☉江西會(huì)昌實(shí)驗(yàn)學(xué)校 李 揚(yáng)

巧解拋物線變換問題

☉江西會(huì)昌實(shí)驗(yàn)學(xué)校 李 揚(yáng)

一、拋物線的平移變換

例1 （2011·重慶市江津區(qū)）將拋物線：y=x2-2x向上平移3個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位得到的拋物線是__________.

巧解方法：直接在一般式的自變量和因變量上分別進(jìn)行“左加右減”和“上加下減”.

解：用x-4代替解析式中的x，并對(duì)其中的y（即原等式右邊）加上3，就得到解析式：y=（x-4）2-2（x-4）+3，展開并整理得y=x2-10x+27.

故答案為：y=x2-10x+27.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的是函數(shù)圖像的平移，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式.

二、拋物線的翻折與旋轉(zhuǎn)變換

（1）請直接寫出拋物線c2的表達(dá)式.

（2）現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個(gè)單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A，B；將拋物線c2向右也平移m個(gè)單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸交點(diǎn)從左到右依次為D，E.①當(dāng)B，D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，求m的值；②在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A，N，E，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時(shí)m的值；若不存在，請說明理由.

方法：拋物線y=ax2+bx+c若沿x軸翻折，所得圖像的函數(shù)解析式只需將原函數(shù)解析式中的y換成-y，即y=-ax2-bx-c；若沿y軸翻折，所得圖像的函數(shù)解析式只需將原函數(shù)解析式中的x換成-x，即y=ax2-bx+c.

分析：（1）根據(jù)拋物線翻折的性質(zhì)可求拋物線c2的表達(dá)式.

1時(shí)，當(dāng)AB=AE時(shí)兩種情況討論求解；②存在.理由：連接AN，NE，EM，MA.根據(jù)矩形的判定即可得出.

圖1

圖2

圖3

②存在.

所以四邊形ANEM為平行四邊形.

要使平行四邊形ANEM為矩形，必需滿足OM=OA，

所以當(dāng)m=1時(shí)，以點(diǎn)A，N，E，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形.

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，考查了拋物線翻折和平移的性質(zhì)，平行四邊形和矩形的判定，注意分析題意分情況討論結(jié)果.

例3 求拋物線y=x2+2x+3經(jīng)過下列變換后的拋物線的解析式：（1）繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°；（2）繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°.

方法：拋物線y=ax2+bx+c繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，先將一般式化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k，再根據(jù)變換前后開口方向改變和頂點(diǎn)不變，即y=-a（x-h）2+k，最后整理成一般式；拋物線y=ax2+bx+c繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱），所得圖像的函數(shù)解析式只需將原函數(shù)解析式中x換成-x，y換成-y即可，即y=-ax2+bx-c.

解：（1）把一般式化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=（x+1）2+2.注意到變換后的拋物線僅是開口方向發(fā)生了變化，而形狀、大小和頂點(diǎn)均未變.故所求的解析式為y=-（x+1）2+2，即y=-x2-2x+1.

（2）因?yàn)樾D(zhuǎn)前后的兩條拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以用-x、-y分別代替函數(shù)y=x2+2x+3中的x、y即得所求解析式為y=-x2+2x-3.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線旋轉(zhuǎn)前后函數(shù)圖像的性質(zhì)，要求掌握旋轉(zhuǎn)前后圖像的特征與解析式中字母系數(shù)的關(guān)系.