李大鵬， 譚樂(lè)祖， 楊明軍， 楊根源

(1.海軍航空工程學(xué)院指揮系，山東 煙臺(tái) 264001; 2.中國(guó)人民解放軍91991部隊(duì)，浙江舟山 316000;3.海軍信息化專家委員會(huì)，北京 100073)

0 引言

艦艇編隊(duì)對(duì)抗已經(jīng)成為了現(xiàn)代海戰(zhàn)中的主要對(duì)抗形式，而隨著海戰(zhàn)攻防對(duì)抗技術(shù)的發(fā)展，海上防空作戰(zhàn)領(lǐng)域不斷出現(xiàn)各種先進(jìn)的反艦導(dǎo)彈，已經(jīng)成為了水面艦艇編隊(duì)的最大威脅。艦艇編隊(duì)防空兵力配置是防空作戰(zhàn)決策的基礎(chǔ)，直接關(guān)系著防空作戰(zhàn)效能。根據(jù)作戰(zhàn)對(duì)象、交戰(zhàn)環(huán)境、敵我雙方的作戰(zhàn)態(tài)勢(shì)等，充分發(fā)揮各自優(yōu)勢(shì)，補(bǔ)充不足，將艦艇組合成具有多層次、全方位、大范圍的海上防空作戰(zhàn)系統(tǒng)，成為各國(guó)海軍專家、學(xué)者們的一個(gè)研究熱點(diǎn)［1－2］。本文根據(jù)艦艇編隊(duì)防空作戰(zhàn)的具體戰(zhàn)術(shù)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了基于火力殺傷能力的艦艇編隊(duì)兵力配置模型，然后基于Memetic算法設(shè)計(jì)了優(yōu)化算法。

1 基于有限元網(wǎng)格劃分的防區(qū)數(shù)學(xué)描述

根據(jù)對(duì)艦艇編隊(duì)對(duì)空防御作戰(zhàn)空間的分析，為了合理地對(duì)艦艇編隊(duì)防空兵力進(jìn)行優(yōu)化配置，本文采用有限元網(wǎng)格劃分的方法對(duì)編隊(duì)防空作戰(zhàn)空間進(jìn)行離散化處理。根據(jù)目前艦艇編隊(duì)的兵力配置現(xiàn)狀，區(qū)域型防空艦艇一般都是以編隊(duì)指揮艦為中心按一定的前出距離，在整個(gè)威脅扇面角上以環(huán)形或扇形的方式進(jìn)行配置。艦艇編隊(duì)對(duì)空防御空間可以認(rèn)為是以編隊(duì)指揮艦為中心，以ψ為威脅扇面角的扇形區(qū)域內(nèi)。根據(jù)防區(qū)的幾何形狀，采用極坐標(biāo)形式，使用等極角的射線和等長(zhǎng)的極徑對(duì)扇形防區(qū)進(jìn)行分割［3］，分割結(jié)果如圖1所示。

圖1 網(wǎng)格劃分示意圖Fig.1 Sketch map of area grids

根據(jù)劃分的結(jié)果可以將網(wǎng)格的交叉點(diǎn)作為艦艇兵力的候選配置點(diǎn)，其坐標(biāo)表示為 pij(ρij，θij)，其中 ρij表示編隊(duì)前出艦艇的距離，θij表示前出的方位角度。根據(jù)圖1所示，距離編隊(duì)指揮艦越近的地方，網(wǎng)格數(shù)量越多，即可配置的候選位置越多，這符合編隊(duì)防空艦艇兵力配置的實(shí)際情況。

