☉廣東省東莞市東莞中學(xué) 趙銀倉

著力提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、實踐能力、創(chuàng)新能力是國家中長期教育改革與發(fā)展規(guī)劃的要求，也是高中數(shù)學(xué)課程改革的基本理念.因此在實施新課程標(biāo)準(zhǔn)的過程中，通過有效的數(shù)學(xué)教學(xué)，優(yōu)化學(xué)生的思維方式，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，是我們數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù).面對目前學(xué)生普遍創(chuàng)新意識淡薄的這一現(xiàn)狀，如何在教學(xué)中有效地提高學(xué)生的創(chuàng)新意識一直是我們深思的課題.大數(shù)學(xué)家貝格曾經(jīng)說過：“有效地進行問題解決的學(xué)習(xí)有助于增進數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)創(chuàng)造性精神.”這為我們發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識指出了一種非常有效的途徑.本文試圖探討在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生在問題解決過程中通過自主地運用思維策略，尋找問題轉(zhuǎn)化方向，突破問題解決瓶頸，同時優(yōu)化思維品質(zhì)，激發(fā)創(chuàng)新潛能，發(fā)展創(chuàng)新意識.

一、應(yīng)用思維的簡單化策略，創(chuàng)新變形方式，促使問題熟悉化

思維的簡單化策略就是化陌生為熟悉，化高級為低級，應(yīng)用這一策略有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維的簡捷性.在使用這一原則的過程中，創(chuàng)造性地對問題中的數(shù)學(xué)式子進行變形，使得便于觀察到分解的方式，找到化為熟悉問題的途徑是解決問題的關(guān)鍵.在對數(shù)學(xué)式子的變形中蘊含著創(chuàng)新潛能，在創(chuàng)新變形方式、優(yōu)化解決問題的途徑中開啟創(chuàng)新意識.

例1 設(shè)向量a=（3cosθ，2sinθ），b=（1，0），記φ=〈a，b〉，求函數(shù)）的最大值以及對應(yīng)的θ的正切值.

分析：將問題分解.

（1）求φ的正切值.由φ=〈a，b〉知φ為向量a與x軸正向間的夾角，設(shè)a=（3cosθ，2sinθ）在坐標(biāo)平面xOy上對應(yīng)的點為A，由0<θ<，知φ為直線OA的傾斜角，且

例1涉及多個知識的交匯，如向量、三角、函數(shù)、不等式等，數(shù)學(xué)符號多，容易使學(xué)生感到迷惘.問題的解決就要從知識間的聯(lián)系和函數(shù)式的結(jié)構(gòu)入手，巧妙的分解，使復(fù)雜問題變?yōu)槎鄠€基本問題的組合，最后變?yōu)榛静坏仁降膽?yīng)用這樣一個學(xué)生非常熟悉的問題.思維自然流暢、富于條理性，在分解與變形中開啟了學(xué)生的創(chuàng)新意識.

二、實施思維的等價變換策略，創(chuàng)新變換方式，實現(xiàn)化難為易

思維的等價變換策略就是促使疑難問題向常規(guī)問題轉(zhuǎn)化，實施這一策略有利于培養(yǎng)思維的廣闊性和靈活性.問題能否有效地轉(zhuǎn)化取決于在廣泛聯(lián)想的基礎(chǔ)上創(chuàng)新的變換方式，因此選擇恰當(dāng)?shù)牡葍r變換方式并實施這種等價變換，能成功地使問題向容易化發(fā)展是源于在思維深處隱藏著變換方式的創(chuàng)新.

不少問題的解決，往往需要從其形式結(jié)構(gòu)出發(fā)，與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)想類比，找出之間的異同，利用它們結(jié)構(gòu)的相似性，進行恒等變形，應(yīng)用已有結(jié)論導(dǎo)出新的結(jié)論，這種對比與聯(lián)系中孕育著的創(chuàng)新意識.

三、使用思維的映射反演策略，創(chuàng)新遷移方式，達到由此及彼

思維的映射反演策略就是把原問題映射到其它領(lǐng)域中去解決，然后反演回原來的領(lǐng)域中得出問題的解答.使用這一策略要創(chuàng)造性地對進行問題的遷移，而這種創(chuàng)造性的遷移基于對問題形式結(jié)構(gòu)的觀察和知識間的溝通與聯(lián)系，這有利于培養(yǎng)思維的發(fā)散性和靈活性，極大地激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新潛能，在由此及彼的遷移中發(fā)展了創(chuàng)新意識.

