☉江蘇省睢寧高級(jí)中學(xué)（南校） 張大成 黃安成（特級(jí)教師）

這個(gè)話(huà)題，本不該有爭(zhēng)議，但鑒于數(shù)學(xué)教學(xué)的時(shí)間緊、內(nèi)容多、負(fù)擔(dān)重、難度大，許多數(shù)學(xué)教師在實(shí)踐中感到“無(wú)暇顧及”這個(gè)重要任務(wù).更有甚者，認(rèn)為數(shù)學(xué)教的只能是數(shù)學(xué)，不應(yīng)該去管數(shù)學(xué)以外的“閑事”，學(xué)生也不懂什么辯證思維，講了也白講，既耽誤了寶貴的教學(xué)時(shí)間，又很難取得成效，不如多處理一些題目來(lái)得實(shí)惠.所以對(duì)這個(gè)話(huà)題極有必要進(jìn)行深入的探討和研究.

1.在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生辯證思維的必要性

恩格斯說(shuō)：“數(shù)學(xué)中充滿(mǎn)了辯證法”，“數(shù)學(xué)：辯證的輔助工具和表現(xiàn)形式”［1］，所以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》［2］要求學(xué)生“具有一定的數(shù)學(xué)視野，逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，…，從而進(jìn)一步樹(shù)立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀.”

學(xué)生在初中階段，已經(jīng)學(xué)得了一點(diǎn)邏輯思維的基本原理與方法，但由于心理的稚嫩、思維水平與能力的薄弱、認(rèn)知能力的局限、知識(shí)面的狹隘、生活閱歷的貧乏、對(duì)人生及世界認(rèn)識(shí)的膚淺與片面，辯證思維對(duì)于他們來(lái)說(shuō)幾乎是一片空白.而高中階段則是他們的人生觀與科學(xué)世界觀逐步形成的關(guān)鍵時(shí)刻，他們將要經(jīng)歷的應(yīng)該是從幼稚到成熟、從蒙昧到覺(jué)醒的成長(zhǎng)、成熟的過(guò)程.在此過(guò)程中繼續(xù)提高他們的邏輯思維水平，反復(fù)進(jìn)行分析與解決問(wèn)題的技能訓(xùn)練，固然是十分重要的，但在他們的綜合素質(zhì)中應(yīng)該含有辯證思維的水平與能力.高中的政治教學(xué)當(dāng)然應(yīng)首先擔(dān)負(fù)起這個(gè)重任，而作為理科之首的數(shù)學(xué)，也應(yīng)該義不容辭地與政治教師“并肩協(xié)同作戰(zhàn)”，而且由數(shù)學(xué)教師充分利用數(shù)學(xué)教學(xué)資源當(dāng)此重任，具有的是鮮明的數(shù)學(xué)特色，在某些方面甚至還可以取得政治教學(xué)難以取得的上佳效果.

2.在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生辯證思維的可行性

2.1 數(shù)學(xué)教材中含有大量可資利用的素材

數(shù)學(xué)中充滿(mǎn)了辯證法，高中數(shù)學(xué)教材中也充滿(mǎn)了辯證法.若舍棄不用，則是資源的浪費(fèi)和良機(jī)的喪失.說(shuō)嚴(yán)重一點(diǎn)，更是數(shù)學(xué)教師的失責(zé).關(guān)鍵問(wèn)題是須做到抓住契機(jī)、有機(jī)結(jié)合、巧妙揭示.

2.2 深入淺出的教學(xué)可取得良好的效果

別擔(dān)心學(xué)生“不懂”，只要利用教學(xué)內(nèi)容中鮮活生動(dòng)的實(shí)例，用貼近學(xué)生思維、知識(shí)和生活的語(yǔ)言，深入淺出地進(jìn)行講解，學(xué)生的思維和思想定會(huì)與教師產(chǎn)生可喜的共鳴，深刻的道理就會(huì)變得淺顯，通過(guò)內(nèi)化，就變成他們自己腦海中的組成部分.數(shù)學(xué)教師來(lái)做這件事，學(xué)生將更加感到興趣盎然.

