圓錐曲線兩垂直焦點(diǎn)弦的一組性質(zhì)
2012-08-28 02:35:26湖北武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)葉良志特級(jí)教師
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年5期
☉湖北武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 葉良志 盧 瓊（特級(jí)教師）
圓錐曲線優(yōu)美、和諧，它有許多內(nèi)涵豐富、應(yīng)用廣泛的幾何性質(zhì)，吸引著數(shù)學(xué)愛(ài)好者樂(lè)此不疲地去研究它、發(fā)掘它、拓展它.筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，如果過(guò)圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作兩條相互垂直的弦，與此相關(guān)聯(lián)，就可以得到如下漂亮的性質(zhì).
性質(zhì)5 過(guò)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB、CD，若弦AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N，那么直線MN恒過(guò)定點(diǎn)
性質(zhì)6 過(guò)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB、CD，若以弦AB、CD為直徑的圓的公共弦為PQ，那么直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)（0，0）（即坐標(biāo)原點(diǎn)）.
證明： 因?yàn)锳（x1，y1）、B（x2，y2），可得以AB為直徑的圓的方程為：
把③④兩式相減，就可得到以AB、CD為直徑的圓的公共弦PQ的方程為：
所以，直線PQ恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，0）（即坐標(biāo)原點(diǎn)）.
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