例3 集合S={1，2，…，18}的五元子集S′={a1，a2，a3，a4，a5}中，任何兩元素之差不為1，這樣的子集S′有多少個？

分析1：若分類考慮，明顯太煩.由于S′中的每個元素都在S中且任何兩個之差不為1，作子集T={a1，a2-1，a3-2，a4-3，a5-4}，則S′與T一一對應(yīng)，而T是{1，2，…，14}的五元子集，故共有C514個.

分析2：原問題可轉(zhuǎn)化為18名學(xué)生中有5名女生，要排成一排，其中任何兩個女生不得相鄰，問：共有多少種不同的排法？

在解題過程中，采用輔助手段如對偶、換元、排序、賦值、分割、投影、放縮等，尋求與問題相關(guān)的對應(yīng)元素、情境和問題，進行遷移和移植，使難題巧解，也調(diào)動了學(xué)生內(nèi)心深處的創(chuàng)新意識，尋找到了知識間的普遍聯(lián)系規(guī)律.

四、采用思維的猜想驗證策略，創(chuàng)新推理方式，從特殊中窺見一般

采用思維的猜想驗證策略能夠克服長期演繹推理的訓(xùn)練而造成的思維模式的固定化及研究問題方式的單一化，通過對特殊現(xiàn)象的研究來發(fā)現(xiàn)帶有普遍性的規(guī)律，這也符合人們認(rèn)識事物的一般規(guī)律.學(xué)生在研究問題解決的過程中創(chuàng)造性地進行推理，能喚發(fā)創(chuàng)新意識，培養(yǎng)思維的靈活性和全面性.

因為a、b∈R+，a+b=2，所以，可得anbn≤1，僅當(dāng)a=b=1時取等號，所以yn≥1.因此當(dāng)a=b=1時，yn都取得最小值1.猜想驗證是探求問題結(jié)論的有效方法，在這個問題解決的過程中，學(xué)生從特殊情形入手，發(fā)現(xiàn)了可以推廣的一般性結(jié)論，探索到問題成立的根本原因.探索是創(chuàng)造的原動力，而歸納猜想是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的規(guī)律的一個重要探索途徑.在猜想驗證中，學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)得到了訓(xùn)練，感受到了創(chuàng)新的喜悅，領(lǐng)略了創(chuàng)新帶來的成功，增強了創(chuàng)新的信心，強化了創(chuàng)新意識.

五、運用思維的辯證轉(zhuǎn)化策略，創(chuàng)新聯(lián)想方式，從矛盾中找到本源

運用辯證思維轉(zhuǎn)化策略就是在直接解決問題有困難時或太麻煩時，從它的對立面入手來尋找和發(fā)現(xiàn)矛盾，從矛盾的對立統(tǒng)一中看清問題的本質(zhì).這種探求條件間聯(lián)系方法上的創(chuàng)新，會讓學(xué)生的思維更具深刻性和批判性，在問題的思辨中發(fā)展創(chuàng)新意識.

順向推有困難時就逆推，直接證有困難時就間接證.學(xué)生受長期單一的思維方式的影響，使得將證明理解為只是對定義、定理的驗證.而此問題為不是等差數(shù)列的證明，用定義證明時說理陷入困境，創(chuàng)新思維方式，用反證法則“柳暗花明”.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)?？吹綄W(xué)生遇到創(chuàng)新設(shè)計的或有點難度的問題，就找不到解決問題的切入點.在高考中，平時感覺學(xué)習(xí)很好的學(xué)生面對試卷中形式新穎的問題或綜合性強的問題也只是望題興嘆.分析其根本原因就是平時學(xué)習(xí)中以模仿練習(xí)為主，沒有用分析問題的基本方法和思維策略自主地尋找建構(gòu)解決的方案，沒有形成創(chuàng)新意識，不具有探索精神.因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生在問題解決的過程中，善于用思維策略去分析和解決問題，通過不斷地優(yōu)化思維的方式，發(fā)掘創(chuàng)新潛能，發(fā)展創(chuàng)新意識，也必然能提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，面對疑難問題將不再一籌莫展了.

1.張順燕.數(shù)學(xué)思想、方法和應(yīng)用［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2001.

2.趙銀倉.學(xué)生解決一類問題的認(rèn)知障礙分析及教學(xué)啟示［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2011（10）.