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        例談反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用

        2012-08-28 02:35:22江蘇省常州市新北區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年10期
        關(guān)鍵詞:試銷(xiāo)秤砣銷(xiāo)售價(jià)格

        ☉江蘇省常州市新北區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué) 倪 櫪

        聰明、細(xì)心的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn),在日常生活中存在著許多兩個(gè)量之間具有反比例關(guān)系的例子.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是“學(xué)以致用”,現(xiàn)從反比例函數(shù)與一次函數(shù)、不等式、簡(jiǎn)單的幾何知識(shí)、相關(guān)物理知識(shí)的綜合應(yīng)用這些方面舉例分析,供同學(xué)們參考.

        一、數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)知識(shí)間的綜合應(yīng)用

        例1 如圖1所示,A為反比例函數(shù)圖像上的一點(diǎn),AB垂直于x軸,垂足為B.若△AOB的面積為3,則反比例函數(shù)的解析式是什么?

        分析:因?yàn)辄c(diǎn)A在反比例函數(shù)第二象限的圖像上,所以,由三角形面積公式可求得k,從而求出反比例函數(shù)解析式.

        圖1

        圖2

        解:因?yàn)楹瘮?shù)圖像分布在第二、四象限,所以k<0.

        所以xy=-6=k.

        例2 如圖2,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函數(shù)y=kx+b的圖像和反比例函數(shù)的圖像的兩個(gè)交點(diǎn).

        (1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.

        (2)求直線(xiàn)AB與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及△AOB的面積.

        (請(qǐng)直接寫(xiě)出答案).

        分析:由于B點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上,由反比例函數(shù)定義得m=-8,從而求出A點(diǎn)坐標(biāo),再用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式.根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想,求出△AOB的面積以及求方程的解和不等式的解集.

        所以n=2.所以A(-4,2).

        因?yàn)閥=kx+b經(jīng)過(guò)A(-4,2),B(2,-4),

        所以一次函數(shù)的解析式為:y=-x-2.

        (2)因?yàn)镃是直線(xiàn)AB與x軸的交點(diǎn),

        所以當(dāng)y=0時(shí),x=-2.

        所以點(diǎn)C(-2,0).

        所以O(shè)C=2.

        (3)x1=-4,x2=2.

        (4)-42.

        二、反比例函數(shù)與物理知識(shí)的綜合應(yīng)用

        例3 一人站在平放在濕地上的木板上,當(dāng)人和木板對(duì)濕地的壓力一定時(shí),隨著木板面積S(m2)的變化,人和木板對(duì)地面的壓強(qiáng)p(Pa)將如何變化?如果人和木板對(duì)濕地地面的壓力為600N,回答下列問(wèn)題:

        (1)用含S的代數(shù)式表示p,p是S的反比例函數(shù)嗎?為什么?

        (2)當(dāng)木板面積為0.2m2時(shí),壓強(qiáng)是多少?

        (3)如果要求壓強(qiáng)不超過(guò)6000Pa,木板面積至少要多大?

        (4)畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖像.

        分析:根據(jù)兩個(gè)變量之間關(guān)系確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系式,首先要判斷它屬于哪一類(lèi)函數(shù),然后根據(jù)實(shí)際意義并注意自變量的取值范圍,進(jìn)而作出正確的函數(shù)的圖像.

        解:隨著木板面積S(m2)變?。ù螅瑝簭?qiáng)p(Pa)將變大(?。?

        圖3

        (4)函數(shù)圖像如圖3所示.

        例4 要求取消市場(chǎng)上使用桿秤的呼聲越來(lái)越高.原因在于,一些不法商販在賣(mài)貨時(shí)將秤砣挖空,或更換較小秤砣,使砣變輕,從而欺騙顧客.

        (1)如圖4所示,對(duì)于同一物體,哪個(gè)用了較輕的秤砣?

        (2)在稱(chēng)同一物體時(shí),秤砣到支點(diǎn)的距離y與所用秤砣質(zhì)量x之間滿(mǎn)足_____________關(guān)系.

        (3)當(dāng)砣變輕時(shí),稱(chēng)得的物體變重,這正好符合哪個(gè)函數(shù)的哪些性質(zhì)?

