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        在反思中探究,在探究中反思:“以某線段為直徑的圓過某點(diǎn)”問題探究

        2012-08-28 01:42:56江蘇省溧水高級(jí)中學(xué)徐茂炳
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年23期
        關(guān)鍵詞:韋達(dá)橢圓直徑

        ☉江蘇省溧水高級(jí)中學(xué) 徐茂炳

        在反思中探究,在探究中反思:“以某線段為直徑的圓過某點(diǎn)”問題探究

        ☉江蘇省溧水高級(jí)中學(xué) 徐茂炳

        原題重現(xiàn):蘇教版必修2第116頁第27題

        已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率為1的直線l,使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點(diǎn)?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

        解法1:教參提供,設(shè)而不求,然后利用韋達(dá)定理.

        設(shè)直線方程為y=x+b,將A(x1,y1)、B(x2,y2)代入C:x2+y2-2x+4y-4=0,可得x2+(x+b)2-2x+4(x+b)-4=0,整理得2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0.

        因?yàn)椤耙韵褹B為直徑的圓過原點(diǎn)”,所以x1x2+y1y2=0.

        所以x1x2+(x1+b)(x2+b)=0,即b2+3b-4=0,所以b=-4或b=1.

        反思1:在南師大編的《數(shù)學(xué)之友》上有這么一段話“直線與橢圓的復(fù)習(xí)著力于求出其有理根的問題(至于使用韋達(dá)定理的解法還是回避為好),特別是直線過橢圓的特殊點(diǎn)(頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心),與橢圓的其他交點(diǎn)的坐標(biāo)如何求出,應(yīng)非常熟練”,那么對(duì)于直線與圓的問題就更應(yīng)該回避韋達(dá)定理了,因?yàn)閳A有很多橢圓沒有的性質(zhì)(比如垂徑定理),在教學(xué)中往往因?yàn)榻鉀Q某些問題時(shí)韋達(dá)定理比較好用或者教師的解題觀念還沒有轉(zhuǎn)變過來,所以在教學(xué)中還是無法回避地講解“設(shè)而不求”.因此老師一方面在應(yīng)用“設(shè)而不求”解題,一方面《江蘇省高考數(shù)學(xué)考試說明》又不要求學(xué)生掌握韋達(dá)定理.所以對(duì)學(xué)生來說一頭霧水,不知道該用還是不該用.那么教師教學(xué)過程中應(yīng)如何回避呢?

        既然高考不要求掌握韋達(dá)定理或者說“設(shè)而不求”,那么教師教學(xué)中當(dāng)然要少用,甚至不用,特別是

        對(duì)中等學(xué)生.那么不用這個(gè)“老一套”,又該怎么求解呢?特別是對(duì)于這種“以某線段為直徑的圓過某點(diǎn)”的問題.估計(jì)很少有教師去反思探究,或者有些老師覺得老辦法不錯(cuò)也就不去多想了.可是到了考試的時(shí)候真正苦的還是學(xué)生.

        探究1:首先考慮問題的背景是圓.我們初中學(xué)過“垂徑定理”.高中課本課后有道習(xí)題又介紹了相交弦的求法.這些性質(zhì)在很大程度上簡化了圓中的很多計(jì)算.

        圖1

        反思2:解法2從過程上來看確實(shí)比“解法1”來得要慢,運(yùn)算步驟多.所以很多老師即使知道這么寫也不給學(xué)生講,導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的時(shí)候非常困難.甚至很多學(xué)生考試的時(shí)候直接“跳過”.其實(shí)從這幾年高考題來看,解析幾何一般在第3到第5題之間區(qū)分度非常大,所以解析幾何能夠突破的話,對(duì)中等學(xué)生來說非常有幫助.

        那么解法2應(yīng)不應(yīng)該跟學(xué)生講呢?我覺得必須要講.理由有三:一是這個(gè)解法和《考試說明》的要求一致,沒有用到“超綱的韋達(dá)定理”,二是垂徑定理是初中比較重要的一個(gè)性質(zhì),它的應(yīng)用當(dāng)然重要,也是知識(shí)的一個(gè)貫通過程,三是這個(gè)解法本身告訴我們關(guān)于圓的問題我們應(yīng)該考慮圓的性質(zhì),這樣可以大大簡化運(yùn)算.

        探究2:解法2是從圓的方程入手的,那么我們能否直接從直線的方程切入呢?

        解法3:直線CD的方程為y+2=-(x-1),即y=-x-1.

        直線AB的方程可設(shè)為y=x+b.

        圖2

        反思3:解法3和解法2有著異曲同工之妙.兩種解法都回避了設(shè)而不求的方法.與《考試說明》高度一致.但是解法3比解法2更直接,而且運(yùn)算更簡便.但是都應(yīng)用了圓的性質(zhì)去簡化運(yùn)算和求解.

        通過前面的反思和探究,我想說明的是:教師在教學(xué)的過程中,要緊扣《教學(xué)大綱》和《考試說明》,而不是經(jīng)驗(yàn)主義,要以學(xué)生為教學(xué)主體,分析學(xué)生已知的和未知的,尋找適合學(xué)生理解和掌握的方法.雖然解法2和解法3相對(duì)于解法1要浪費(fèi)時(shí)間,感覺“吃虧”,但是學(xué)生容易接受和理解.

        剛才以課本題為例說明了“設(shè)而不求”的方法確實(shí)可以在新課程標(biāo)準(zhǔn)中把它刪去.那么江蘇的高考題中是怎么體現(xiàn)的呢?也就是說教學(xué)中不介紹“設(shè)而不求”在平時(shí)模擬考試中會(huì)不會(huì)吃虧呢?我想不但不會(huì)吃虧,有時(shí)候反而有優(yōu)勢.至少江蘇高考是這樣的.

        (1)求橢圓的方程.

        (3)是否存在實(shí)數(shù)k,使直線y=kx+1交橢圓于P、Q兩點(diǎn),以PQ為直徑的圓過點(diǎn)D(-1,0)?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.

        圖3

        圖4

        反思4:這道題是2012屆江蘇一模一道聯(lián)考題,這道題考查的是直線與橢圓.如果用韋達(dá)定理“設(shè)而不求”,那解出這道題需要繞很多彎子.反之,如果利用方程的思想“設(shè)而求之”,反而比較容易突破.其實(shí)江蘇近幾年高考題都是這個(gè)套路.大家可以參考文[1]中的《透過現(xiàn)象看本質(zhì)》一文.

        教師的教是為了學(xué)生的學(xué).所以教師在教學(xué)過程中應(yīng)該研究學(xué)生的學(xué)情和《新課程標(biāo)準(zhǔn)》,不能一味兒的經(jīng)驗(yàn)主義和拿來主義.其實(shí)現(xiàn)在很多我們認(rèn)為學(xué)生知道的已經(jīng)在初中教材中刪掉了,比如十字相乘法和韋達(dá)定理.因此我們在教學(xué)過程中應(yīng)該抓住學(xué)生,離開了學(xué)生的“教學(xué)”是低效的甚至是無效的.有時(shí)候我們經(jīng)常責(zé)怪學(xué)生怎么老是不懂或者老是犯錯(cuò),其實(shí)教師如果多反思自己的教學(xué)的話,往往更能解決問題.在教學(xué)中反思,在反思中教學(xué),做一個(gè)有思想的教師,才能教出會(huì)思考的學(xué)生.

        1.徐茂炳.透過現(xiàn)象看本質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(上半月·高中),2012(8).

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