楊春梅，李祖泉

（杭州師范大學理學院，浙江杭州310036）

集值映射空間與超空間的繼承稠密度和繼承Lindel?f度

楊春梅，李祖泉

（杭州師范大學理學院，浙江杭州310036）

利用連續(xù)集值賦值映射和弱拓撲討論了集值映射空間的繼承稠密度和繼承Lindel?f度，獲得了點態(tài)收斂拓撲空間（X）上hd（（X））和hl（（X））與基本空間X的對偶性以及緊開拓撲空間（X）上hd（X））和hl（X））與基本空間X的對偶性，推廣了單值連續(xù)集值映射空間（X）的相關(guān)結(jié)論.

集值映射空間；超空間；繼承稠密度；繼承Lindel?f度；弱拓撲

0 引 言

Zenor P［1］和McCoy R A［2-3］對函數(shù)空間（X）在賦予緊開拓撲下的繼承稠密度和繼承Lindel?f度進行了系統(tǒng)研究，騰輝，林壽［4］對點態(tài)收斂函數(shù)空間Cp（X）給出了繼承稠密度和繼承Lindel?f度的等價刻畫，并且指出了McCoy R A的證明中的錯誤.本文研究了點緊連續(xù)集值映射空間（X）和（X）與基本空間X和的繼承稠密度和繼承Lindel?f度的對偶不等式定理，給出了（X）上hd（（X））和hl（X））以及（X）上hd（k（X））和hl（X））的兩個對偶性證明.

本文中，拓撲空間X是Hausdorff空間，K（X）表示X的所有非空緊子集族，ω表示可數(shù)序數(shù)，?表示自然數(shù)集，?表示實直線，（X）為X到?上的所有點緊致的連續(xù)映射族，p（X）為（X）賦予點態(tài)收斂拓撲，k（X）為（X）賦予緊開拓撲.文中未定義的術(shù)語和符號均以［3］，［5］和［6］為準.

1 預(yù)備知識

對于X的子集K，?的子集U，V，記W＋［K；U］＝｛f∈k（X）：f（K）?U｝；W-［K；V］＝｛f∈k（X）：f（x）∩V≠φ，x∈K｝.

定義1 以所有形如W＋［x；U］，W-［x；V］的集為子基作為（X）的拓撲，其中x∈X，U，V為?的開子集.該拓撲稱為點態(tài)收斂拓撲，記為p（X）.

定義2 以所有形如W＋［K；U］，W-［K；V］的集為子基作為（X）的拓撲，其中K∈K（X），U，V為

的集生成，其中K∈K（X），k∈?，V1，V2，…，Vk為?中的開集.證明 由定義，k（X）的基開集由形如W＋［K，U］，W-［K，V］的集的有限交

生成，其中Ai，Bj∈K（X），開集Ui，Vj??，1≤i≤m，1≤j≤n，m，n∈?.容易證明∩mi＝1W＋［Ai；Ui］∩∩nj＝1W-［Bj；Vj］＝∩mi＝1W［Ai；Ui］∩∩nj＝1W［Bj；Vj，X］.另一方面，對于任意K∈K（X），開集Vi??，1≤i≤k，k∈?，W［K；V1，V2，…，Vk］＝∩ki＝1W-［K；Vi］∩W＋［K；∪ki＝1Vi］.

2 主要結(jié)果

設(shè)X是拓撲空間，X的繼承稠密度hd（X）定義為：（hd）（X）＝ω＋sup｛d（A）：A?X｝.特別地，若hd（X）＝ω，則稱X是繼承可分空間.X的繼承Lindel?f度hl（X）定義為：hl（X）＝ω＋sup｛L（A）：A?X｝.特別地，若hl（X）＝ω，則稱X是繼承Lindel?f空間，其中d（A）和L（A）分別代表子集A?X的稠密度和Lindel?f度.

空間X上的緊子集超空間K（X）的基為形如形式，其中n∈?，Ui（1≤i≤k）是X中的開集.由［7］命題4.5.1，有w（K（X））＝w（X）.

定義4 設(shè)X，Y和Z是拓撲空間，f：X×Y→Z是點緊致的集值映射.對于y∈Y，定義集值映射fy：X→Z為fy（x）＝f（x，y）；類似地，對于x∈X，定義集值映射fx：Y→Z為fx（y）＝f（x，y）.若對于每一個y∈Y，fy是連續(xù)的，則稱f是在X上的連續(xù)的；同理，若對于每一個x∈X，fx是連續(xù)的，則稱f是在Y上連續(xù)的.

定理1 設(shè)X，Y和Z是拓撲空間，f：X×Y→Z是點緊致的集值映射.f是在Y上連續(xù)的，且X具有使得f是在X上連續(xù)的弱拓撲，則下列結(jié)論成立：（a）hd（X）≤hl（Y）·w（K（Z））；（b）hl（X）≤hd（Y）· w（K（Z））.