        圖4

        分析:設(shè)重物的質(zhì)量為G(定值),重物的受力點(diǎn)到支點(diǎn)的距離為l(定值),圖4①、圖4②中y1、y2分別表示秤砣的受力點(diǎn)到支點(diǎn)的距離.根據(jù)杠桿原理得:物體的質(zhì)量(G)與阻力臂(l)的乘積等于秤砣的受力點(diǎn)到支點(diǎn)的距離(y1或y2)與秤砣質(zhì)量(x)的乘積.

        解:(1)因?yàn)镚l為定值,xy=Gl,且y1>y2,所以x1

        (2)因?yàn)閤y=Gl,所以y與x滿(mǎn)足反比例函數(shù)關(guān)系.

        (1)學(xué)生在調(diào)查中提出既希望能在課堂內(nèi)對(duì)教材中的文化信息進(jìn)行拓展講解,也希望能夠?qū)φ罩v解相關(guān)的中國(guó)文化知識(shí),以應(yīng)對(duì)英語(yǔ)四、六級(jí)考級(jí)的建議。筆者在課堂教學(xué)過(guò)程中,從教材文本入手,一面講授語(yǔ)言知識(shí),鍛煉語(yǔ)言能力,一面深挖教材資源,補(bǔ)充必要文化知識(shí)講解和練習(xí),活用教材。

        三、反比例函數(shù)與生活知識(shí)的綜合應(yīng)用

        例5 水產(chǎn)公司有一種海產(chǎn)品共2 104千克,為尋求合適的銷(xiāo)售價(jià)格,進(jìn)行了8天試銷(xiāo),試銷(xiāo)情況如下表:

        第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天售價(jià)x(元/千克) 400 300 250 240 200 150 125 120銷(xiāo)售量y(元/千克) 30 40 48 50 60 80 96 100

        觀察表中數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)可以用反比例函數(shù)刻畫(huà)這種海產(chǎn)品的每天銷(xiāo)售量y(千克)與銷(xiāo)售價(jià)格x(元/千克)之間的關(guān)系.現(xiàn)假定在這批海產(chǎn)品的銷(xiāo)售中,每天的銷(xiāo)售量y(千克)與銷(xiāo)售價(jià)格x(元/千克)之間都滿(mǎn)足這一關(guān)系.

        (1)寫(xiě)出這個(gè)反比例函數(shù)的解析式,并補(bǔ)全表格.

        (2)在試銷(xiāo)8天后,公司決定將這種海產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為150元/千克,并且每天都按這個(gè)價(jià)格銷(xiāo)售,那么余下的這些海產(chǎn)品預(yù)計(jì)再用多少天可以全部售出?

        (3)在按(2)中定價(jià)繼續(xù)銷(xiāo)售15天后,公司發(fā)現(xiàn)剩余的這些海產(chǎn)品必須在不超過(guò)2天內(nèi)全部售出,此時(shí)需要重新確定一個(gè)銷(xiāo)售價(jià)格,使后面兩天都按新的價(jià)格銷(xiāo)售,那么新確定的價(jià)格最高不超過(guò)每千克多少元才能完成銷(xiāo)售任務(wù)?

        分析:反比例函數(shù)是日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中應(yīng)用十分廣泛的數(shù)學(xué)模型,要能夠根據(jù)這個(gè)數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題.

        填表如下:

        第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天售價(jià)x(元/千克) 400 300 250 240 200 150 125 120銷(xiāo)售量y(元/千克) 30 40 48 50 60 80 96 100

        (2)2 104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1600,

        即8天試銷(xiāo)后,余下的海產(chǎn)品還有1600千克.

        1600÷80 =20 ,所以余下的這些海產(chǎn)品預(yù)計(jì)再用20天可以全部售出.

        (3)1600-80×15=400,400÷2=200.

        即如果正好用2天售完,那么每天需要售出200千克.

        所以新確定的價(jià)格最高不超過(guò)60元/千克才能完成銷(xiāo)售任務(wù).

        總之,學(xué)生要了解反比例函數(shù)是日常生活和生產(chǎn)實(shí)際中應(yīng)用十分廣泛的數(shù)學(xué)模型,掌握生活中有一類(lèi)兩變量的乘積為定值的實(shí)際問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決的思想方法,從而不斷提高自己運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

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