☉江蘇省如皋中學(xué) 姚新國(guó)

讓學(xué)生成為靈動(dòng)的“舞”者、智性的“悟”者
——?jiǎng)痈袛?shù)學(xué)課堂初探

☉江蘇省如皋中學(xué) 姚新國(guó)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生能力的核心是誘發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，就應(yīng)該為學(xué)生搭建一個(gè)“動(dòng)感”平臺(tái)，讓學(xué)生在主動(dòng)活動(dòng)的過(guò)程中自我調(diào)動(dòng)各種感官，即動(dòng)眼觀察、動(dòng)耳傾聽(tīng)、動(dòng)手操作、動(dòng)口交流、動(dòng)腦思考，感悟?qū)W習(xí)過(guò)程中成功的喜悅，體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程中數(shù)學(xué)思維的流暢性、知識(shí)生成的動(dòng)態(tài)性、合作探究的愉悅性，在寬松、自由、開(kāi)放的動(dòng)態(tài)課堂中提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

怎樣讓數(shù)學(xué)課堂成為“動(dòng)感地帶”呢？筆者認(rèn)為首先要落實(shí)好成為“動(dòng)感地帶”的三要素．

一、數(shù)學(xué)課堂成為“動(dòng)感地帶”的三要素

1．給學(xué)生動(dòng)感的源泉

筆者發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)課堂還是教師“自導(dǎo)自演”，學(xué)生參與度不高，缺乏參與的激情是其中一個(gè)不容忽視的重要原因，在教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)緊扣教學(xué)內(nèi)容和啟迪學(xué)生思維的問(wèn)題情境，無(wú)疑會(huì)使課堂充滿(mǎn)情趣，有利于激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生求知欲，激發(fā)學(xué)生“動(dòng)”的熱情．如推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式時(shí)，可先讓學(xué)生回憶等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)思路，學(xué)生發(fā)現(xiàn)首尾兩項(xiàng)之間和的關(guān)系，將中間的項(xiàng)兩兩合并為首尾兩項(xiàng)的和，目的是將中間所有項(xiàng)消去，那么等比數(shù)列求和公式能否通過(guò)某個(gè)技巧，也將部分中間的項(xiàng)消去，用簡(jiǎn)潔美觀的公式表示呢？再如認(rèn)識(shí)橢圓概念時(shí)，可進(jìn)行實(shí)驗(yàn)演示，如有圓柱形的半杯水，觀察杯子傾斜時(shí)水面的形狀等.［1］

2.讓學(xué)生成為靈動(dòng)的“舞者”

高中學(xué)生已經(jīng)有了一定的分析能力和是非判斷能力，他們希望能與教師在互相尊重、信任的基礎(chǔ)上，通過(guò)傾聽(tīng)、言談、展示進(jìn)行多向溝通.在我們的課堂上要減少灌輸，多些溝通，讓學(xué)生愿意去思考，學(xué)會(huì)思考，這樣我們所希望的學(xué)生自己動(dòng)手操作、實(shí)踐探究、主動(dòng)觀察、試驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、得結(jié)論、將結(jié)論推廣和應(yīng)用的范式教學(xué)才能真正落到實(shí)處，成為我們的常態(tài)教學(xué)范式，從而保證課堂和諧流暢，讓學(xué)生成為靈動(dòng)的“舞者”.

3.讓學(xué)生成為智性的“悟”者

在我們的課堂教學(xué)中，教師不僅要給學(xué)生知識(shí)、技能，更要給學(xué)生研究問(wèn)題的方法和努力的方向，進(jìn)一步能提出問(wèn)題，這樣的課堂教學(xué)常常讓學(xué)生感覺(jué)有自己的發(fā)現(xiàn)，感覺(jué)有成就感，逐步建立自信心.要達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，則必須給學(xué)生時(shí)間和空間，在反思和感悟中讓學(xué)生成為智性的“悟”者.

二、新授課中的“動(dòng)感地帶”

下面筆者結(jié)合新授課和習(xí)題課兩個(gè)案例談?wù)劸唧w的操作過(guò)程.