2 基于火力殺傷能力的艦艇兵力配置模型

假設(shè)艦艇編隊(duì)有s艘艦艇擔(dān)任對(duì)空防御任務(wù)，分別為 1，2，…，k，…，s，可用 Ts來(lái)表示艦艇的集合;在極坐標(biāo)體系下，編隊(duì)艦艇配置區(qū)域在極角(0，θmax)、極徑(0，ρmax)范圍內(nèi)，編隊(duì)主威脅軸方向?yàn)闃O角θmax/2;根據(jù)防區(qū)網(wǎng)格劃分，可以將防空區(qū)域劃分為m×n的網(wǎng)格，其中將極角劃分成 m 份，分別為 1，2，…，i，…，m，可用Tm表示極角劃分的集合，將極徑劃分成n份，分別為 1，2，…，j，…，n，可用 Tn表示極徑的集合。

為建立模型需要，首先對(duì)涉及的主要變量作以下說(shuō)明。

2.1 約束矩陣(δij)m×n

在艦艇編隊(duì)的實(shí)際配置過(guò)程中，由于存在各方面條件的限制，并不是每個(gè)區(qū)域都適合部署艦艇兵力。根據(jù)所劃分的網(wǎng)格，本文定義約束系數(shù)δij，它表示第i行第j列網(wǎng)格是否適合部署艦艇兵力，即

據(jù)此，可以建立一個(gè)與網(wǎng)格行列數(shù)相同的約束矩陣(δij)m×n，矩陣中的每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)表示網(wǎng)格中相應(yīng)位置的約束情況。

2.2 配置決策矩陣(xijk)m×n×s

為了更加直觀地刻畫(huà)整個(gè)艦艇作戰(zhàn)區(qū)域防空艦艇兵力配置情況，本文以矩陣的形式表述艦艇兵力的配置方案。根據(jù)網(wǎng)格劃分方法，對(duì)應(yīng)第i行第j列網(wǎng)格的配置情況用變量xijk表示，其中k表示艦艇編號(hào)。xijk表示在第i行第j列網(wǎng)格是否配置第k艘艦艇，即

據(jù)此，可建立一個(gè) m×n×s的配置決策矩陣(xijk)m×n×s，通過(guò)此矩陣可以直觀地顯示艦艇兵力配置的方案。

根據(jù)配置決策矩陣的物理含義，必須滿足如下約束條件

即對(duì)于某一艘艦艇k而言，在所有的網(wǎng)格中只能配置一次;對(duì)于每個(gè)可配置艦艇的網(wǎng)格(i，j)，最多只能配置一艘艦艇。

2.3 單艦火力殺傷能力矩陣(pijk(θt))m×n×s

設(shè)第k艘艦艇位于網(wǎng)格(i，j)點(diǎn)，其艦載防空導(dǎo)彈的射程為Dkmax，對(duì)目標(biāo)的殺傷概率為pk。根據(jù)所建模型，可以求得其對(duì)來(lái)襲方向極角為θt的目標(biāo)攔截次數(shù)為lk(θt)，則艦艇對(duì)該目標(biāo)的殺傷能力可以表示為

據(jù)此，可以建立一個(gè)m×n×s的單艦火力殺傷能力矩陣(pijk(θt))m×n×s。

2.4 編隊(duì)火力殺傷能力系數(shù)p'(θt)

為描述艦艇編隊(duì)承擔(dān)對(duì)空防御作戰(zhàn)任務(wù)的全部艦艇整體上對(duì)目標(biāo)可能造成的毀傷程度，根據(jù)所得的單艦火力殺傷能力矩陣，引入編隊(duì)火力殺傷能力系數(shù)p'(θt)。p'(θt)表示艦艇編隊(duì)對(duì)來(lái)襲方向角為θt的目標(biāo)的火力殺傷能力，可以表示為

2.5 火力殺傷要求約束矩陣(c(θt))m×1

在艦艇編隊(duì)的主要防空作戰(zhàn)區(qū)域內(nèi)，艦艇兵力的配置必須保證艦載火力單元對(duì)任一可能來(lái)襲方向的目標(biāo)具備一定的火力殺傷能力，以免目標(biāo)在未受艦載火力抗擊的情況下就突防成功。特別是在艦艇編隊(duì)艦艇兵力有限的情況下，為追求理想的配置效果，必須優(yōu)先滿足對(duì)艦艇編隊(duì)主要防空作戰(zhàn)區(qū)域的火力殺傷要求μ(θt)。顯然，必須滿足以下關(guān)系

