宋曉輝

（鄭州華信學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 鄭州 451100）

基于偏序關(guān)系的區(qū)間數(shù)多屬性決策方法研究

宋曉輝

（鄭州華信學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 鄭州 451100）

針對權(quán)重和屬性值都是區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題，基于三種常用的偏序關(guān)系，討論綜合評價值的排序，選出最優(yōu)方案.當(dāng)綜合評價值有最大元時，最大元對應(yīng)的方案就是最優(yōu)方案；當(dāng)綜合評價值沒有最大元時，通過定義擬最大元找到最優(yōu)方案.最后給出了一個實例分析.

區(qū)間數(shù)；多屬性決策；偏序關(guān)系；最優(yōu)方案

1 引言

多屬性決策問題是指在考慮多個屬性的情況下，選擇最優(yōu)方案或進行方案排序的決策問題，它是決策科學(xué)的一個重要組成部分.在現(xiàn)實的決策問題中，由于客觀事物的復(fù)雜性和不確定性以及人們認(rèn)識事物的模糊性，導(dǎo)致決策信息不確定，可以用區(qū)間數(shù)進行量化，因此對基于區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題研究具有重要意義.多屬性決策問題最終歸屬于對各方案進行排序或擇優(yōu).當(dāng)各方案的綜合評價值用區(qū)間數(shù)表示時，我們在區(qū)間數(shù)集上引入偏序關(guān)系，就可以對各個方案進行排序.本文基于三種常用的偏序關(guān)系,討論了綜合評價值的排序，并通過實例分析得知當(dāng)決策者的心態(tài)不同時，得到的最優(yōu)方案也可能不一樣，符合人們的一般認(rèn)識.

2 區(qū)間數(shù)及其序關(guān)系

定義2.1[1]設(shè)=[a-,a+]是有界閉區(qū)間，如果a-,a+∈R，則稱軇=[a-,a+]為區(qū)間數(shù).實數(shù)集R上的全體區(qū)間數(shù)記為IR，即

特別地，記I+R={[a-,a+]|0≤a-≤a+，a-,a+∈R}為正區(qū)間數(shù)集.本文討論的區(qū)間數(shù)都是正區(qū)間數(shù).

當(dāng)a-=a+時，記[a-,a+]={a-}=a-.可見，實數(shù)是區(qū)間數(shù)的特殊情況.

定義2.2[2]設(shè)P是一個集合，P上的二元關(guān)系≤叫做一個偏序關(guān)系，如果滿足

這時稱(P,≤)為一個偏序集.

下面是人們常用的幾種區(qū)間數(shù)偏序關(guān)系.

3 基于區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題描述

本文研究屬性的權(quán)重和方案在各屬性下的屬性值都是區(qū)間數(shù)的情形，為了方便起見,作以下標(biāo)記：

.S={S1,S2,…,Sm}：m個決策方案的集合（m≥2）.

.Q={Q1,Q2,…,Qn}：n個屬性(或指標(biāo))的集合（n≥2）.

在決策中,屬性大致可以分為兩類,即效益型屬性和成本型屬性.為了消除不同量綱或數(shù)量級給決策結(jié)果帶來的諸多不便，可以采用以下規(guī)范化方法,得到?jīng)Q策矩陣其中也是區(qū)間數(shù).

對于效益型屬性[3]：

對于成本型屬性[3]：

區(qū)間數(shù)多屬性決策問題就是在區(qū)間數(shù)決策信息(即w軒和A軒)已知的情況下,如何從備選方案的集合S中選擇最優(yōu)方案或?qū)Ψ桨高M行排序.本文主要通過對各方案的綜合評價值的排序，來反映各方案的優(yōu)先順序，關(guān)于綜合評價者的求取方法詳見文獻[4].

4 區(qū)間數(shù)的排序

在得到各個方案的綜合評價值后，接著就是對綜合評價值進行排序，選出最優(yōu)方案.由于這里的每一個綜合評價值都是區(qū)間數(shù)，因此本文應(yīng)用偏序關(guān)系對綜合評價值進行排序.其基本思想是：如果綜合評價值有最大元，則最大元對應(yīng)的方案為最優(yōu)方案；如果綜合評價值沒有最大元，則定義擬最大元，分別求出每個極大元與擬最大元的距離.如果一個極大元離擬最大元距離最小，則這個極大元對應(yīng)的方案為最優(yōu)方案.

這里D的上確界M不屬于集合D，若不然，則M就是最大元，D有最大元.類似地，可定義偏序集(D,≤2)的擬最大元M'，偏序集(D,≤3)的擬最大元M".

設(shè)S={S1,S2,…,Sm}為m個決策方案的集合…，}為方案綜合評價值的集合，其中]為方案Si的綜合評價值.下面說明集合在三種偏序關(guān)系≤1、≤2、≤3下上確界的存在性.

證明 令

假設(shè)N=[N-,N+]是集合D的上界，則有，即M≤1N，M是集合D的最小上界.

由上確界的定義知，M是集合D在序關(guān)系≤1下的上確界.

證明 令

假設(shè)N=[N-,N+]是集合D的上界，則有，即M'≤2N，M'是集合D的最小上界.

由上確界的定義知，M'是集合D在序關(guān)系≤2下的上確界.

假設(shè)N=[N-,N+]是集合D的上界，則有，即M"≤3N，M"是集合D的最小上界.