2.3 辯證思維也有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的優(yōu)化

在許多概念的教學(xué)和問(wèn)題解答的過(guò)程中，辯證思維的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的優(yōu)化是融為一體、很難分割的，那么兩者的互補(bǔ)和相得益彰，就使學(xué)生的綜合素養(yǎng)提升到一個(gè)新的制高點(diǎn)，也將使我們的數(shù)學(xué)教學(xué)上升到一個(gè)更高的品位.

2.4 結(jié)合貼近學(xué)生生活的具體事例強(qiáng)化辯證思維的發(fā)展

在學(xué)生的實(shí)際生活中也存在著大量蘊(yùn)涵辯證思維的例子，巧妙結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容，利用學(xué)生的親身感悟和體驗(yàn)，辯證思維的科學(xué)理念將更加深入學(xué)生的心靈.

3.在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生辯證思維例探

3.1 矛盾是推動(dòng)事物發(fā)展的根本動(dòng)力

矛盾是推動(dòng)事物發(fā)展的根本動(dòng)力.“矛”想戳穿“盾”，就須變得越來(lái)越銳利；“盾”想防住“矛”，就須變得越來(lái)越堅(jiān)固.“矛”和“盾”之間的爭(zhēng)斗推動(dòng)了“攻、守”雙方的不斷進(jìn)步.肝炎原本只有一種“甲肝”，但在人們與甲肝的斗爭(zhēng)中，甲肝病毒它要謀求生存，就不斷變異，以后就陸續(xù)出現(xiàn)了“乙肝、丙肝、丁肝、戊肝、…”.藥物與病毒之間的爭(zhēng)斗推動(dòng)了醫(yī)藥事業(yè)的發(fā)展.

數(shù)學(xué)中也不乏其例.計(jì)算3-5的矛盾，促使負(fù)數(shù)的誕生；計(jì)算3÷5的矛盾，促使分?jǐn)?shù)的誕生；研究方程x2=2解的矛盾，促使無(wú)理數(shù)的誕生；研究方程x2=-1解的矛盾，促使虛數(shù)的誕生；…所以應(yīng)讓學(xué)生明白，我們不僅不回避矛盾，而且還要尋找矛盾、發(fā)現(xiàn)矛盾，并用創(chuàng)造性的思維解決矛盾，那么我們就會(huì)在這個(gè)辯證運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中變得越來(lái)越聰明、越來(lái)越能干.

3.2 矛盾雙方的良性轉(zhuǎn)化

矛盾雙方在一定條件下是可以實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化的，而轉(zhuǎn)化是非常重要的一種數(shù)學(xué)思想，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題最具威力的一種武器.我們不僅要讓學(xué)生熟練掌握轉(zhuǎn)化的技能、技巧，而且還要從本質(zhì)上深刻領(lǐng)會(huì)轉(zhuǎn)化中蘊(yùn)涵的辯證思想，這樣才能做到高瞻遠(yuǎn)矚、運(yùn)用自如、得心應(yīng)手.當(dāng)然轉(zhuǎn)化有“良性”和“惡性”之分.正常細(xì)胞在外界某種刺激源的作用下，產(chǎn)生癌變，這是惡性轉(zhuǎn)化.我們追求的當(dāng)然是有利于問(wèn)題解決和能力提高的良性轉(zhuǎn)化.

例1 如圖1（1），在側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，P是對(duì)角線(xiàn)BD1上的動(dòng)點(diǎn)，求AP+PC的最小值.

