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        二次函數(shù)圖像交軸三角形的一個性質(zhì)

        2012-08-28 02:35:26河南省商水縣城關(guān)鄉(xiāng)一中康會孌
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年6期
        關(guān)鍵詞:坐標(biāo)軸銳角直角三角形

        ☉河南省商水縣城關(guān)鄉(xiāng)一中 康會孌

        若二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸有三個交點,我們把以交點為頂點的三角形叫做二次函數(shù)圖像交軸三角形,它有一個有趣性質(zhì).

        性質(zhì) 一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c(ac≠0)的圖像與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,△=b2-4ac,可得:

        圖1

        證明: 如圖1,設(shè)A(x1,0)、B(x2,0)、C(0,c),則AC2=x12+c2,BC2=x22+c2,AB2=(x1-x2)2.

        性質(zhì)反映了拋物線內(nèi)接三角形的幾何特征與二次函數(shù)不變量之間的內(nèi)在聯(lián)系,熟悉結(jié)論,靈活運用,往往會以簡馭繁,收效奇特.

        例1 已知二次函數(shù)y=-2x2+x+3與x軸交于A、B,與y軸交于點C.求∠ACB的度數(shù).

        解:由函數(shù)式知a=-2,b=1,c=3.則△=25,ac=-6<-1,所以

        例2 已知二次函數(shù)y=mx2+(3-m)x+2m+3與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,∠ACB為銳角,求m的取值范圍.

        解:由函數(shù)式得a=m,b=3-m,c=2m+3,所以ac=m(2m+3),△=(3-m)2-4m(2m+3)=(3-7m)(m+3).

        要使∠ACB為銳角,只需ac<-1,或ac>0,即m(2m+3)>0或m(2m+3)<-1,解之得:

        例3 已知二次函數(shù)y=mx2-3x+n與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點,且△ABC為直角三角形,若函數(shù)圖像經(jīng)過點,求二次函數(shù)的解析式.

        解:由△ABC為直角三角形得mn=-1.

        例4 已知二次函數(shù)y=ax2-3x+c與x軸正方向交于A、B兩點,與y軸正方向交于點C,經(jīng)過A、B、C三點作⊙D,若⊙D與y軸相切.(1)求a、c滿足的關(guān)系式;(2)求tan∠ACB.

        解:設(shè)A(x1,0)、B(x2,0)、C(0,c),x1、x2是方程ax2-3x+c=0的兩個正根,則

        (2)因為ac=1>0,△=9-4ac=5,所以∠ACB為銳角

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