由上確界的定義知，M"是集合D在序關(guān)系≤3下的上確界.

定義4.2[5]設(shè)任意的]定義映射d:IR×IR→如下：這里的t∈[0,1]，則稱之間的距離.

區(qū)間數(shù)排序步驟：

S t e p 1選擇≤1、≤2、≤3其中一個序?qū)Ω鱾€方案的綜合評價值進行排序.

S t e p 2若綜合評價值有最大元，則最大元對應(yīng)的方案為最優(yōu)方案.若綜合評價值沒有最大元，則虛構(gòu)擬最大元M.

S t e p 3只考慮作為擬最大元下鄰的那些極大元，依次設(shè)為d'1，d'2，…，d'n(1≤n≤m).計算d'i(1≤i≤n)與擬最大元M之間的距離d(d'i,M)，若d'i比d'j(1≤i,j≤n)離擬最大元M距離小，則d'i優(yōu)于d'j.

S t e p 4方案決策者根據(jù)d(d'i,M)(1≤i≤n)的大小，選出最優(yōu)方案.若d(d'i,M)越小，則d'i對應(yīng)的方案S'i越優(yōu).

分析：當(dāng)方案集沒有最大元時，須定義擬最大元，三種偏序關(guān)系有三種不同的擬最大元，而通過距離得到的最優(yōu)方案有可能不一樣.如果兩個方案具有≤1序關(guān)系，則一定具有≤2和≤3序關(guān)系.采用≤2序關(guān)系的決策者持保守心態(tài)，它只考慮左端點和中點是否具有相同的大小關(guān)系，所以通過序關(guān)系得到的最優(yōu)方案也是一種保守的結(jié)果.采用≤3序關(guān)系的決策者持積極心態(tài)，它只考慮右端點和中點是否具有相同的大小關(guān)系，所以通過≤3序關(guān)系得到的最優(yōu)方案也是一種積極的結(jié)果.故采用三種偏序關(guān)系≤1、≤2、≤3分別體現(xiàn)了決策者的中立、保守、積極的心態(tài).

5 實例分析

為了了解各學(xué)院的實際情況和促進各學(xué)院的發(fā)展，某大學(xué)決定對5個學(xué)院(S1,S2,S3,S4,S5)進行評估.大學(xué)組織了專家組，擬采用教學(xué)、科技、服務(wù)三個屬性作為評估指標(biāo)，經(jīng)過調(diào)查和統(tǒng)計，得到各屬性的權(quán)重和各方案的屬性值見表1[6]和表2[6]，試做出綜合評估.

表1 屬性的權(quán)重

表2 各方案的屬性值

因三個屬性都是效益型的，且決策矩陣已規(guī)范化.根據(jù)文獻[4]可計算每個學(xué)院的綜合評價值分別為：

①基于偏序關(guān)系≤1的排序，這時決策者持保守態(tài)度.

利用≤1對}進行排序，得到)，其中無法比較和為極大元.

②基于偏序關(guān)系≤2的排序，這時決策者持中立態(tài)度.

利用≤2對}進行排序，得到，其中和無法比較.由此可知，S3為最優(yōu)方案.

③基于偏序關(guān)系≤3的排序，這時決策者持積極態(tài)度.

利用≤3對}進行排序，得到，其中和無法比較和為極大元.

分析：結(jié)果表明，當(dāng)決策者的心態(tài)不同時，得到的方案排序結(jié)果也會不同，是符合實際的.當(dāng)決策者持中立態(tài)度和持保守態(tài)度時，認(rèn)為S3為最優(yōu)方案.當(dāng)決策者持冒險態(tài)度時，認(rèn)為S2為最優(yōu)方案.

6 結(jié)束語

本文主要對基于區(qū)間數(shù)的多屬性決策方法進行了研究，通過對各方案綜合評價值的比較，來反映各方案的優(yōu)先順序.首先基于三種常用的偏序關(guān)系對各方案綜合評價者進行比較，當(dāng)綜合評價值有最大元，則最大元對應(yīng)的方案為最優(yōu)方案；當(dāng)綜合評價值沒有最大元，則定義擬最大元.分別求出每個極大元與擬最大元的距離，如果一個極大元離擬最大元距離最小，則這個極大元對應(yīng)的方案為最優(yōu)方案.三種偏序關(guān)系的選擇反映了決策者的不同心態(tài)，當(dāng)決策者持不同心態(tài)時，得到的最優(yōu)方案可能不同，是符合實際的.

〔1〕胡寶清.模糊理論基礎(chǔ)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社,2004.

〔2〕黃天民.格序引論及其應(yīng)用[M].成都：西南交通大學(xué)出版社,1998.

〔3〕汪新凡.區(qū)間數(shù)多屬性決策的SPA-TOPIS方法[J].湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報,2008（1）:62.

〔4〕宋曉輝.基于區(qū)間數(shù)的多屬性決策方法研究.西南交通大學(xué)碩士學(xué)位論文,2011.

〔5〕蘭蓉.一種基于區(qū)間數(shù)距離的理想點多屬性決策方法[J].西安郵電學(xué)院學(xué)報,2009,1(14):84-85.

〔6〕郭春香,郭耀煌.具有區(qū)間數(shù)的多目標(biāo)格序決策方法研究[J].預(yù)測,2004（5）:71-73.

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1673-260X（2012）10-0010-03