圖 1（1） 圖 1（2）

分析：在立體幾何的學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決中，有一個(gè)突出的矛盾，就是平面的二維空間與立體的三維空間之間的視覺(jué)和心理差異.在本題中，求的是AP+PC的最小值，可是AP在平面ABD1內(nèi)，PC在平面BCD1內(nèi)，這給題解造成極大的麻煩.可熟稔轉(zhuǎn)化的學(xué)生卻很快找到突破的方法，將△ABD1與△BCD1所在平面展開(kāi)為一個(gè)平面，得圖1（2），則AC之長(zhǎng)為所求.

只知道將立體圖形展開(kāi)成平面圖形，那是技能；若又知道這是一種普遍規(guī)律，那就形成了一種思想；基于此，還知道轉(zhuǎn)化是辯證思想的體現(xiàn)，那就是一種高境界.

3.3 偶然性與必然性

科學(xué)中的發(fā)明創(chuàng)造看似有一定的偶然性，學(xué)生也許認(rèn)為靠的是某種“運(yùn)氣”，殊不知從偶然性中折射出來(lái)的是一種必然性，必然性存在與偶然性之中，這就是哲學(xué)的一個(gè)基本原理.那種不靠堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)、靈活的思維，靠“撞大運(yùn)”取勝的心理是不可取的.

蘋(píng)果從樹(shù)上掉到地上，是再普通的常見(jiàn)現(xiàn)象，別人見(jiàn)了，無(wú)任何反應(yīng)，但有心的牛頓卻從中獲得啟示發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律.法國(guó)著名數(shù)學(xué)家笛卡兒長(zhǎng)期思考用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題.1619年11月10日傍晚，他在朦朧中觀察到在墻角結(jié)網(wǎng)的蜘蛛，那縱橫交錯(cuò)的蛛絲網(wǎng)絡(luò)引發(fā)了他的靈感，那不正是多年來(lái)夢(mèng)寐以求的“坐標(biāo)系”嗎？由此創(chuàng)立了推動(dòng)世界科技發(fā)展的新型數(shù)學(xué)分支《解析幾何》.偶然的發(fā)現(xiàn)是長(zhǎng)期苦苦思索和孜孜以求的必然結(jié)果.

例2 如圖2，設(shè)拋物線(xiàn)E：x2=2py（p＞0），M為直線(xiàn)y=-2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線(xiàn)E的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A、B.求證：A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

圖2

由①②兩式，立即知x1、x2是方程x2-2x0x-4p2=0的兩根，則x1+x2=2x0.欲證結(jié)論成立.

一道頗具難度的高考試題就這樣“輕而易舉”地被征服了，為閃光的靈感叫好吧！可應(yīng)看到偶然迸發(fā)的靈感背后顯示的必然性.要證的是x1+x2=2x0，由此應(yīng)想到韋達(dá)定理，但須有關(guān)于x的一個(gè)一元二次方程.那么，就會(huì)從①②兩式中尋求突破.這兩式中除字母x1、x2的下標(biāo)分別為1、2外，其余的結(jié)構(gòu)均相同，由循根找方程的規(guī)律，則得x1、x2是方程x2-2x0x-4p2=0的二根，問(wèn)題解決.從智慧閃光中窺見(jiàn)的是扎實(shí)的基礎(chǔ)和開(kāi)闊的思維，是偶然中的必然.

3.4 動(dòng)中求靜變中寓定

“動(dòng)”和“靜”、“變”與“定”也是矛盾對(duì)立的事物，是數(shù)學(xué)研究的極為重要的內(nèi)容，所以關(guān)于定值、定點(diǎn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往成為各級(jí)各類(lèi)數(shù)學(xué)試卷中的常客.我們不僅要帶領(lǐng)學(xué)生解決這類(lèi)問(wèn)題，更重要的是須使學(xué)生發(fā)現(xiàn)、利用“動(dòng)中求靜”和“變中寓定”的規(guī)律，這對(duì)于我們認(rèn)識(shí)宇宙、自然、世界和社會(huì)都具有重大的意義.

