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        初中數(shù)學動點最值問題的探討

        2012-08-28 02:35:24江蘇省淮陰中學朱翠英
        中學數(shù)學雜志 2012年12期
        關鍵詞:對稱點半圓動點

        江蘇省淮陰中學 朱翠英

        最值問題是初中數(shù)學中一類綜合性很強的問題,是初中數(shù)學教學中的一個重要組成部分,在整個初中數(shù)學的學習中都存在最值問題,這類試題也是近幾年中考的熱點問題之一,它主要考查學生對平時所學的內容綜合運用,突出了對學生數(shù)學素質的考查.通過這類試題的教學,可以培養(yǎng)學生的探究能力和創(chuàng)新意識,培養(yǎng)學生運用所學數(shù)學知識解決實際問題的能力,對學生思維能力的提高有較大的幫助.

        解這類題目要盡可能簡便地建立坐標系,再寫出各點坐標,設出動點坐標,或是運用數(shù)形結合思想,把代數(shù)式轉化為幾何圖形,或是結合動點運動屬性,分析圖形特征,根據(jù)題目的條件寫出關系式,最后求解.本文試從以下幾個方面對這類問題作一些簡單的探討.

        一、出現(xiàn)一個動點的解題方法

        這類試題的解決方法主要是通過軸對稱,將動點所在直線同側的兩個定點中的其中一個,映射到直線的另一側,當動點在這個定點的對稱點及另一定點的線段上時,由“兩點之間線段最短”可知線段和的最小值,最小值為定點線段的長.

        例1 如圖1,已知L是一條鄉(xiāng)村公路,A、B為公路一側的兩個村莊,為方便學生上學,準備在公路邊上新建一所小學,如果是請你設計新學校的校址,你準備選在哪里可使學校兩村莊到學校的距離和最?。?/p>

        解析:作B關于L的對稱點B′,有MB=MB,于是MA+MB=MA+MB′≥AB(當且僅當從運動到AB′和L的交點M′時等號成立),建在M′點符合條件.

        圖1

        二、出現(xiàn)兩個動點的解題方法

        兩動點,其中一個隨另一個動(一個主動,一個從動),并且兩動點間的距離保持不變.用平移方法,可把兩動點變成一個動點,轉化為“兩個定點和一個動點”類型來解.

        例2 如圖2,河岸兩側有A、B兩個村莊,為了村民出行方便,計劃在河上修一座橋,橋修在何處才能使兩村村民來往路程最短?

        圖2

        解析:設橋端兩動點為M、N,那么N點隨M點而動,MN等于河寬,且MN垂直于河岸.將B向上平移河寬長到B′,線段AB′與河北岸線的交點即為橋端M點位置.四邊形BB′MN為平行四邊形,B′M=BN,此時AM+BN=AM+B′M=AB′值最小.那么A、B兩村來往最短路程為:AM+MN+NB=AB′+MN.

        三、出現(xiàn)三個動點的解題方法

        當題中出現(xiàn)三個動點時,在求解時應注意兩點,(1)作定點關于動點所在直線的對稱點.(2)同時要考慮點點、點線、線線之間的最短問題.

        例3 如圖3,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E,F(xiàn),P分別為AB,BC,AC上動點,求PE+PF最小值.

        解析:作E關于AC所直線的對稱點E′,于是有PE+PF=PF+PE′≥E′F,又因為E在AB上運動,故當E′F和AD,BC垂直時,E0F最短,易求E0F=x+y=4.

        圖3

        四、動點最值在求代數(shù)最值問題中的應用

        在數(shù)學教學中,注重對學生數(shù)形結合思想的引導和啟發(fā),有助于學生在解決問題時從不同角度去思考和探索,從多角度去解決問題,對培養(yǎng)學生的轉化能力也有很大的幫助.

        解析:可以讓學生思考直角三角形中直角邊和斜邊的邊長關系,就能想到是以x、1為直角邊的直角三角形斜邊的長是以y、2為直角邊的直角三角形斜邊的長,那么這個問題就可轉化成求兩條線段和的最值問題.這種解決問題的思維方法只有在長期的訓練中逐漸養(yǎng)成,是一個漸進的過程,不可操之過急.

        圖4

        如圖4,AB=4,P為AB上一動點. 設PA=x,PB=y.CA⊥AB,DB⊥AB,A、B為垂足,且CA=1,BD=2,則PC+PD=可知當點P,C,D在同一條直線上時,PC+PD最小.作CE垂直DB的延長線交點為E,所以,EC=4,ED=2+1=3,即:PC+PD=DC=,故最小值為5.

        五、動點最值在圓中的運用

        對于圓上有動點的幾何最值問題,常需根據(jù)動點運動屬性,分析圖形特征,運用直徑是圓中最大的弦或不等量公理求解.

        例5 如圖5,已知AB是半圓的直徑,如果這個半圓是一塊鐵皮,四邊形ABDC是內接半圓的梯形,試問:怎樣剪這個梯形,才能使梯形ABDC的周長最大?

        圖5

        解析:本例是求半圓AB的內接梯形的最大周長,可設半圓半徑為R.由于AB∥CD,必有AC=BD.

        若設CD=2y,AC=x,那么只需求梯形ABDC的半周長u=x+y+R的最大值即可.

        總之,解決這一類動點最值問題,關鍵在于善于作定點關于動點所在直線的對稱點,或動點關于動點所在直線的對稱點,運用數(shù)形結合思想,這對于解決動點最值問題有著事半功倍的作用.

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