1.創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生“動(dòng)”的熱情

學(xué)生思考片刻.教師繼續(xù)點(diǎn)撥，激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

學(xué)生產(chǎn)生了探究的欲望，部分學(xué)生開(kāi)始動(dòng)筆作圖，還有部分學(xué)生相互討論、爭(zhēng)辯，一個(gè)個(gè)忙得不亦樂(lè)乎.教師巡視發(fā)現(xiàn)有學(xué)生從特殊情況入手，通過(guò)畫(huà)圖去探求直線.

師：請(qǐng)某個(gè)小組展示本組的研究成果.

生：雙曲線的圖形在以直線為邊界的平面區(qū)域內(nèi).

師：你是怎樣得到的？

生：畫(huà)圖，從圖形觀察得來(lái)的.

生：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可以先研究雙曲線在第一象限的部分與直線y=x的關(guān)系.

師：請(qǐng)同學(xué)們交流展示你們的研究方法和結(jié)果.

生：猜想：直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，都向右上方無(wú)限延伸，并且無(wú)限接近.

師：他的猜想正確嗎？能給出證明嗎？

教師在提問(wèn)時(shí)，要讓學(xué)生體會(huì)到如何提問(wèn)，即告訴學(xué)生提問(wèn)的角度和創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的方式方法和問(wèn)題的表達(dá)方式.

探究到這里，學(xué)生研究問(wèn)題的欲望非常迫切，非常想證實(shí)自己的猜想，這時(shí)給他們獨(dú)立思考探究的時(shí)間，讓他們真正有所得.

2.“感”的基石——交流探究

在我們的課堂教學(xué)中，要讓學(xué)生真正有所得有所感悟，教師必須讓學(xué)生參與到知識(shí)與技能的形成過(guò)程中來(lái)，體驗(yàn)過(guò)程，交流探究.在探究時(shí)教師要指明探究方向和探究方法.［2］

3.深化理解感悟提升

研究一個(gè)新問(wèn)題，首先要確定研究的方法和思路.我們研究解析幾何等問(wèn)題的思路一般都是從形的方面直觀感知，提出猜想，驗(yàn)證，修正猜想，再?gòu)臄?shù)的方面進(jìn)行邏輯論證.

師：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合剛才解決問(wèn)題的過(guò)程總結(jié)一下自己有什么收獲.你還能繼續(xù)探求出與雙曲線漸近線有關(guān)的結(jié)論嗎？

感悟：（1）總結(jié)研究問(wèn)題的方法.

（3）在我們所研究的圖像或曲線中，還有哪些圖像或曲線也具有漸近線性質(zhì)呢？

三、習(xí)題課中的“動(dòng)感地帶”

1．變式設(shè)問(wèn)，產(chǎn)生“動(dòng)”的火花

在課堂教學(xué)中，教師要放手讓學(xué)生思考，尋找解題思路，通過(guò)變式設(shè)問(wèn)，激起學(xué)生的探究欲望，增強(qiáng)學(xué)生的探究意識(shí)．讓學(xué)生掌握變式的思路、規(guī)律和方向，逐漸讓學(xué)生學(xué)會(huì)自己變式，自己提出有價(jià)值的問(wèn)題來(lái)研究．

師：請(qǐng)大家獨(dú)立思考．

學(xué)生通過(guò)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)很快就能求出kA1P·kA2P的值為定值．

在此基礎(chǔ)上，筆者設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題：

師：（1）將“證明：kA1P·kA2P為定值”改為“探究kA1P·kA2P是否為定值”．

（2）將長(zhǎng)軸A1A2改為短軸B1B2，那么kPB1·kPB2是否為定值呢？

（3）在探究過(guò)程中大家能否發(fā)現(xiàn)、提出更多值得我們研究的問(wèn)題呢？

學(xué)生在“問(wèn)題鏈”和“變式設(shè)問(wèn)”的引導(dǎo)下，步步深入，真正地“動(dòng)”起來(lái)．

2．“動(dòng)”的延伸——意義建構(gòu)