分析：實(shí)數(shù)a是非零變量，否則在P點(diǎn)處的切線(xiàn)l為定直線(xiàn)，直線(xiàn)上的點(diǎn)都是定點(diǎn)，探討此直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)將失去任何意義.所以此題妙就妙在不管a的值如何變化，切線(xiàn)l均過(guò)定點(diǎn)，即該點(diǎn)的坐標(biāo)為與a無(wú)關(guān)的常數(shù).盡管此題證明的難度不大，而啟迪意義即在此.

3.5 制約與依賴(lài)

制約與依賴(lài)也是辯證的對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系.子女都要受到父母的管束和制約，但又都離不開(kāi)父母的呵護(hù)與撫養(yǎng).社會(huì)中的每一個(gè)成員都要受到法律、法規(guī)的制約，但這些法律、法規(guī)又保護(hù)著每個(gè)社會(huì)成員生命財(cái)產(chǎn)的安全.風(fēng)箏都有一根線(xiàn)牽著，若風(fēng)箏不想受此制約，脫離了牽線(xiàn)，那它永遠(yuǎn)也飛不起來(lái).簡(jiǎn)單的事例中含有深刻的道理.數(shù)學(xué)中，函數(shù)符號(hào)f（x）也是如此，如f（x）=2x+1，則當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值f（1）只能由2x+1，即法則“2倍加1”來(lái)決定，沒(méi)有任何“自由”；但欲求的f（1），卻又依賴(lài)著法則“2倍加1”，否則無(wú)從求起.諸如此類(lèi)現(xiàn)象極其生動(dòng)地揭示了制約與依賴(lài)的辯證關(guān)系，學(xué)生怎么會(huì)“不懂”呢？

分析：這是一道初、高中銜接的遞進(jìn)式的妙題，（1）中各括號(hào)中均為加號(hào)，我們不禁想起最簡(jiǎn)單、最熟悉的公式（a-b）（a+b）=a2-b2，那么在式子前面應(yīng)添加一個(gè)括號(hào)，當(dāng)然是（2-1），這既是后面式子決定了的，也是后面式子給予啟示的結(jié)果，則得：

（2）雖然與（1）的結(jié)構(gòu)不一樣，但處理的意向卻一致的，后面各因式制約了也指明了應(yīng)添加的因式為于是原式=

積累了經(jīng)驗(yàn)，解決（3）則不在話(huà)下：

此題運(yùn)用制約與依賴(lài)的辯證關(guān)系，使題解過(guò)程的演繹達(dá)到淋漓盡致的境界.

3.6 特殊性與一般性

人們探索、認(rèn)識(shí)、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)社會(huì)、世界、自然、宇宙各種事物運(yùn)動(dòng)、發(fā)展、變化的數(shù)量規(guī)律，總是從個(gè)例到整體、從特殊到一般.一滴水知大海，一滴血知全身，通過(guò)一只麻雀的解剖與分析，就可以知道所有麻雀機(jī)體的結(jié)構(gòu)與功能，這種理念對(duì)于數(shù)學(xué)的教與學(xué)具有巨大的指導(dǎo)意義與實(shí)踐價(jià)值.

如研究指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，誰(shuí)也畫(huà)不出函數(shù)y=ax（a＞0，且a≠1）的圖像，只能通過(guò)對(duì)具體函數(shù)等的研究來(lái)總結(jié)一般指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，特別是某些選擇、填空題，有一種頻繁應(yīng)用的“特殊化”法，但必須逐步引導(dǎo)學(xué)生辯證地理解這種方法的本質(zhì)與操作時(shí)應(yīng)持的科學(xué)態(tài)度.其一、在解答某些選擇、填空題時(shí)，特殊化法確實(shí)可發(fā)揮出巨大的優(yōu)勢(shì)；其二、對(duì)某些特例研究所獲得的結(jié)論必須得到一般情況下的證明，才能保證其正確性，否則就犯了“以偏賅全”的錯(cuò)誤；其三、對(duì)于解答題，雖然“特殊化”不能作為可靠的證明依據(jù)，但“特殊化”所獲得的結(jié)論為一般情形的探索、證明指明了方向，提供了經(jīng)驗(yàn)，也是“功不可沒(méi)”的.

