●楊亢爾 (武嶺中學(xué) 浙江奉化 315500)

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)(選修)》4-4第1講“坐標(biāo)系”給出平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)伸縮變換的定義如下：

此時(shí)稱曲線C與C'相似，相似比為λ，稱點(diǎn)O為相似中心(如圖1所示).

圖1 圖2

圓錐曲線在相似變換下有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1 任一圓錐曲線經(jīng)過相似變換后離心率不變.

證明由于拋物線的離心率都為1，性質(zhì)1對拋物線顯然成立.

同理可得雙曲線在相似變換后的離心率不變.

如果把圓看作離心率為0的圓錐曲線，那么其離心率也保持不變.

綜上所述，任一圓錐曲線經(jīng)過相似變換后的離心率不變.

性質(zhì)2 離心率相等的圓錐曲線都相似.

過極點(diǎn)O引任一直線 l：θ=θ0交曲線 C1，C2于點(diǎn) P1，P2，則

性質(zhì)3 若2條圓錐曲線相似，則它們相應(yīng)的焦點(diǎn)、中心、頂點(diǎn)都可作為相似中心.

圖3 圖4

證明由性質(zhì)2知，離心率相等的圓錐曲線的焦點(diǎn)可作為相似中心.

下面先證橢圓的頂點(diǎn)可作為相似中心.如圖3所示，讓離心率相等的2個(gè)橢圓的一個(gè)相應(yīng)頂點(diǎn)重合，過該點(diǎn)的軸所在直線也重合，設(shè)這2個(gè)橢圓的中心為 Oi(ai，0)(i=1，2)，則它們的曲線方程為

對于拋物線x2=2p1y與x2=2p2y，如圖4所示，從它們的頂點(diǎn)出發(fā)任作一直線l，分別交2條拋物線于點(diǎn) P1，P2.設(shè)直線 l的方程為 y=kx，易得P1(2p1k，2p1k2)，P2(2p2k，2p2k2)，于是

事實(shí)上，該題中2個(gè)橢圓的中心為它們的一個(gè)相似中心.

圖5 圖6

例3 如圖7所示，已知拋物線y2=2p1x與y2=2p2x，過原點(diǎn)引3條直線與2條拋物線分別相交于點(diǎn) A1，A2，B1，B2，C1，C2，求 證：△A1B1C1∽△A2B2C2.

圖7

由平面幾何知識知△A1B1C1∽△A2B2C2.