對(duì)于各方向的火力殺傷能力標(biāo)準(zhǔn)μ(θt)，可以根據(jù)具體作戰(zhàn)情況由指揮員確定。

2.6 攔截距離貢獻(xiàn)系數(shù)λ

引入攔截距離貢獻(xiàn)系數(shù)λ，表示對(duì)目標(biāo)不同的攔截距離具有不同的貢獻(xiàn)程度，以體現(xiàn)防空作戰(zhàn)的艦艇梯次配置的原則，即［3］

其中，λ∈(0，1)，d表示編隊(duì)艦艇兵力對(duì)任一來(lái)襲方向目標(biāo)的平均攔截距離大小，λ的大小可以結(jié)合指揮員的經(jīng)驗(yàn)制定。

結(jié)合上述變量的定義，本文以艦艇編隊(duì)所有參與配置的艦艇兵力對(duì)所有可能來(lái)襲方向目標(biāo)的總火力殺傷能力為配置目標(biāo)。優(yōu)化配置問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)可以表示為

約束條件為

3 基于Memetic法的兵力配置決策模型的求解

文化基因算法(Memetic Algorithm)是建立在模擬文化進(jìn)化基礎(chǔ)上的優(yōu)化算法，其實(shí)質(zhì)就是一種基于種群的全局搜索和基于個(gè)體的局部啟發(fā)式搜索的結(jié)合體［4－5］。該算法結(jié)合了進(jìn)化算法和鄰域搜索算法。交叉和變異后的每個(gè)個(gè)體都要通過(guò)鄰域搜索過(guò)程加以改善，從而使進(jìn)化不再盲目，克服了進(jìn)化算法的隨機(jī)性，加快了搜索速度，還可有效防止算法的早熟收斂。

3.1 適應(yīng)度函數(shù)的構(gòu)建

適應(yīng)度函數(shù)是對(duì)解質(zhì)量評(píng)估的標(biāo)準(zhǔn)，它對(duì)整個(gè)算法的質(zhì)量有重要的影響作用，一般情況下，可以直接將目標(biāo)函數(shù)選擇為適應(yīng)度函數(shù)。對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題，首先必須將約束最優(yōu)化轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題［6－7］。本文基于懲罰函數(shù)的方式將其轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，再以無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)來(lái)引導(dǎo)搜索。

式中，γ1，γ2就是懲罰函數(shù)，懲罰策略主要問(wèn)題是如何設(shè)計(jì)懲罰函數(shù)，從而有效引導(dǎo)搜索到解空間的最優(yōu)區(qū)域。

根據(jù)這種懲罰策略，可以定義適應(yīng)度函數(shù)為

3.2 全局搜索操作

1)初始化。

根據(jù)待配置的艦艇數(shù)量s，將每一艘艦艇作為一個(gè)粒子，即粒子總數(shù)為s。第k個(gè)粒子(艦艇)的當(dāng)前位置可以用xk=(x1k，x2k)表示，將xk代入適應(yīng)度函數(shù)即可計(jì)算出相應(yīng)的適應(yīng)值Fk=F(xk)，第k個(gè)粒子(艦艇)的速度用vk=(v1k，v2k)表示，它決定粒子的飛行方向和距離;pk=(p1k，p2k)表示第k個(gè)粒子(艦艇)曾經(jīng)到達(dá)過(guò)的最優(yōu)位置，稱為個(gè)體最優(yōu)位置，其對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值記為pbestk;同理，pg=(p1g，p2g)表示整個(gè)種群迄今搜索到的最優(yōu)位置，其對(duì)應(yīng)的粒子編號(hào)為g，最大適應(yīng)度值為gbest=max{pbestk}。

