☉山西現(xiàn)代雙語學(xué)校 楊海霞

函數(shù)不等式高考?jí)狠S題巧解

☉山西現(xiàn)代雙語學(xué)校 楊海霞

在近幾年的高考試題中，出現(xiàn)了含有參數(shù)的函數(shù)不等式在某一區(qū)間上恒成立求參數(shù)取值范圍的壓軸題，大多學(xué)生在處理時(shí)感覺困難，無從入手，那么有沒有一種既簡(jiǎn)單又易操作的通性通法呢？本文通過一些實(shí)例介紹解決這類問題的一種方法.

導(dǎo)數(shù)是高中新課標(biāo)教材中的重要內(nèi)容，它是研究函數(shù)的有力工具，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)性與最（極）值問題也是近年來高考的熱點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)函數(shù)問題，是一種有效的手段.這類問題都有一個(gè)共同的特征，即求解方程f′（x）=0.若能直接找到根，則結(jié)合具體問題對(duì)原函數(shù)進(jìn)行分析，從而達(dá)到解題的目的；若方程含有參數(shù)無法直接解出（如：ex-2ax-1=0），而解方程f′（x）=0的過程又是解答導(dǎo)數(shù)問題的必經(jīng)之路，我們又該怎么辦呢？所以解f′（x）=0的技巧也是解答函數(shù)不等式問題的一把萬能鑰匙.在方程無法解出時(shí)，我們可以對(duì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)，即用二階導(dǎo)數(shù)研究一階導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而解決問題.

以2010和2011年新課標(biāo)高考真題為例來說明：

綜上，k的取值范圍是（-∞，0］.

利用多次求導(dǎo)解題操作性強(qiáng)，易于理解，也便于掌握.應(yīng)用時(shí)需注意以下幾個(gè)問題.

（1）求導(dǎo)的必要性：二次求導(dǎo)主要用來判斷一階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)和單調(diào)性.要是能判斷一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，當(dāng)然不用再去求二階導(dǎo)數(shù)；要是不能確定一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，就要借助二階導(dǎo)數(shù)以及一階導(dǎo)數(shù)的端點(diǎn)值來判斷一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性.三次求導(dǎo)也是同樣的道理.

（2）各次求導(dǎo)的關(guān)系：每次求導(dǎo)都是為其原函數(shù)服務(wù)的，如二階導(dǎo)數(shù)為正值的區(qū)間是一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，為負(fù)值的區(qū)間是一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.三次同理.

（3）解題過程中用到的定理：設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)（a，b）可導(dǎo)，則f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增（或遞減）的充分必要條件是：（1）對(duì)一切x∈（a，b），有f′（x）≥0（或f′（x）≤0）；（2）在區(qū)間（a，b）的子區(qū)間上f′（x）不恒等于0.

以上三個(gè)例題僅講多次求導(dǎo)的應(yīng)用，并不排除有其他的簡(jiǎn)便解法，比如利用通分、提取公因式等技巧，先把要研究的問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)簡(jiǎn)單問題.本文旨在無從下手的情況下幫助考生找到一條可以繼續(xù)進(jìn)行的途徑.