☉河南省淮陽(yáng)第一高級(jí)中學(xué) 王寸真

淺析來(lái)自生活中的一次函數(shù)問(wèn)題

☉河南省淮陽(yáng)第一高級(jí)中學(xué) 王寸真

一元一次函數(shù)在我們的日常生活中應(yīng)用十分廣泛，當(dāng)人們?cè)谏鐣?huì)生活中從事買(mǎi)賣(mài)特別是消費(fèi)活動(dòng)時(shí)，若其中涉及變量的線性依存關(guān)系，則可利用一元一次函數(shù)解決問(wèn)題．例如，當(dāng)我們購(gòu)物、租用車(chē)輛、入住旅館時(shí)，經(jīng)營(yíng)者為達(dá)到宣傳、促銷(xiāo)或其他目的，往往會(huì)為我們提供兩種或多種付款方案或優(yōu)惠辦法．這時(shí)我們應(yīng)三思而后行，深入發(fā)掘自己的數(shù)學(xué)知識(shí)，做出明智的選擇．可以利用一次函數(shù)來(lái)指導(dǎo)購(gòu)物，既鍛煉了數(shù)學(xué)頭腦、發(fā)散了思維，又節(jié)省了錢(qián)財(cái)、杜絕了浪費(fèi)，真是一舉兩得??！利用一次函數(shù)關(guān)系式，同學(xué)們可以解決很多生活中的實(shí)際問(wèn)題，舉例說(shuō)明如下．

一、依法納稅問(wèn)題

例1 依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)．從2008年3月1日起，新修改后的《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民每月收入不超過(guò)2000元，不需交稅；超過(guò)2000元的部分為全月應(yīng)納稅所得額，都應(yīng)納稅，且根據(jù)超過(guò)部分的多少按不同的稅率納稅，詳細(xì)的稅率如下表：

級(jí)別 全月應(yīng)納稅所得額 稅率（%）1不超過(guò)500元的 5 2 超過(guò)500元至2000元的部分 10 3 超過(guò)2000元至5000元的部分 15 4 超過(guò)5000元至20000元的部分 20………

（1）某工廠一名工人2008年3月的收入為2400元，問(wèn)他應(yīng)交稅款多少元．

（2）設(shè)x表示公民每月收入（單位：元），y表示應(yīng)交稅款（單位：元），當(dāng)2500≤x≤4000時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

（3）某公司一名職員2008年4月應(yīng)交稅款120元，問(wèn)該月他的收入是多少元．

解：（1）該工人3月的收入2400元中，應(yīng)納稅的部分是400元，按納稅的稅率表，他應(yīng)交納稅款400×5%=20（元）．

（2）當(dāng)2500≤x≤4000時(shí)，其中2000元不用納稅，應(yīng)納稅的部分在500元至2000元之間，其中500元按5%交納，剩余部分按10%交納，于是，有y=［（x-2000）-500］×10%+500×5%=（x-2500）×10%+25，即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=（x-2500）×10%+25=0．1x-225（2500≤x≤4000）．

（3）根據(jù)（2）可知，當(dāng)收入為2500元至4000元之間時(shí)，納稅額在25元至175元之間，于是，由該職員納稅款120元，可知他的收入肯定在2500元至4000元之間．

設(shè)他的收入為z元，由（2）可得（z-2500）×10%+25=120，解得z=3450，故該職員2008年4月的收入為3450元．

評(píng)析：我國(guó)的稅收是取之于民，用之于民，公民有納稅的義務(wù)，通過(guò)本題的考查，使學(xué)生進(jìn)行了稅收知識(shí)的教育．本題以修改后的新《個(gè)人所得稅》規(guī)定為背景，通過(guò)建構(gòu)分段函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，對(duì)不同范圍內(nèi)的月工薪進(jìn)行計(jì)算，得出有關(guān)數(shù)據(jù)．

