☉江西省贛州市四中 劉 驊

數學新課程標準對數學建模提出了明確要求.標準強調：“從學生已有的生活經驗出發(fā)，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等方面得到進步和發(fā)展.”數學建模對初中學生來說是難點，強化數學建模的能力，能使學生更好地掌握數學基礎知識，學會數學的基本思想和方法.但許多同學在數學建模時不得法，導致失分嚴重.下面結合具體例題，分類解析與幾何圖形有關的應用題的求解策略.

一、與直線有關的應用問題

例1 為保護環(huán)境，市政府計劃在連接A、B兩居民區(qū)的公路北側1500m的海邊修建一座污水處理廠，設計時要求該污水處理廠到A、B兩居民區(qū)的距離相等.

（1）若要以1∶50000的比例尺畫設計圖，求污水處理廠到公路的圖上距離.

（2）在圖中畫出污水處理廠的位置P.

（2）因為要求污水處理廠到A、B兩居民區(qū)的距離相等，所以污水處理廠的位置應在線段AB的垂直平分線的正北方向，并且到線段AB的距離為3cm.

點撥：應用比例尺計算時應注意設未知數，未知數的單位要與題中已知的長度單位統(tǒng)一.

二、與三角形有關的應用問題

圖1

例2 如圖1，小明想測量校園一棵不可攀的樹的高度，由于無法直接度量A、B兩點間的距離，請你用學過的數學知識按以下要求設計一種測量方案.

（1）畫出測量圖案.

（2）寫出測量步驟（測量數據用字母表示）.

（3）計算A、B間的距離（寫出求解或推理過程，結果用字母表示）.

解：如果是在晴朗的白天測量，可借鑒一面小鏡子測量.

（1）測量圖案如圖2所示.

圖2

（2）測量步驟：①量出CA=a，在C處放一個小鏡子；②沿AC向后退，直至能在小鏡中看到樹尖B時停止；③量出CD=b，測量者的目高DE=c.

（3）根據光學中的“入射角＝反射角”可知∠DCE＝∠ACB，從而有 Rt△DCE∽Rt△ACB，所以

如果是陰天，可使用專業(yè)測量儀器進行測量

（1）測量圖案如圖3所示.

（2）測量步驟：

①度量AD=a；②儀器高度CD=b；③∠BCE=α.

（3）計算：AB=BE+EA=atanα+b.

點撥：測量方法不唯一，只要合理即可.上述測量的方法一雖然比較便捷，但有個限定條件——必須有陽光；后一種方法雖然適用于任何天氣，但需要有測量儀器.

三、與四邊形有關的應用問題

圖4

例3 如圖4，在把易拉罐中的水倒入一個圓水杯的過程中，若水杯中的水在點P與易拉罐剛好接觸，則此時水杯中的水深為（ ）.

A.2cm B.4cm

C.6cm D.8cm

分析：從圖4中的數據和符號可知，易拉罐進入圓水杯中的部分是一個等腰直角三角形，點P到水杯口的水平面的距離等于直角三角形斜邊的一半（水杯直徑的一半），即為4.此時水杯中的水深為 10-4＝6（cm）.

答案：C.

點撥：求解該題關鍵是結合圖形理解題意，正確地進行數學建模.

四、與圓有關的應用問題

例4 2005年10月，繼楊利偉之后，航天員費俊龍、聶海勝又遨游了太空，這大大激發(fā)了王紅庭同學愛好天文學的熱情.他通過上網查閱資料了解到，金星和地球的運行軌道可以近似地看做是以太陽為圓心的同心圓，且這兩個同心圓在同一平面上（如圖5①所示），由于金星和地球的運轉速度不同，所以兩者的位置不斷發(fā)生變化，當金星、地球距離最近時，此時叫“下合”；當金星、地球距離最遠時，此時叫“上合”；在地球上觀察金星的視線恰好與金星軌道相切時，此時分別叫“東大距”和“西大距”.已知地球與太陽相距約為15（千萬公里），金星與太陽相距約為10（千萬公里），分別求“下合”“東大距”“西大距”“上合”時，金星、地球的距離（可用根號表示）.

（注：在地球上觀察金星，當金星分別在太陽的左、右兩側且視線恰好在與金星軌道相切的位置時，分別叫做西大距、東大距）

圖5

解：由題意可知，小圓是金星運行的軌道，大圓是地球運行的軌道，圓心O是太陽所在位置（如圖5②）.當金星位于點A，地球位于點B時，金星和地球的距離最近，即下合，此時它們的距離等于兩圓半徑之差，即15-10=5（千萬公里）.當金星位于點C，地球位于點B時，金星和地球相距最遠，即上合，此時它們的距離等于兩半徑之和，即15+10=25（千萬公里）.當金星位于點D，地球位于點B（OD⊥BD）時，稱為西大距，此時，金星、地球的距離（千萬公里）.根據圓的軸對稱性可知，金星與地球的東大距也等于（千萬公里）.

點撥：該題的關鍵是數學建模，將實際問題轉化為同心圓的計算問題.