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        淺析指數函數的常見考點

        2012-08-28 02:35:26河南省羅山高級中學
        中學數學雜志 2012年5期
        關鍵詞:指數函數考點單調

        ☉河南省羅山高級中學 楊 希

        指數函數是我們學習的重要基本函數之一,蘊涵了豐富的函數的內容和函數思想,也是高考中的“??汀?接下來筆者就指數函數的常見的考點略作小結,供讀者參考.

        一、指數函數的主要內容

        a>1 0

        二、常見考點例析

        考點一:指數函數的定義考查

        定義是學習新知識的基礎,深刻理解定義對整節(jié)內容的學習至關重要.

        例1若函數f(x)=(a2-3a+3)·ax是指數函數,則a=______.

        考點二:指數函數的圖像考查

        “數形結合”是高中數學的重要數學思想之一,能直觀的反映出問題的本質.掌握指數函數的圖像特征和性質,結合圖像變換法則畫出圖像,便可使一些復雜的問題更直觀、更簡捷.

        例2已知f(x)=ax(a>1),g(x)=bx(b>1),當f(x1)=g(x2)=2時,有x1>x2,則a、b的大小關系是______.

        分析:指數函數圖像具備如下性質:在第一象限圖像離x軸越遠,函數的底越大.具體證明(如圖1),取x=1,則有c

        解:根據題設,畫出圖像,如圖2,利用指數函數的性質,則有a

        圖1圖2

        考點三:指數函數的單調性的考查

        “單調性”是函數的重要性質之一.構造指數函數模型,利用單調性比大小、解不等式、求值域等是常考題型.

        由f(m)>f(n),得m

        考點四:函數與方程思想的考查

        “函數與方程思想”是數學的重要思想之一.函數是方程與不等式的“中介”,三者既有區(qū)別,又聯(lián)系緊密,相互轉化.

        例4 若關于x的方程4x+1-m4x-m-3=0有正根,求m的取值范圍.

        分析:這是含有參數的指數方程,根據指數函數的性質、方程與函數相互轉換等知識,有以下幾種思路.

        解法1:利用指數函數的值域轉化為關于m的不等式.

        解法2:把原方程換元轉化為關于4x的一次函數來研究.

        設4x=t.由x>0,得t>1.

        原方程變形為(4-m)t-m-3=0.(1)

        設f(t)=(4-m)t-m-3(t>1),原方程有正根,等價于方程⑴在區(qū)間(1,+∞)內有實根,則只要函數f(t)在區(qū)間(1,+∞)內的圖像與橫軸相交.

        考點五:分類討論思想的考查

        “分類討論”一直是高考重點考查的內容之一.常見的分類情形有:按數的特性分類;按字母的取值范圍分類;按事件的可能情況分類;按圖形的位置特征分類等.指數函數涉及的討論主要是底“a”的范圍的討論.

        例5若函數f(x)=ax-x-a(a>0,a≠1)有兩個零點,則實數a的取值范圍是______.

        分析:設函數y=ax(a>0)且a≠1)和函數y=x+a,則函數f(x)=ax-x-a(a>0,a≠1)有兩個零點,就是函數y=ax(a>0且a=1)與函數y=x+a有兩個交點.由圖像可知當01時,因為函數y=ax(a>1)的圖像過點(0,1),而直線y=x+a所過的點一定在點(0,1)的上方,所以一定有兩個交點.所以實數a的取值范圍是(1,+∞).

        例6若函數f(x)=ax(a>0,a≠1)在區(qū)間[1,2]上的最大值是最小值的3倍,則a=________.

        分析:由于底a大小不定,則函數的單調性不定,故需要討論.

        解:①當a>1時,f(x)=ax(a>0,a≠1)單調遞增,則a2=3a?a=3或a=0(舍去).

        ②當00,a≠1)單調遞減,則或a=0(舍去).

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