根據(jù)所劃分的m×n網(wǎng)格防空區(qū)域，除去那些在實(shí)際情況下不適合配置艦艇的網(wǎng)格，可以均勻分布的方式隨機(jī)產(chǎn)生初始位置 xk=(x1k，x2k);vk=(v1k，v2k)，通常也限定在一定范圍內(nèi)，同樣可以均勻分布的方式在［－vmax，vmax］隨機(jī)產(chǎn)生。

2)評(píng)價(jià)粒子的適應(yīng)度。

對(duì)于每個(gè)粒子，根據(jù)式(11)的適應(yīng)度函數(shù)，可計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度值大小:首先，將其適應(yīng)度值與所經(jīng)歷的最優(yōu)位置的適應(yīng)值pbestk進(jìn)行比較，若較大，則將其作為當(dāng)前的個(gè)體最優(yōu)位置，更新 pg=(p1g，p2g)與pbestk;其次，將其適應(yīng)度值與全局最優(yōu)適應(yīng)度值gbest進(jìn)行比較，若較大，則將其作為當(dāng)前全局最優(yōu)位置，并更新相應(yīng)的 pg=(p1g，p2g)、gbest=max{pbestk}。

3)更新粒子的速度和位置。

在更新完上述的個(gè)體最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置后，對(duì)粒子的速度和位置進(jìn)行更新，更新公式如下［8］

慣性權(quán)值ω類似于模擬退火中的溫度值，代表粒子原先的速度在多大程度上得到保留，取較大值時(shí)，全局收斂能力較強(qiáng)，取較小值時(shí)，局部收斂能力較強(qiáng);c1、c2取(0，2)之間的隨機(jī)數(shù)，記憶因子c1調(diào)節(jié)粒子飛向個(gè)體最優(yōu)威脅方向的步長(zhǎng)，記憶因子c2調(diào)節(jié)粒子向全局最優(yōu)位置飛行的步長(zhǎng);每維粒子的速度都會(huì)被限制在一個(gè)最大速度vmax，如果某一維更新后的速度超過(guò)用戶設(shè)定的vmax，那么這一維的速度就被限定為vmax，即

4)執(zhí)行交叉操作。

根據(jù)粒子群優(yōu)化算法的特性，它會(huì)出現(xiàn)早熟收斂現(xiàn)象，粒子也可能會(huì)出現(xiàn)“聚集”現(xiàn)象。針對(duì)這些問(wèn)題，為提高運(yùn)算的精度，借鑒遺傳算法中的雜交概念，在每次迭代中，根據(jù)雜交概率選取指定數(shù)量的粒子放入雜交池內(nèi)，池中的粒子隨機(jī)兩兩雜交，產(chǎn)生同樣數(shù)目的子代粒子C(child)，并用子代粒子替換父代粒子P(parent)。子代位置由父代位置進(jìn)行算術(shù)交叉得到，具體操作為

其中，p為(0，1)之間的隨機(jī)數(shù)。

子代的速度可表示為

根據(jù)上述雜交后產(chǎn)生的子代及其位置與速度公式，對(duì)原先的父代進(jìn)行替換，再次按照原先的步驟進(jìn)行下次循環(huán)迭代。

5)終止條件判斷。

根據(jù)初始設(shè)定的迭代進(jìn)化代數(shù)Nmax，判斷是否達(dá)到終止條件，若進(jìn)化代數(shù)小于Nmax，則繼續(xù)進(jìn)行循環(huán)迭代;若進(jìn)化代數(shù)等于或大于Nmax，則停止迭代，進(jìn)化結(jié)束。

