☉江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)實(shí)驗(yàn)初中 姚 凱

近年來(lái)，探索規(guī)律的題目成為數(shù)學(xué)中考的一個(gè)熱點(diǎn)，目的是考查學(xué)生觀察分析及探索的能力.題目一般分為題設(shè)和結(jié)論兩部分，通常題設(shè)部分給出一些數(shù)量關(guān)系或圖形變換關(guān)系，通過(guò)觀察分析，要求學(xué)生找出這些關(guān)系中存在的規(guī)律.這種數(shù)學(xué)題目本身存在一種數(shù)學(xué)探索的思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想從特殊到一般的發(fā)現(xiàn)規(guī)律.是中考的一個(gè)難點(diǎn)，越來(lái)越引起考生重視.

所謂規(guī)律探究型問(wèn)題，就是根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知特點(diǎn)，分別從直觀形象和抽象符號(hào)上進(jìn)行規(guī)律探索，突出數(shù)學(xué)的生活化，給學(xué)生提供更多機(jī)會(huì)體驗(yàn)學(xué)習(xí)和探索的“過(guò)程”與“經(jīng)歷”，使之擁有一定的問(wèn)題解決、課題研究、社會(huì)調(diào)查的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生經(jīng)歷探索事物間的數(shù)量關(guān)系并用字母和代數(shù)式表示的過(guò)程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思維，進(jìn)一步使學(xué)生體會(huì)到代數(shù)式是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型.

下面我們根據(jù)幾種不同類(lèi)型的規(guī)律變化類(lèi)型題進(jìn)行分析.

一、規(guī)律探索型問(wèn)題的分類(lèi)

1.數(shù)列、代數(shù)式運(yùn)算規(guī)律猜想型探究題

通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后猜想其中蘊(yùn)涵的規(guī)律，反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，考查了學(xué)生的分析、歸納、抽象、概括能力.一般解法是先寫(xiě)出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過(guò)橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫(xiě)成要求的格式.

如：有一串單項(xiàng)式：a，2a2，3a3，4a4，…，19a19，20a20，那么第n個(gè)單項(xiàng)式是_______.

例1 （2011年湖南益陽(yáng)，16題）觀察下列算式：

①1×3-22=3-4=-1

②2×4-32=8-9=-1

③3×5-42=15-16=-1

……

（1）請(qǐng)你按以上規(guī)律寫(xiě)出第4個(gè)算式.

（2）把這個(gè)規(guī)律用含字母的式子表示出來(lái).

（3）你認(rèn)為（2）中所寫(xiě)出的式子一定成立嗎？并說(shuō)明理由.

解：（1）4×6－52=24－25=－1.

（2）答案不唯一.如n（n+2）－（n+1）2=－1.

（3）n（n+2）－（n+1）2=n2+2n－（n2+2n+10=n2+2n－n2－2n－1=－1.

猜想歸納是解決這類(lèi)問(wèn)題的有效方法，通過(guò)對(duì)已給出的材料和信息對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、歸納和分析綜合，作出符合一定規(guī)律與事實(shí)的推測(cè)性想象，從而發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律.它是發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)規(guī)律的重要手段.平時(shí)的教學(xué)不能局限于課本，可以設(shè)計(jì)一些猜想性、類(lèi)比性的活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)觀察、試驗(yàn)等活動(dòng)過(guò)程，在活動(dòng)中通過(guò)對(duì)大量特殊情形的觀察猜想出一般情形的結(jié)論，從而探索事物的內(nèi)在規(guī)律.

2.圖案變化規(guī)律探究題

圖案變化規(guī)律題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)圖形所具有的規(guī)律性或不變性的問(wèn)題，它往往給出了一組變化了的圖形或條件，要求學(xué)生通過(guò)閱讀、觀察、分析、猜想來(lái)探索規(guī)律，它體現(xiàn)了“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法，考查了學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力，觀察、聯(lián)想、歸納的能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力，題型可涉及填空、選擇或解答.解決這類(lèi)圖形規(guī)律問(wèn)題的方法有兩種，一種是數(shù)圖形，將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)字規(guī)律，再用數(shù)字規(guī)律的解決問(wèn)題，一種是通過(guò)圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規(guī)律.

例2 如圖1是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的小房子.

圖1

觀察圖形的變化規(guī)律，寫(xiě)出第n個(gè)小房子用了_________塊石子.

答案：n（n+4）.

例3 （2011年浙江省，10題）如圖2，下面是按照一定規(guī)律畫(huà)出的“數(shù)形圖”，經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖A2比圖A1多出2個(gè)“樹(shù)枝”，圖A3比圖A2多出4個(gè)“樹(shù)枝”，圖A4比圖A3多出8個(gè)“樹(shù)枝”，……，照此規(guī)律，圖A6比圖A2多出“樹(shù)枝”（ ）.

A.28 B.56 C.60 D.124

圖2

答案：C.