學(xué)生的思維激情一旦被激起，通過(guò)自主探究思考，他們肯定會(huì)積極交流自己的思考成果，主動(dòng)展示自己解決問(wèn)題的思路、方法，甚至是探求中的困惑．通過(guò)獨(dú)自思考，再交流探究，學(xué)生不僅掌握了問(wèn)題的多種求解方法，拓展了解題思路，更為重要的是激起了學(xué)生的思維激情，逐步形成了探究的意識(shí)，將學(xué)生思維的“動(dòng)”進(jìn)一步調(diào)動(dòng)起來(lái)，同時(shí)在“動(dòng)”的過(guò)程中，進(jìn)一步挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，有時(shí)也可發(fā)現(xiàn)學(xué)生的知識(shí)缺陷和思維水平的差異．

在研究了長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)改為短軸兩個(gè)端點(diǎn)后，我們知道kPB1·kPB2為定值，并且定值與kA1P·kA2P的定值相等．

師：這個(gè)定值到底與什么有關(guān)？能否將此結(jié)論推廣到一般情形呢？

師：此結(jié)論是正確的．探究方向是：從特殊到一般的探究．能否類(lèi)比到雙曲線得出類(lèi)似的結(jié)論呢？反之，若A（1－a，0）、A（2a，0），直線PA1、PA2的斜率乘積為－，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么？

學(xué)生獨(dú)立求解后發(fā)現(xiàn)軌跡是橢圓，并且點(diǎn)B、C是橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)．根據(jù)剛才的研究學(xué)生也提出了下列結(jié)論：

若A（1－a，0）、A（2a，0），直線PA1、PA2的斜率乘積為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A1、A2為實(shí)軸端點(diǎn)的雙曲線．

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)剛剛的探究過(guò)程思考研究這類(lèi)圓錐曲線的有關(guān)問(wèn)題的方法．

生：（1）設(shè)點(diǎn)法；

（2）判斷曲線是否為圓錐曲線的依據(jù)有：一是圓錐曲線的定義；二是根據(jù)所求軌跡的方程．

3．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用，觸類(lèi)旁通

反思1：結(jié)論推廣

問(wèn)題若A1（－a，0）、A2（a，0），直線PA1、PA2的斜率乘積為m（m≠0、－1），求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡．

結(jié)論 當(dāng)m＞0時(shí)，軌跡為雙曲線，A1、A1是雙曲線的頂點(diǎn)；當(dāng)m＜0且m≠－1時(shí)，軌跡為橢圓，A1、A2是橢圓長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)．

反思2：類(lèi)比探究

（1）求橢圓C的方程；

（2）E、F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值．

學(xué)生首先獨(dú)自思考，然后小組合作交流探究．

探究：（1）由焦點(diǎn)（－1，0）、（1，0）得到那些結(jié)論呢？

生：一是設(shè)出橢圓方程，將點(diǎn)代入方程；二是利用定義求出2a．

（3）求出點(diǎn)E的坐標(biāo)后，還需要再用剛剛的方法求點(diǎn)F的坐標(biāo)嗎？

生：根據(jù)“對(duì)稱(chēng)性”，將點(diǎn)E的坐標(biāo)中k替換為－k，可以直接求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

師：聯(lián)想到圓的有關(guān)性質(zhì)：在圓中，圓上任意一點(diǎn)P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線分別交圓于另一點(diǎn)為E、F，則EF的斜率為定值．在橢圓中也有類(lèi)似的性質(zhì)．

（4）圓中還有其他有關(guān)性質(zhì)能夠類(lèi)比到圓錐曲線中來(lái)嗎？

生：過(guò)圓上一點(diǎn)引兩條互相垂直的直線分別交圓于E、F，由∠EPF=90°，得EF始終為直徑，即EF恒經(jīng)過(guò)圓心．

結(jié)論 過(guò)橢圓上任意一定點(diǎn)A，引互相垂直的兩條弦AB、AC，則BC恒過(guò)定點(diǎn)．

在“動(dòng)感數(shù)學(xué)”課堂教學(xué)中，如何激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，向?qū)W生提供充分經(jīng)歷應(yīng)用數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，主動(dòng)幫助他們?cè)凇皠?dòng)感”過(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，經(jīng)歷過(guò)程積累方法，發(fā)展思維，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，成為數(shù)學(xué)教師新課程理念下的重要責(zé)任．

1．朱占奎．簡(jiǎn)化課堂教學(xué)約定教學(xué)文化［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011（3）：8－13．

2．沈紅霞．探究能力培養(yǎng)例說(shuō)［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2011（10）：26－28．