3.3 局部搜索操作

本文采用基于模擬退火算法的加權(quán)法對(duì)執(zhí)行交叉操作之后的粒子進(jìn)行局部搜索，搜索主要步驟如下［9－10］。

1)初始化:設(shè)置初始溫度Tbegin、終止溫度Tend、冷卻度ξ、最大迭代次數(shù)Wmax。

2)本文用兩個(gè)檔案IA和EA來(lái)管理優(yōu)化過(guò)程中產(chǎn)生的非劣解，其中IA存放局部搜索得到的非劣解，EA存放進(jìn)化過(guò)程中的所有非劣解。

3)根據(jù)交叉操作產(chǎn)生的種群Pop，計(jì)算個(gè)體的目標(biāo)值，將Pop中的非劣解放入EA。

4)對(duì)于每一粒子x∈Pop，設(shè)置為空集，將放入檔案IA中，并計(jì)算其適應(yīng)度值。

5)迭代次數(shù)W=0，T=Tbegin;構(gòu)造x的可行鄰域解x'。

7)令W=W+1，如果 W＜Wmax，則轉(zhuǎn)到步驟5);否則，令 T= ξT。

8)如果T＞Tend，則令 W=0，并轉(zhuǎn)到步驟5);否則，終止循環(huán)，并且返回x，并用檔案IA更新檔案EA。

4 仿真結(jié)果分析

假定艦艇編隊(duì)防空作戰(zhàn)兵力配置區(qū)域?yàn)榘霃?00 n mile，角度120°的扇形區(qū)域。艦艇裝備及其艦載武器的性能如表1所示。

表1 艦艇裝備及其性能參數(shù)Table 1 Warship equipment and parameters

根據(jù)艦艇編隊(duì)配置區(qū)域的大小，取極角3°、極徑1 n mile對(duì)區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，形成25行100列的網(wǎng)格。艦艇按 1、2、3、…、10 進(jìn)行編號(hào)。

設(shè)粒子群規(guī)模為30，粒子最大速度Vmax=2.5，其慣性權(quán)值表示為 ω =0.3+0.5*(1－i/Nmax)，記憶因子c1=2.0，記憶因子 c2=1.8，最大迭代次數(shù) Nmax=1000，懲罰系數(shù)γ1=200，懲罰系數(shù)γ2=2;模擬退火初始溫度Tbegin=0.1、終止溫度 Tend=0.01、冷卻度 ξ=0.96、最大迭代次數(shù)Wmax=50(注:算法中速度、溫度為抽象的量，為計(jì)算方便不帶單位)。

根據(jù)Memetic法的設(shè)計(jì)步驟，對(duì)艦艇編隊(duì)兵力配置問(wèn)題進(jìn)行求解，配置效果如圖2所示。

圖2 艦艇兵力配置示意圖Fig.2 Sketch map of warship disposition

為了比較基于Memetic法的算法效率，即主要比較算法是否可以在有限時(shí)間內(nèi)提供更優(yōu)的結(jié)果。本文仍然采用上述的基本參數(shù)作為基本粒子群算法參數(shù)，選擇算法運(yùn)行時(shí)間為橫軸，取前300 s的結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果如圖3所示。根據(jù)仿真結(jié)果可知采用Memetic法確實(shí)能夠有效提高算法效率，以適應(yīng)戰(zhàn)場(chǎng)瞬息萬(wàn)變的態(tài)勢(shì)。

圖3 算法效率的比較Fig.3 Comparison of arithmetic efficiency

5 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)艦艇編隊(duì)防空作戰(zhàn)兵力配置問(wèn)題進(jìn)行了研究，對(duì)編隊(duì)配置區(qū)域進(jìn)行有限元網(wǎng)格化，建立了基于火力殺傷能力的艦艇編隊(duì)防空兵力配置模型，針對(duì)所建立的模型，設(shè)計(jì)了一種基于Memetic算法的優(yōu)化求解方法，仿真顯示，該方法能夠有效對(duì)模型進(jìn)行求解，提高了求解效率，下一步的主要工作是研究防空任務(wù)時(shí)變條件下的兵力配置問(wèn)題。

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