（a）設(shè)A?X，因為f是在Y上連續(xù)的，對于n∈?，Ui∈，1≤i≤n，令

令A(yù)′＝∪｛A（U1，U2，…，Un）：（U1，U2，…，Un）∈＃｝，則｜A′｜≤hl（Y）·w（K（Z））.下面證明＝A.設(shè)x∈A，V為含x的開鄰域，因為X具有使得f是在X上連續(xù)的弱拓撲，則是X的基.從而存在y∈Y，（U1，U2，…，Un）∈＃，使得.而U2，…，Un），所以存在使得.從而，即x′

則對于B（U1，U2，…，Un）的每個稠密子集B′（U1，U2，…，Un），有｜B′（U1，U2，…，Un）｜≤hd（Y）.令

則｜A″｜≤hd（Y）·w（Z）.下面證明：∪A′＝∪A″.顯然有∪A″?∪A′.設(shè)x∈∪A′，那么存在（U1，使得.從而U2，…，Un），所以存在.因此，故x∈∪A″.

推論1 設(shè)f：X×Y→?是點緊致的集值映射.X，Y上的拓撲是使得f在X和Y上均是連續(xù)的弱拓撲，則hd（X）＝hl（Y）且hl（X）＝hd（Y）.

證明 因為w（?）＝ω，由w（K（?））＝w（?）＝ω，則hd（X）≤hl（Y）·w（K（?））＝hl（Y）且hl（X）≤hd（Y）·w（K（?））＝hd（Y）.由X和Y的對稱性，有hd（Y）≤hl（X）且hl（Y）≤hd（X）.從而hd（X）＝hl（Y）且hl（X）＝hd（Y）.

定理2 對于拓撲空間X，下列結(jié)論成立：（a）hd（X）≤hl（p（X））；（b）hl（X）≤hd（p（X））.

則形如U-，U＋的集是K（?）的子基開集.由

可知φf為X上的連續(xù)集值映射.從而由定理1知hd（X）≤hl（p（X））·w（K（?））＝hl（p（X））及hl（X）≤hd（p（X））·w（K（?））＝hd（p（X））.

定理3 對于拓撲空間X，下列結(jié)論成立：（a）hd（X）≤hl（k（X））；（b）hl（X）≤hd（k（X））.

設(shè)f∈W＋［K；U］，則f（K）?U.對于x∈K時，有f（x）?U.因為f是連續(xù)映射，則f（x）為緊集，從而存在包含f（x）的開集W，使得f（x）?W?W?U.所以存在K的開子集Vx，使得x′∈Vx，且有是閉集，有，即.對于任意.因為K是緊的，存在x1，x2，…，xn∈K，n∈?，使得

設(shè)f∈W-［K；U］，對于x∈K，有f（x）∩U≠φ.設(shè)y∈f（x）∩U，則存在包含y的?中的開集W，使得.因為f是連續(xù)映射，所以存在K的開子集Vx，使得當x′∈Vx時，f（x′）∩W≠φ，即Vx?f-（W），從而由）為閉集，有.對于任意，有φ（x′，f′）?U.因為K是緊的，存在x1，x2，…，xn∈K，n∈?，使得.從而W-.

推論3 對于拓撲空間X，有：

［1］Zenor P.Hereditary m-seperability and the hereditary m-lindel?f property in product spaces and functions［J］.Fund Math，1980，106：175-180.

［2］McCoy R A.Countability properties of function spaces［J］.Roc Moun Jour Math，1980，10（4）：717-730.

［3］McCoy R A，Ntantu I.Topological Properties of Spaces of Continuous Functions［C］／／Lecture Notes in Math，Berlin：Springer-Verlag，1988：1315.

［4］騰輝，林壽.函數(shù)空間的遺傳稠密度和遺傳Lindel?f度［J］.科學通報.1993，38（1）：1-4.

［5］林壽.度量空間與函數(shù)空間的拓撲［M］.北京：科學出版社，2004.

［6］Engelking.General Topology［M］.Warszwa：Polish Scientific Publishers，1977.

［7］Michael E.Topologies on spaces of subsets［J］.Trans Math Soc，1951，71：152-182.

On Hereditary Density and Hereditary Lindel?f Degree of Multifunction Spaces and Hyperspaces

YANG Chun-mei，LI Zu-quan

（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

This paper discused the hereditary density and the hereditary Lindel?f degree of multifunction spaces by means of evaluation multifunction and weat topology，obtained two dualities of point-wise convergent topological spacek（p）with basic Xand compact-open topological spacek（X）with basic Xabout hd（p（X）），hl（p（X））and hd（k（X）），hl（k（X））.These results extended related conclusions of function spaceκ（X）.

multifunction space；hyperspace；hereditary density；hereditary Lindel?f degree；weak topology.

11.3969／j.issn.1674-232X.2012.02.018

O189.1 MSC2010：54A25

A

1674-232X（2012）02-0185-04

2011-09-17

李祖泉（1963—），男，教授，主要從事一般拓撲學研究.E-mail：hzsdlzq＠sina.com