☉江蘇省南通市通州區(qū)二甲中學 代宗山

導數(shù)中一類問題的規(guī)律探討

☉江蘇省南通市通州區(qū)二甲中學 代宗山

導數(shù)問題現(xiàn)在成了高考考查的熱點，導數(shù)是研究函數(shù)性質：單調性、極值與最值的重要工具.每年高考考查導數(shù)問題是以導數(shù)為載體，結合函數(shù)、不等式、方程這條高中數(shù)學主線來考查，而且在導數(shù)考查中，往往設置了參數(shù)，涉及分類討論，對學生思維能力要求很高.所以，成也導數(shù)，敗也導數(shù).

雖然導數(shù)題目涉及三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等眾多函數(shù)，但有一類問題的規(guī)律是求導后函數(shù)是一個二次函數(shù)，或者可以歸結為二次函數(shù)，下面舉例說明.

一、二次函數(shù)形式

例1 （2012年北京卷改編）已知函數(shù)f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx，當a2=4b時，求函數(shù)f（x）+g（x）的單調區(qū)間，并求其在區(qū)間（－∞，－1］上的最大值.

點評：求出h′（x）=0的兩個根，注意兩個根與區(qū)間值-1的大小關系，由此展開討論，這一點是此題的關鍵之處.

例2 （2011年全國卷改編）已知函數(shù)f（x）=x3+3ax2+（3－6a）x+12a－4（a∈R）.若f（x）在x=x0處取得最小值，x0∈（1，3），求a的取值范圍.

解：（法一） 從函數(shù)極值點即方程的根入手，建立基本關系.由f′（x）=0得3x2+6ax+3－6a=0，其Δ=4a2+8a－4.

二、對數(shù)函數(shù)形式

點評：以上三種解法從不同的角度揭示了參數(shù)對函數(shù)零點的影響，三種解法緊緊扣住了函數(shù)、不等式、方程三者的內在聯(lián)系進行轉化.

三、混合函數(shù)形式

又h（1）=0，所以當0＜x＜1時，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單增；當x＞1時，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單減.所以，增區(qū)間為（0，1）；減區(qū)間為（1，+∞）.

點評：第2問分析：（1）求導后，由于求不出極值點，由此陷入困境.怎么辦呢？要對導函數(shù)進一步研究，自然想到再求導；（2）求導后h′（x）＜0，所以h（x）在（0，+∞）單減，注意我們是要判斷f（x）的正負即h（x）的正負；（3）注意x趨于0時，h（x）＜0，x趨于+∞時，h（x）＞0，函數(shù)h（x）的零點在哪？ h（1）呼之欲出.

通過以上幾例可以看出，如果求導后的函數(shù)是一個二次函數(shù)，或可以化成二次函數(shù)，抓住函數(shù)極值點是單調區(qū)間的分界點，實際上就是函數(shù)的零點，方程的根這一點，從此切入，并善于在函數(shù)、方程、不等式不斷的轉換中解決問題.在問題的不斷的轉化中，尋找解決問題的契機，以此尋求問題的解決.