圖案、圖表具有直觀、形象、簡(jiǎn)明，包含的信息量多等特點(diǎn)，解決此類(lèi)問(wèn)題需要把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

3.幾何變化規(guī)律探究題

觀察幾何圖形，根據(jù)題中的變化規(guī)律進(jìn)行分析，猜想下面所沒(méi)有給出的圖形變化情況、探究圖形的變化和所求的結(jié)果、歸納總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

例4 對(duì)面積為1的△ABC逐次進(jìn)行以下操作：第一次操作，分別延長(zhǎng)AB、BC、CA至點(diǎn)A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，順次連接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，記其面積為S1；第二次操作，分別延長(zhǎng)A1B1、B1C1、C1A1至點(diǎn)A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，順次連接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，記其面積為S2；…；按此規(guī)律繼續(xù)下去，可得到△A5B5C5，則其面積S5=_____________.

圖3

分析：幾何變化規(guī)律探究題往往是根據(jù)計(jì)算推理、驗(yàn)證.

如圖3，連接A1C，因?yàn)锳1B=2AB，根據(jù)等高求面積，得到S△A1BC=2S△ABC，

同理S△A1B1C=2S△A1BC，所以S△A1B1B1=6S△ABC，S△C1B1C=6S△ABC，S△A1C1A=6S△ABC.

所以S△A1B1C1=19S△ABC，根據(jù)推理運(yùn)算，不難計(jì)算出S5=195=2476099.

二、規(guī)律探索型問(wèn)題常用解法

1.抓住條件中的變與不變

找數(shù)學(xué)規(guī)律的題目，都會(huì)涉及到一個(gè)或者幾個(gè)變化的量.所謂找規(guī)律，多數(shù)情況下，是指變量的變化規(guī)律.所以，抓住了變量，就等于抓住了解決問(wèn)題的關(guān)鍵.而這些變量通常按照一定的順序給出，揭示的規(guī)律，常常包含著事物的序列號(hào).

例5 觀察下面兩行數(shù)：

2，4 ，8 ，16 ，32，64，..（1）

5，7 ，11 ，19 ，35，67，..（2）

根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，取每行第十個(gè)數(shù)，求得他們的和.（要求寫(xiě)出最后的計(jì)算結(jié)果和詳細(xì)解題過(guò)程）

解：第一組可以看出是2，第二組可以看出是第一組的每項(xiàng)都加3，即2+3，則第一組第十個(gè)數(shù)是210=1024，第二組第十個(gè)數(shù)是210+3得1027，兩項(xiàng)相加得2051.

2.化繁為簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)形為數(shù)

有些題目看上去很大、圖形很復(fù)雜，實(shí)際上，關(guān)鍵性的內(nèi)容并不多.對(duì)題目做一番認(rèn)真地分析，去粗取精，取偽存真，把其中主要的、關(guān)鍵的內(nèi)容抽出來(lái)，題目的難度就會(huì)大幅度降低，問(wèn)題也就容易解決了.

例6（2011年內(nèi)蒙古烏蘭察布）將一些半徑相同的小圓按如圖4所示的規(guī)律擺放，請(qǐng)仔細(xì)觀察，第n個(gè)圖形有_________個(gè)小圓.（用含n的代數(shù)式表示）

圖4

通過(guò)比較，可以發(fā)現(xiàn)事物的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，更容易找到事物的變化規(guī)律.

3.尋找事物的循環(huán)節(jié)

有些題目包含著事物的循環(huán)規(guī)律，找到了事物的循環(huán)規(guī)律，其他問(wèn)題就可以迎刃而解.

例7（2011年玉林市中考）“觀察下列球的排列規(guī)律（其中●是實(shí)心球，○是空心球）：

從第1個(gè)球起到第2004個(gè)球止，共有實(shí)心球________個(gè).

解：這些球，從左到右，按照固定的順序排列，每隔10個(gè)球循環(huán)一次，循環(huán)節(jié)是●○○●●○○○○○.每個(gè)循環(huán)節(jié)里有3個(gè)實(shí)心球.我們只要知道2004包含有多少個(gè)循環(huán)節(jié)，就容易計(jì)算出實(shí)心球的個(gè)數(shù).因?yàn)?004÷10=200（余4）.所以，2004個(gè)球里有200個(gè)循環(huán)節(jié)，還余4個(gè)球.200個(gè)循環(huán)節(jié)里有200×3=600個(gè)實(shí)心球，剩下的4個(gè)球里有2個(gè)實(shí)心球.所以，一共有602個(gè)實(shí)心球.

規(guī)律探索型問(wèn)題涉及的基礎(chǔ)知識(shí)非常廣泛，題目沒(méi)有固定的形式，因此沒(méi)有固定的解題方法.它既能充分地考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟悉程度，又能較好地考查學(xué)生的觀察、分析、比較、概括及發(fā)散思維的能力及創(chuàng)新意識(shí)，因而成為中考的熱點(diǎn).這就啟發(fā)廣大數(shù)學(xué)教師必須注重過(guò)程教學(xué)，用科學(xué)的方法引導(dǎo)學(xué)生親身參與、經(jīng)歷探索規(guī)律的過(guò)程，在這樣的過(guò)程中讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)之美，感受探索的愉悅，逐步培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立探究能力.