二、抗震救災(zāi)問(wèn)題

例2“5·12”汶川地震發(fā)生后，某天廣安先后有兩批自愿者救援隊(duì)分別乘客車(chē)和出租車(chē)沿相同路線從廣安趕往重災(zāi)區(qū)平武救援，圖1表示其行駛過(guò)程中路程隨時(shí)間的變化圖像．

（1）根據(jù)圖像，請(qǐng)分別寫(xiě)出客車(chē)和出租車(chē)行駛過(guò)程中路程與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式（不寫(xiě)出自變量的取值范圍）．

（2）求客車(chē)和出租車(chē)行駛的速度分別是多少．

（3）試求出出租車(chē)出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間趕上客車(chē)．

解：（1）客車(chē)行駛過(guò)程中路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為y＝40x；

出租車(chē)行駛過(guò)程中路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為y＝100（x－2）．（2）客車(chē)行駛的速度為40千米／時(shí)，出租車(chē)行駛的速度為100千米／時(shí)．

圖1

評(píng)析：行程問(wèn)題是一個(gè)常規(guī)的問(wèn)題，而新課標(biāo)下的行程問(wèn)題，與原來(lái)行程問(wèn)題的應(yīng)用題完全不同，往往與圖像、圖形、表格等結(jié)合在一起，不僅考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且考查了學(xué)生的識(shí)圖能力和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．

三、調(diào)運(yùn)方案問(wèn)題

例3 抗震救災(zāi)中，某縣糧食局為了保證庫(kù)存糧食的安全，

壇決定將甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的糧食，全部轉(zhuǎn)移到具有較強(qiáng)抗震功能的A、B兩倉(cāng)庫(kù).已知甲庫(kù)有糧食100噸，乙?guī)煊屑Z食80噸，而A庫(kù)的容量為70噸，B庫(kù)的容量為110噸.從甲、乙兩庫(kù)到A、B兩庫(kù)的路程和運(yùn)費(fèi)如下表（表中“元/（噸·千米）”表示每噸糧食運(yùn)送1千米所需人民幣）.

路程（千米）運(yùn)費(fèi)（元/（噸·千米））甲庫(kù) 乙?guī)?甲庫(kù) 乙?guī)霢庫(kù) 20 15 12 12 B庫(kù) 25 20 10 8

（1）若甲庫(kù)運(yùn)往A庫(kù)糧食x噸，請(qǐng)寫(xiě)出將糧食運(yùn)往A、B兩庫(kù)的總運(yùn)費(fèi)y（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式.

（2）當(dāng)甲、乙兩庫(kù)各運(yùn)往A、B兩庫(kù)多少?lài)嵓Z食時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省，這時(shí)總運(yùn)費(fèi)是多少？

解：（1）依題意有：

（2）上述一次函數(shù)中k=－30＜0，

所以y隨x的增大而減小.

所以當(dāng)x=70噸時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省.

最省時(shí)的總運(yùn)費(fèi)為－30×70+39200=37100（元）.

答：從甲庫(kù)運(yùn)往A庫(kù)70噸糧食，往B庫(kù)運(yùn)送30噸糧食，從乙?guī)爝\(yùn)往B庫(kù)80噸糧食時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省為37100元.

評(píng)析：最優(yōu)化問(wèn)題是生活中常遇到的問(wèn)題，人們要對(duì)各種方案有所選擇和決策.上述問(wèn)題是通過(guò)構(gòu)建一次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型的方法，利用一次函數(shù)的增減性，求出函數(shù)最大值或最小值，最后從數(shù)據(jù)中得出最優(yōu)化方案.

學(xué)生最感興趣的是用函數(shù)知識(shí)解決發(fā)生在身邊的實(shí)例，一次函數(shù)是一種重要的函數(shù)，運(yùn)用一次函數(shù)可以解決日常生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問(wèn)題.我們要靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，特別要有把實(shí)際問(wèn)題通過(guò)建立函數(shù)模型的能力和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決的意識(shí).