失陣列孔徑為代價(jià)的，在陣元數(shù)目較少的情況下，估計(jì)性能和分辨力都會(huì)受到很大的影響.而本文方法不損失陣列孔徑實(shí)現(xiàn)了對(duì)相干信源的解相干，具有很低的信噪比門限以及較小的均方根誤差和估計(jì)方差，因而本文算法在低信噪比環(huán)境下具有更好的解相干性能.

圖6 估計(jì)成功概率比較曲線

4 結(jié)論

1)提出了基于酉變換的虛擬陣列DOA估計(jì)算法，該方法不僅避免了空間平滑類解相干算法損失的陣列孔徑，而且減少了重構(gòu)矩陣解相干的計(jì)算復(fù)雜度.

2)基于酉變換的虛擬陣列DOA估計(jì)算法在較少的拍數(shù)和不損失陣列孔徑情況下可有效估計(jì)出相干信源的波達(dá)方向，運(yùn)算量小，有利于實(shí)時(shí)處理，是一種較好的解相干算法.理論分析和仿真結(jié)果驗(yàn)證了該算法的有效性.

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