分析：由于是填空題，則可大膽地用特殊化的方法來(lái)解：建立如圖4所示的坐標(biāo)系，分別設(shè)A（0，3）、B（-2，0）、P（x，y）.由PA=PB，得4x＋6y=5，則

不能以此為滿(mǎn)足，將題目改為證明題，條件同上，求證：不論P(yáng)點(diǎn)在l上的什么位置，p·（a-b）均為定值.

特殊化的方法不能使用了，但其思路與結(jié)論仍然具有重要的參考價(jià)值與啟迪意義，特殊與一般的辯證關(guān)系在這里得到了充分的展現(xiàn).

如圖4，建立坐標(biāo)系，分別設(shè)A（acosα，asinα）、B（bcosβ，bsinβ）、P（x，y）（a與b均為定值）.

由PA=PB，得2axcosα-2bxcosβ+2aysinα-2bysinβ=a2-b2.

小、大兩題的聯(lián)袂出現(xiàn)與解決，可認(rèn)為是在辯證法指導(dǎo)下進(jìn)行數(shù)學(xué)科研的一次有意義的實(shí)踐活動(dòng)，對(duì)于學(xué)生全方位的成長(zhǎng)與綜合素質(zhì)的提高具有積極的意義，并產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響.

3.7 量變到質(zhì)變

“量變到質(zhì)變”是辯證法中的一個(gè)非常重要的基本原理，與此相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容不勝枚舉，初中學(xué)生非常熟悉一元二次方程實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)的判斷，以及點(diǎn)與圓、直線(xiàn)與圓的位置的判斷，這些都是講解“量變到質(zhì)變”這一基本原理的知識(shí)基礎(chǔ)，但那時(shí)學(xué)生的理解必然是十分粗淺的，在高中階段有機(jī)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行這方面的講解就可以從根本上加深學(xué)生對(duì)這一基本原理的理解.

例6 如圖5，設(shè)平面內(nèi)的一條定直線(xiàn)l以及l(fā)外的一個(gè)定點(diǎn)F，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P、Q、R到直線(xiàn)l的距離分別為PN、QN、1三種情形.若設(shè)這些比值為e，并稱(chēng)為離心率，則當(dāng)e∈（0，1）時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡“脫胎”為拋物線(xiàn)；當(dāng)e∈（1，＋∞）時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡又“羽化”為雙曲線(xiàn).

客觀事實(shí)極其深刻地揭示了“數(shù)量的積累變化達(dá)到，或越過(guò)一個(gè)關(guān)鍵值時(shí)，事物就會(huì)發(fā)生質(zhì)的變化”這一本質(zhì)規(guī)律.

結(jié)合生活中的許多事例，“量變到質(zhì)變”這一基本原理還可以給予我們諸多啟示.

3.8 抓住主要矛盾

古詩(shī)云：“射人先射馬，擒賊先擒王”；軍事指揮員說(shuō)：“先解決外圍，最后集中優(yōu)勢(shì)兵力攻堅(jiān)”；農(nóng)夫說(shuō)：“打蛇要打七寸”；牧童說(shuō)：“牽牛要牽牛鼻子”，雅俗共賞的語(yǔ)言說(shuō)明的是同一個(gè)道理，即解決問(wèn)題時(shí)要抓住主要矛盾.面對(duì)矛盾錯(cuò)綜復(fù)雜的一件事情，理清各種矛盾的關(guān)系，分清主次，“牽住牛鼻子”，就大大降低了難度，使問(wèn)題迎刃而解.

1.恩格斯.自然辯證法.北京：人民出版社，1971.

2.中華人民共和國(guó)教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）.北京：人民教育出版社，2003，4.