☉江蘇省盱眙中學(xué) 杜加強(qiáng)

轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與不等價(jià)轉(zhuǎn)化.等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程的前因與后果既是充分的，又是必要的，以保證轉(zhuǎn)化后所得的結(jié)果為原題的結(jié)果；不等價(jià)轉(zhuǎn)化其過程則是充分或必要的，這樣的轉(zhuǎn)化能給人帶來思維的閃光點(diǎn)，找到解決問題的突破口.不等價(jià)轉(zhuǎn)化要對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行必要的修正（如解無理方程轉(zhuǎn)化為解有理方程，要進(jìn)行驗(yàn)根）.

一、陌生與熟悉的轉(zhuǎn)化

解題時(shí)往往從考查新問題的結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)入手，橫向回想與之形似的某些熟知情境及處理方法，或縱向聯(lián)想類似解決過的問題及解決方式，這樣，就能很快找到解決問題的突破口.

評(píng)析：通過變形、變量代換等方法，把已知式轉(zhuǎn)化為同學(xué)們比較熟悉的an+1=pan+q型的一階遞推數(shù)列問題，通過構(gòu)造等比數(shù)列等一系列化歸手段，把非等比數(shù)列問題轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列問題.只有熟悉一些常見的解題方法，熟悉教材，才能處理好陌生向熟悉轉(zhuǎn)化的關(guān)系.

二、等與不等的轉(zhuǎn)化

將等式與不等式對(duì)應(yīng)等價(jià)轉(zhuǎn)化，是轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題的常用和有效手段.

例2 若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是______.

三、三個(gè)一元二次的互相轉(zhuǎn)化

三個(gè)一元二次（函數(shù)、方程、不等式）綜合問題，是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要問題，它具有令人矚目的地位.尤其是以一元二次方程形式出現(xiàn)的不等式證明問題，既是高考的熱點(diǎn)題型，又是頗難解決的數(shù)學(xué)綜合題.這類問題若能抓住三個(gè)一元二次之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用一元二次函數(shù)的特有性質(zhì)，在紛繁的困惑中求得簡(jiǎn)捷的突破.

例3設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的兩個(gè)根

證明：由x1、x2是方程f（x）-x=0的兩個(gè)根，得f（x）-x=a（x-x1）·（x-x2）.

當(dāng)0＜x＜x1時(shí)，由a＞0，得a（x-x1）（x-x2）＞0，則x＜f（x）；

又x1-f（x）=x1-x-a（x-x1）（x-x2）=（x1-x）［1+a（x-x2）］.

所以有x＜f（x）＜x1成立.

四、正與反的轉(zhuǎn)化

有些數(shù)學(xué)問題，如果直接從正面入手求解，難度大，致使解題思路受阻，但此時(shí)考慮問題的反面，則可使問題獲解.

例4y=f（x）在它的定義域內(nèi)是增函數(shù).

（1）證明y=f-1（x）在其定義域內(nèi)也是增函數(shù)；

（2）若f（x）=f-1（x），證明：f（x）=x.

證明：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則其反函數(shù)f-1（x）的定義域?yàn)锽，值域?yàn)锳.

（1）任取x1∈B，x2∈B，且x1＜x2，假設(shè)f-1（x1）＜f-1（x2）不成立，則應(yīng)有f-1（x1）≥f-1（x2）.

又f-1（x1）∈A，f-1（x2）∈A，從而f（x）在A上是增函數(shù)，所以f［f-1（x1）］≥f［f-1（x2）］，即x1≥x2，這與所設(shè)x1＜x2矛盾.

故假設(shè)不成立，所以f-1（x1）是增函數(shù).

（2）假設(shè)f（x）≠x，則在f（x）的定義域內(nèi)存在x0，使f（x0）≠x0，不妨設(shè)f（x0）＞x0.記f（x0）=x1，則x1＞x0，且f-1（x1）=x0.因?yàn)閒-1（x）=f（x），所以f（x1）=x0.又因?yàn)閒（x）為增函數(shù)，所以由x1＞x0，得f（x1）＞f（x0），即x0＞f（x0），與假設(shè)矛盾.故f（x）=x成立.

五、常量與變量的轉(zhuǎn)化

有些數(shù)學(xué)題中的常量具有特殊性，常常暗示著某種巧妙的解題思路，并有尋求解題途徑的導(dǎo)向功能，如能充分挖掘，巧妙轉(zhuǎn)化，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，優(yōu)化解題過程.

六、構(gòu)造命題與形式轉(zhuǎn)化

通過分析構(gòu)造一個(gè)與原命題相關(guān)的新命題，將原命題結(jié)構(gòu)從形式上轉(zhuǎn)化，這樣使比較難解的原命題轉(zhuǎn)化為較易解決的新命題，通過對(duì)新命題的研究達(dá)到解決原命題的目的.